Ограничение полосы пропускания

Ограничение сигнала только низкочастотными компонентами

Ограничение полосы пропускания относится к процессу, который снижает энергию сигнала до приемлемо низкого уровня за пределами желаемого диапазона частот .

Ограничение полосы пропускания является неотъемлемой частью многих приложений в обработке сигналов и коммуникациях. Примерами являются контроль помех между радиочастотными сигналами связи и управление искажениями наложения спектров , связанными с дискретизацией для цифровой обработки сигналов .

Спектр сигнала основной полосы частот с ограниченной полосой частот как функция частоты

Сигналы с ограниченной полосой пропускания

Сигнал с ограниченной полосой частот , строго говоря, является сигналом с нулевой энергией за пределами определенного диапазона частот. На практике сигнал считается сигналом с ограниченной полосой частот, если его энергия за пределами диапазона частот достаточно мала, чтобы считаться пренебрежимо малой в данном приложении.

Сигнал с ограниченной полосой частот может быть как случайным ( стохастическим ), так и неслучайным ( детерминированным ).

В общем случае для представления сигнала в виде непрерывного ряда Фурье требуется бесконечно много членов , но если из этого сигнала можно вычислить конечное число членов ряда Фурье, то этот сигнал считается ограниченным по полосе. В математической терминологии сигнал с ограниченной полосой имеет преобразование Фурье или спектральную плотность с ограниченным носителем .

Выборка сигналов с ограниченной полосой пропускания

Сигнал с ограниченной полосой пропускания может быть полностью восстановлен из его образцов, при условии, что частота дискретизации превышает удвоенную ширину полосы сигнала. Эта минимальная частота дискретизации называется частотой Найквиста, связанной с теоремой дискретизации Найквиста–Шеннона .

Реальные сигналы не имеют строгой полосы пропускания, и сигналы, представляющие интерес, обычно имеют нежелательную энергию за пределами полосы пропускания. Из-за этого функции выборки и функции цифровой обработки сигналов, которые изменяют частоту выборки, обычно требуют фильтров, ограничивающих полосу пропускания, чтобы контролировать величину искажения наложения спектров . Фильтры, ограничивающие полосу пропускания, должны быть тщательно спроектированы для управления другими искажениями, поскольку они изменяют сигнал, представляющий интерес, как по его амплитуде и фазе в частотной области , так и по его свойствам во временной области .

Примером простого детерминированного сигнала с ограниченной полосой является синусоида вида Если этот сигнал дискретизируется с такой частотой , что у нас есть выборки для всех целых чисел , мы можем полностью восстановиться из этих выборок. Аналогично, суммы синусоид с различными частотами и фазами также ограничены полосой до самой высокой из своих частот. ${\displaystyle x(t)=\sin(2\pi ft+\theta ).}$ ${\displaystyle f_{s}={\tfrac {1}{T}}>2f}$ ${\displaystyle x(nT),}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x(t)}$

Сигнал, преобразование Фурье которого показано на рисунке, также имеет ограниченную полосу пропускания. Предположим, что есть сигнал, преобразование Фурье которого есть величина, показанная на рисунке. Самая высокая частотная составляющая в есть В результате скорость Найквиста есть ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle X(f),}$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle B.}$

${\displaystyle R_{N}=2B\,}$

или дважды самая высокая частотная составляющая в сигнале, как показано на рисунке. Согласно теореме о выборке, можно полностью и точно восстановить, используя выборки ${\displaystyle x(t)\ }$

${\displaystyle x(nT)=x\left({n \over f_{s}}\right)}$для всех целых чисел и ${\displaystyle n\,}$ ${\displaystyle T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over f_{s}}}$

пока

${\displaystyle f_{s}>R_{N}\,}$

Реконструкция сигнала по его выборкам может быть выполнена с использованием интерполяционной формулы Уиттекера–Шеннона .

Ограниченный по полосе и ограниченный по времени

Сигнал с ограниченной полосой пропускания не может быть также ограниченным по времени. Точнее, функция и ее преобразование Фурье не могут иметь одновременно конечный носитель , если только он не равен тождественно нулю. Этот факт можно доказать с помощью комплексного анализа и свойств преобразования Фурье.

Доказательство: Предположим, что существует сигнал f(t), который имеет конечную поддержку в обеих областях и не является тождественно нулем. Давайте выберем его быстрее частоты Найквиста и вычислим соответствующее преобразование Фурье и дискретное преобразование Фурье . Согласно свойствам ДВПФ, , где — частота, используемая для дискретизации. Если f ограничено полосой пропускания, равно нулю вне определенного интервала, поэтому при достаточно большом , будет равно нулю и в некоторых интервалах, поскольку отдельные поддержки в сумме не будут перекрываться. Согласно определению ДВПФ, — сумма тригонометрических функций, и поскольку f(t) ограничено по времени, эта сумма будет конечной, поэтому фактически будет тригонометрическим полиномом . Все тригонометрические полиномы голоморфны на всей комплексной плоскости , и в комплексном анализе есть простая теорема, которая гласит, что все нули непостоянной голоморфной функции изолированы . Но это противоречит нашему более раннему выводу о том, что есть интервалы, полные нулей, потому что точки в таких интервалах не изолированы. Таким образом, единственным ограниченным по времени и полосе пропускания сигналом является постоянный ноль. ${\displaystyle FT(f)=F_{1}(w)}$ ${\displaystyle DTFT(f)=F_{2}(w)}$ ${\displaystyle F_{2}(w)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }F_{1}(w+nf_{x})}$ ${\displaystyle f_{x}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle f_{x}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}}$

Одним из важных следствий этого результата является то, что невозможно сгенерировать действительно ограниченный по полосе сигнал в любой реальной ситуации, поскольку ограниченный по полосе сигнал потребовал бы бесконечного времени для передачи. Все реальные сигналы, по необходимости, ограничены по времени , что означает, что они не могут быть ограничены по полосе. Тем не менее, концепция ограниченного по полосе сигнала является полезной идеализацией для теоретических и аналитических целей. Более того, возможно аппроксимировать ограниченный по полосе сигнал до любого произвольного желаемого уровня точности.

Аналогичное соотношение между длительностью во времени и шириной полосы пропускания в частоте также формирует математическую основу принципа неопределенности в квантовой механике . В этой установке «ширина» функций временной области и частотной области оценивается с помощью дисперсионной меры. Количественно принцип неопределенности накладывает следующее условие на любую реальную форму волны:

${\displaystyle W_{B}T_{D}\geq 1}$

где

${\displaystyle W_{B}}$является (соответствующим образом выбранной) мерой полосы пропускания (в герцах) и

${\displaystyle T_{D}}$— это (соответствующим образом выбранная) мера продолжительности времени (в секундах).

В частотно-временном анализе эти пределы известны как предел Габора и интерпретируются как предел одновременного разрешения по времени и частоте, которого можно достичь.

Смотрите также

• Полосовой фильтр
• Полосовой режекторный фильтр

Ссылки

• Уильям Макк. Сиберт (1986). Схемы, сигналы и системы . Кембридж, Массачусетс: MIT Press.