Функция Гомпертца

Асимметричная сигмовидная функция

Кривая Гомпертца или функция Гомпертца — это тип математической модели для временного ряда , названный в честь Бенджамина Гомпертца (1779–1865). Это сигмоидальная функция , которая описывает рост как самый медленный в начале и конце заданного периода времени. Правая сторона или асимптота будущего значения функции приближается к кривой гораздо более плавно, чем левая сторона или асимптота с меньшим значением. Это контрастирует с простой логистической функцией , в которой обе асимптоты приближаются к кривой симметрично. Это особый случай обобщенной логистической функции . Функция была первоначально разработана для описания человеческой смертности, но с тех пор была модифицирована для применения в биологии в отношении детализации популяций.

История

Бенджамин Гомпертц (1779–1865) был актуарием в Лондоне, получившим частное образование. ^[1] Он был избран членом Королевского общества в 1819 году. Функция была впервые представлена ​​в его статье от 16 июня 1825 года внизу страницы 518. ^[2] Функция Гомпертца свела значительную коллекцию данных в таблицах смертности к одной функции. Она основана на предположении, что уровень смертности увеличивается экспоненциально по мере старения человека. Результирующая функция Гомпертца представляет собой число людей, живущих в данном возрасте, как функцию возраста.

Более ранняя работа по построению функциональных моделей смертности была проделана французским математиком Авраамом де Муавром (1667–1754) в 1750-х годах. ^{[3] [4]} Однако де Муавр предполагал, что уровень смертности постоянен. Расширение работы Гомпертца было предложено английским актуарием и математиком Уильямом Мэтью Мейкхэмом (1826–1891) в 1860 году, который добавил постоянный фоновый уровень смертности к экспоненциально растущему уровню Гомпертца. ^[5]

Формула

$${\displaystyle f(t)=a\mathrm {e} ^{-b\mathrm {e} ^{-ct}}}$$где

• а — асимптота, так как ${\textstyle \lim _{t\to \infty }a\mathrm {e} ^{-b\mathrm {e} ^{-ct}}=a\mathrm {e} ^{0}=a}$
• b задает смещение по оси x (перемещает график влево или вправо).
• c задает темп роста ( масштабирование по оси y )
• e — число Эйлера (e = 2,71828...)

Характеристики

Кривая имеет ту же форму, что и после аффинного преобразования . ${\textstyle f(t)=a\mathrm {e} ^{-b\mathrm {e} ^{-ct}}=ae^{-e^{-ct+\ln b}}}$ ${\displaystyle f(t)=e^{-e^{-t}}}$

Половина пути находится путем решения для t. Точка максимальной скорости увеличения ( ) находится путем решения для t. Увеличение при равно ${\textstyle f(t)=a/2}$ $${\displaystyle t_{hwp}={\frac {\ln(b)-\ln(\ln(2))}{c}}}$$ ${\textstyle 0.368a}$ ${\textstyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)=0}$ $${\displaystyle t_{max}=\ln(b)/c}$$ ${\textstyle t_{max}}$ $${\displaystyle \max \left({\frac {df}{dt}}\right)={\frac {ac}{e}}}$$

Вывод

Кривая функции может быть получена из закона смертности Гомпертца , который гласит, что скорость абсолютной смертности (распада) падает экспоненциально с текущим размером. Математически,

$${\displaystyle k^{r}\propto {\frac {1}{y(t)}}}$$

где

• ${\textstyle r={\frac {y'(t)}{y(t)}}}$это темп роста
• k — произвольная константа.

Примеры использования

Примеры использования кривых Гомпертца включают в себя:

• Распространение мобильных телефонов , где изначально затраты были высокими (поэтому распространение было медленным), за которым последовал период быстрого роста, за которым последовало замедление распространения по мере достижения насыщения ^[6]
• Население в ограниченном пространстве, поскольку рождаемость сначала увеличивается, а затем замедляется по мере достижения пределов ресурсов ^[7]
• Моделирование роста опухолей ^[8]
• Моделирование космической реионизации водорода ^[9]
• Моделирование влияния рынка на финансы ^[10] и динамика агрегированных субнациональных кредитов. ^[11]
• Детализация роста популяции хищных животных с учетом взаимоотношений хищник-жертва
• Моделирование бактериальных клеток в популяции
• Изучение распространения болезней
• размер английской Википедии можно смоделировать с помощью функции Гомпертца и модифицированной функции в некоторой степени ^[12]

Приложения

кривая Гомпертца

Популяционная биология особенно интересуется функцией Гомпертца. Эта функция особенно полезна для описания быстрого роста определенной популяции организмов, а также способна учитывать возможную горизонтальную асимптоту, как только определена пропускная способность (плато-ячейка/численность популяции).

Это моделируется следующим образом:

$${\displaystyle N(t)=N_{0}\exp(\ln(N_{I}/N_{0})(1-\exp(-bt)))}$$

где:

• ${\textstyle t}$время
• ${\textstyle N_{0}}$это начальная плотность клеток
• ${\textstyle N_{I}}$это плато плотности клеток/популяции
• ${\textstyle b}$начальная скорость роста опухоли

Это функциональное рассмотрение числа клеток плато делает его полезным для точного воспроизведения динамики реальной популяции . Функция также придерживается сигмоидной функции , которая является наиболее широко принятой конвенцией для общей детализации роста популяции. Более того, функция использует начальную скорость роста, которая обычно наблюдается в популяциях бактериальных и раковых клеток, которые проходят логарифмическую фазу и быстро растут в количестве. Несмотря на свою популярность, начальную скорость роста опухоли с помощью функции трудно предопределить, учитывая различные микрокосмы, присутствующие у пациента, или различные факторы окружающей среды в случае популяционной биологии. У онкологических больных такие факторы, как возраст, диета, этническая принадлежность, генетическая предрасположенность, метаболизм , образ жизни и происхождение метастазов , играют роль в определении скорости роста опухоли. Ожидается, что несущая способность также будет меняться на основе этих факторов, и поэтому описание таких явлений затруднено.

Метаболическая кривая

Метаболическая функция особенно касается учета скорости метаболизма в организме. Эта функция может применяться для мониторинга опухолевых клеток; скорость метаболизма является динамической и очень гибкой, что делает ее более точной при детализации роста рака. Метаболическая кривая учитывает энергию, которую организм выделяет для поддержания и создания ткани. Эту энергию можно рассматривать как метаболизм, и она следует определенному шаблону в клеточном делении. Сохранение энергии можно использовать для моделирования такого роста, независимо от различных масс и времени развития. Все таксоны имеют схожую схему роста, и эта модель, как следствие, рассматривает клеточное деление, основу развития опухоли.

$${\displaystyle B=\sum _{C}(N_{C}B_{C})+\left(E_{C}{\operatorname {d} \!N_{C} \over \operatorname {d} \!t}\right)}$$

• ${\textstyle B}$= энергия, которую организм использует в состоянии покоя
• ${\textstyle N_{C}}$= количество клеток в данном организме
• ${\textstyle B_{C}}$= скорость метаболизма отдельной клетки
• ${\textstyle N_{C}B_{C}}$= энергия, необходимая для поддержания существующей ткани
• ${\textstyle E_{C}}$= энергия, необходимая для создания новой ткани из отдельной клетки

Дифференциация между энергией, используемой в состоянии покоя, и работой скорости метаболизма позволяет модели точнее определять скорость роста. Энергия в состоянии покоя ниже, чем энергия, используемая для поддержания ткани, и вместе они представляют энергию, необходимую для поддержания существующей ткани. Использование этих двух факторов, наряду с энергией, необходимой для создания новой ткани, всесторонне отображает скорость роста и, более того, приводит к точному представлению фазы задержки .

Рост опухолей

В 1960-х годах А. К. Лэрд ^[13] впервые успешно использовал кривую Гомпертца для подгонки данных о росте опухолей. По сути, опухоли представляют собой клеточные популяции, растущие в замкнутом пространстве, где доступность питательных веществ ограничена. Обозначая размер опухоли как X(t), полезно записать кривую Гомпертца следующим образом:

${\displaystyle X(t)=K\exp \left(\log \left({\frac {X(0)}{K}}\right)\exp \left(-\alpha t\right)\right)}$

где:

• ${\textstyle X(0)}$размер опухоли на момент начала наблюдения;
• ${\textstyle K}$это грузоподъемность, т.е. максимальный размер, которого можно достичь с имеющимися питательными веществами. Фактически это: $${\displaystyle \lim _{t\rightarrow +\infty }X(t)=K}$$

независимо от X(0)>0. Обратите внимание, что при отсутствии терапии и т. д. обычно X(0) < K, тогда как при наличии терапии может быть X(0) > K;

• ${\textstyle \alpha }$константа, связанная с пролиферативной способностью клеток.
• ${\textstyle \log()}$относится к натуральному логарифму .

Можно показать, что динамика X(t) регулируется дифференциальным уравнением Гомпертца:

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)}$$

т.е. в разложенном виде имеет вид:

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=F\left(X(t)\right)X(t),\quad {\mbox{with}}\quad F^{\prime }(X)\leq 0,}$$

F(X) — мгновенная скорость пролиферации клеточной популяции, чья убывающая природа обусловлена ​​конкуренцией за питательные вещества из-за увеличения клеточной популяции, аналогично логистической скорости роста. Однако есть и принципиальное отличие: в логистическом случае скорость пролиферации для небольшой клеточной популяции конечна:

$${\displaystyle F(X)=\alpha \left(1-\left({\frac {X}{K}}\right)^{\nu }\right)\Rightarrow F(0)=\alpha <+\infty }$$

тогда как в случае Гомпертца скорость распространения неограниченна:

$${\displaystyle \lim _{X\rightarrow 0^{+}}F(X)=\lim _{X\rightarrow 0^{+}}\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)=+\infty }$$

Как заметили Стил ^[14] и Уэлдон ^[15] , скорость пролиферации клеточной популяции в конечном итоге ограничена временем деления клеток. Таким образом, это может быть доказательством того, что уравнение Гомпертца не подходит для моделирования роста небольших опухолей. Более того, совсем недавно было замечено ^[16] , что, включая взаимодействие с иммунной системой, законы Гомпертца и другие, характеризующиеся неограниченным F(0), исключают возможность иммунного надзора.

Теоретическое исследование Форнальски и др. ^[17] показало биофизическую основу кривой Гомпертца для роста рака, за исключением очень ранней фазы, где параболическая функция более уместна. Они также обнаружили, что кривая Гомпертца описывает наиболее типичный случай среди широкого семейства функций динамики рака.

Рост Гомпертца и логистический рост

Дифференциальное уравнение Гомпертца

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)}$$

является предельным случаем обобщенного логистического дифференциального уравнения

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \nu \left(1-\left({\frac {X(t)}{K}}\right)^{\frac {1}{\nu }}\right)X(t)}$$

(где - положительное действительное число), так как ${\displaystyle \nu >0}$

$${\displaystyle \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\nu \left(1-x^{1/\nu }\right)=-\log \left(x\right)}$$.

Кроме того, на графике обобщенной логистической функции имеется точка перегиба , когда

$${\displaystyle X(t)=\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }K}$$

и один на графике функции Гомпертца, когда

$${\displaystyle X(t)={\frac {K}{e}}=K\cdot \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }}$$.

Закон роста Гомпа-экса

На основании вышеизложенных соображений Уэлдон ^[15] предложил математическую модель роста опухоли, названную моделью Гомпа-Экса, которая немного изменяет закон Гомперца. В модели Гомпа-Экса предполагается, что изначально нет конкуренции за ресурсы, так что клеточная популяция расширяется по экспоненциальному закону. Однако существует критический порог размера, такой что для . Предположение об отсутствии конкуренции за ресурсы справедливо в большинстве сценариев. Однако на него могут влиять ограничивающие факторы , что требует создания переменных подфакторов. ${\displaystyle X_{C}}$ ${\displaystyle X>X_{C}}$

рост следует закону Гомпертца:

$${\displaystyle F(X)=\max \left(a,\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)\right)}$$

так что:

$${\displaystyle X_{C}=K\exp \left(-{\frac {a}{\alpha }}\right).}$$

Вот некоторые численные оценки ^[15] для : ${\displaystyle X_{C}}$

• ${\textstyle X_{C}\approx 10^{9}}$для опухолей человека
• ${\textstyle X_{C}\approx 10^{6}}$для опухолей у мышей

Обратная функция Гомпертца

Функция Гомпертца является взаимно-однозначным соответствием (также известной как биективная функция ), и поэтому ее обратная функция может быть явно выражена в традиционной функциональной нотации как одна непрерывная функция. Если задана функция Гомпертца в форме:

$${\displaystyle f(t)=a\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{b-ct}}+d}$$где

• d — базовая горизонтальная асимптота, так как ${\textstyle \lim _{t\to -\infty }a\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{b-ct}}+d=a\mathrm {e} ^{-\infty }+d=d}$
• а — расстояние от основания до второй асимптоты, так как ${\textstyle \lim _{t\to \infty }a\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{b-ct}}+d=a\mathrm {e} ^{0}+d=a+d}$
• b задает смещение по оси x (перемещает график влево или вправо).
• c задает темп роста ( масштабирование по оси y )
• e — число Эйлера ( e = 2,71828...)

Соответствующая обратная функция может быть выражена как:

$${\displaystyle f^{-1}(t)={\frac {1}{c}}\left[b-\ln \left(\ln \left({\frac {a}{t-d}}\right)\right)\right]}$$

Обратная функция выдает только числовые значения в наборе действительных чисел между двумя ее асимптотами, которые теперь вертикальны, а не горизонтальны, как в прямой функции Гомпертца. За пределами диапазона, определяемого вертикальными асимптотами, обратная функция требует вычисления логарифма отрицательных чисел. По этой и другим причинам часто нецелесообразно пытаться подгонять обратную функцию Гомпертца к данным напрямую, особенно если доступно только относительно мало точек данных, из которых можно вычислить подгонку. Вместо этого можно подогнать транспонированное отношение данных к прямой функции Гомпертца, а затем преобразовать ее в эквивалентную обратную функцию, используя отношение между двумя, приведенное выше.

Таким образом, обратная функция имеет множество применений. Например, некоторые анализы ELISA имеют стандартную кривую , концентрации которой могут быть очень хорошо подобраны к их оптической плотности с помощью функции Гомпертца. После того, как стандарты таким образом подобраны к функции Гомпертца, вычисление неизвестной концентрации образцов в анализе из их измеренной оптической плотности достигается с помощью обратной функции Гомпертца, которая была получена при подгонке стандартной кривой.

Смотрите также

• Распределение Гомпертца
• Кривая роста
• Функция фон Берталанфи
• Сигмовидная функция

Ссылки

1. Кирквуд, TBL (2015). «Расшифровка смерти: комментарий Гомперца (1825) «О природе функции, выражающей закон человеческой смертности, и о новом способе определения ценности жизненных обстоятельств». Философские труды Лондонского королевского общества B. 370 ( 1666). doi :10.1098/rstb.2014.0379. PMC  4360127. PMID  25750242 .
2. Гомпертц, Бенджамин (1825). «О природе функции, выражающей закон человеческой смертности, и о новом способе определения ценности жизненных обстоятельств». Philosophical Transactions of the Royal Society of London . 115 : 513–585. doi : 10.1098/rstl.1825.0026 . S2CID  145157003.
3. Де Муавр, Авраам (1725). Ренты на жизнь… Лондон, Англия: Фрэнсис Фейрам, Бендж. Мотт и У. Пирсон. Второе издание вышло в 1743 году; третье издание — в 1750 году; четвертое издание — в 1752 году.
4. Гринвуд, М. (1928). «Законы смертности с биологической точки зрения». Журнал гигиены . 28 (3): 267–294. doi : 10.1017/S002217240000961X. PMC 2167778. PMID  20475000. 
5. Мейкхем, Уильям Мэтью (1860). «О законе смертности и построении таблиц аннуитетов». Журнал Assurance и Журнал Института актуариев . 8 (6): 301–310. doi :10.1017/S204616580000126X.
6. Ислам Т., Фибиг Д.Г., Мид Н. (2002). «Моделирование спроса на многонациональные телекоммуникации с ограниченными данными». Международный журнал прогнозирования . 18 (4): 605–624. doi :10.1016/S0169-2070(02)00073-0.
7. Zwietering MH, Jongenburger I, Rombouts FM, van 't Riet K (июнь 1990). "Моделирование кривой роста бактерий". Applied and Environmental Microbiology . 56 (6): 1875–81. Bibcode :1990ApEnM..56.1875Z. doi : 10.1128/AEM.56.6.1875-1881.1990 . PMC 184525. PMID  16348228 . .
8. Sottoriva A, Verhoeff JJ, Borovski T, McWeeney SK, Naumov L, Medema JP и др. (январь 2010 г.). «Модель раковых стволовых клеток опухоли выявляет инвазивную морфологию и повышенную фенотипическую гетерогенность». Cancer Research . 70 (1): 46–56. doi : 10.1158/0008-5472.CAN-09-3663 . PMID  20048071.
9. Монтеро-Камачо, Пауло; Ли, Инь; Кранмер, Майлз (2024). «Пять параметров — это все, что вам нужно (в ΛCDM)». arXiv : 2405.13680 [astro-ph.CO].
10. Caravelli F, Sindoni L, Caccioli F, Ududec C (август 2016 г.). «Оптимальные траектории роста с конечной пропускной способностью». Physical Review E. 94 ( 2–1): 022315. arXiv : 1510.05123 . Bibcode : 2016PhRvE..94b2315C. doi : 10.1103/PhysRevE.94.022315. PMID  27627325. S2CID  35578084..
11. Rocha LS, Rocha FS, Souza TT (2017-10-05). «Является ли государственный сектор вашей страны диффузионным заемщиком? Эмпирические данные из Бразилии». PLOS ONE . 12 (10): e0185257. arXiv : 1604.07782 . Bibcode : 2017PLoSO..1285257R. doi : 10.1371 /journal.pone.0185257 . PMC 5628819. PMID  28981532. 
12. "Wikipedia:Моделирование роста Wikipedia", Wikipedia , 2023-03-18 , получено 2023-03-23
13. Laird AK (сентябрь 1964). «Динамика роста опухоли». British Journal of Cancer . 13 (3): 490–502. doi : 10.1038/bjc.1964.55. PMC 2071101. PMID  14219541. 
14. Стил ГГ (1977). Кинетика роста опухолей . Оксфорд: Clarendon Press. ISBN 0-19-857388-X.
15. Wheldon TE (1988). Математические модели в исследовании рака . Бристоль: Adam Hilger. ISBN 0-85274-291-6.
16. d'Onofrio A (2005). «Общая структура для моделирования конкуренции опухолей и иммунной системы и иммунотерапии: математический анализ и биомедицинские выводы». Physica D. 208 ( 3–4): 220–235. arXiv : 1309.3337 . Bibcode : 2005PhyD..208..220D. doi : 10.1016/j.physd.2005.06.032. S2CID  15031322.
17. Форнальский К.В., Рещиньска Дж., Добжинский Л., Высоцкий П., Яняк МК (2020). «Возможный источник закона Гомпертца о пролиферации раковых клеток: механистическое моделирование опухолевого роста». Acta Physica Polonica А. 138 (6): 854–862. Бибкод : 2020AcPPA.138..854F. doi : 10.12693/APhysPolA.138.854 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Кривая Гомпертца». Математический мир .
• https://archive.org/details/philtrans04942340
• http://chemoth.com/tumorgrowth