вейвлет Хаара

Первый известный вейвлет-базис

Вейвлет Хаара

В математике вейвлет Хаара представляет собой последовательность перемасштабированных "квадратных" функций, которые вместе образуют семейство вейвлетов или базис. Анализ вейвлетов похож на анализ Фурье тем, что он позволяет представить целевую функцию на интервале в терминах ортонормированного базиса . Последовательность Хаара в настоящее время признана первым известным базисом вейвлетов и широко используется в качестве учебного примера.

Последовательность Хаара была предложена в 1909 году Альфредом Хааром . ^[1] Хаар использовал эти функции, чтобы дать пример ортонормированной системы для пространства квадратично-интегрируемых функций на единичном интервале  [0, 1]. Изучение вейвлетов и даже термин «вейвлет» появились гораздо позже. Как частный случай вейвлета Добеши , вейвлет Хаара также известен как Db1 .

Вейвлет Хаара также является простейшим возможным вейвлетом. Техническим недостатком вейвлета Хаара является то, что он не является непрерывным , и, следовательно, не дифференцируемым . Это свойство может, однако, быть преимуществом для анализа сигналов с внезапными переходами ( дискретные сигналы ), например, для мониторинга отказа инструмента в машинах. ^[2]

Материнскую вейвлет-функцию вейвлета Хаара можно описать как ${\displaystyle \psi (t)}$

${\displaystyle \psi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<{\frac {1}{2}},\\-1&{\frac {1}{2}}\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Его масштабирующая функция может быть описана как ${\displaystyle \varphi (t)}$

${\displaystyle \varphi (t)={\begin{cases}1\quad &0\leq t<1,\\0&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}}$

Функции Хаара и система Хаара

Для каждой пары n , k целых чисел в функция Хаара ψ _{n , k} определяется на действительной прямой по формуле ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \psi _{n,k}(t)=2^{n/2}\psi (2^{n}t-k),\quad t\in \mathbb {R} .}$

Эта функция поддерживается на правом открытом интервале I _{n , k} = [ k 2 ^{− n} , ( k +1)2 ^{− n} ) , т.е. она исчезает вне этого интервала. Она имеет интеграл 0 и норму 1 в гильбертовом пространстве L 2 ( ) ,   ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\psi _{n,k}(t)\,dt=0,\quad \|\psi _{n,k}\|_{L^{2}(\mathbb {R} )}^{2}=\int _{\mathbb {R} }\psi _{n,k}(t)^{2}\,dt=1.}$

Функции Хаара попарно ортогональны ^{[ сломанный якорь ]} ,

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\psi _{n_{1},k_{1}}(t)\psi _{n_{2},k_{2}}(t)\,dt=\delta _{n_{1}n_{2}}\delta _{k_{1}k_{2}},}$

где представляет собой дельту Кронекера . Вот причина ортогональности: когда два опорных интервала и не равны, то они либо не пересекаются, либо меньший из двух опор, скажем , содержится в нижней или в верхней половине другого интервала, на котором функция остается постоянной. Из этого следует, что в этом случае произведение этих двух функций Хаара является кратным первой функции Хаара, следовательно, произведение имеет интеграл 0. ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle I_{n_{1},k_{1}}}$ ${\displaystyle I_{n_{2},k_{2}}}$ ${\displaystyle I_{n_{1},k_{1}}}$ ${\displaystyle \psi _{n_{2},k_{2}}}$

Система Хаара на действительной прямой — это набор функций

${\displaystyle \{\psi _{n,k}(t)\;:\;n\in \mathbb {Z} ,\;k\in \mathbb {Z} \}.}$

Она полна в L ² ( ): Система Хаара на прямой является ортонормированным базисом в L ² ( ). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Свойства вейвлета Хаара

Вейвлет Хаара обладает несколькими примечательными свойствами:

1. Любая непрерывная действительная функция с компактным носителем может быть аппроксимирована равномерно линейными комбинациями и их сдвинутых функций. Это распространяется на те функциональные пространства, где любая функция в них может быть аппроксимирована непрерывными функциями. ${\displaystyle \varphi (t),\varphi (2t),\varphi (4t),\dots ,\varphi (2^{n}t),\dots }$
2. Любая непрерывная действительная функция на [0, 1] может быть равномерно приближена на [0, 1] линейными комбинациями постоянной функции  1 и их сдвинутых функций. ^[3] ${\displaystyle \psi (t),\psi (2t),\psi (4t),\dots ,\psi (2^{n}t),\dots }$
3. Ортогональность в форме

   ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }2^{(n+n_{1})/2}\psi (2^{n}t-k)\psi (2^{n_{1}}t-k_{1})\,dt=\delta _{nn_{1}}\delta _{kk_{1}}.}$

   Здесь представляет собой дельту Кронекера . Двойственная функция ψ( t ) — это сама ψ( t ). ${\displaystyle \delta _{ij}}$
4. Функции вейвлета/масштабирования с различным масштабом n имеют функциональную связь: ^[4] поскольку

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\varphi (2t)+\varphi (2t-1)\\[.2em]\psi (t)&=\varphi (2t)-\varphi (2t-1),\end{aligned}}}$

   следует, что коэффициенты масштаба n можно вычислить по коэффициентам масштаба n+1 :
   Если и тогда ${\displaystyle \chi _{w}(k,n)=2^{n/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\varphi (2^{n}t-k)\,dt}$
   ${\displaystyle \mathrm {X} _{w}(k,n)=2^{n/2}\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\psi (2^{n}t-k)\,dt}$
   

   ${\displaystyle \chi _{w}(k,n)=2^{-1/2}{\bigl (}\chi _{w}(2k,n+1)+\chi _{w}(2k+1,n+1){\bigr )}}$

   ${\displaystyle \mathrm {X} _{w}(k,n)=2^{-1/2}{\bigl (}\chi _{w}(2k,n+1)-\chi _{w}(2k+1,n+1){\bigr )}.}$

Система Хаара на единичном интервале и родственные системы

В этом разделе обсуждение ограничивается единичным интервалом [0, 1] и функциями Хаара, которые поддерживаются на [0, 1]. Система функций, рассмотренная Хааром в 1910 году ^[5], называемая в этой статье системой Хаара на [0, 1] , состоит из подмножества вейвлетов Хаара, определяемых как

${\displaystyle \{t\in [0,1]\mapsto \psi _{n,k}(t)\;:\;n,k\in \mathbb {N} \cup \{0\},\;0\leq k<2^{n}\},}$

с добавлением постоянной функции 1 на [0, 1].

В терминах гильбертова пространства эта система Хаара на [0, 1] является полной ортонормированной системой, т.е. ортонормированным базисом , для пространства L ² ([0, 1]) квадратично интегрируемых функций на единичном интервале.

Система Хаара на [0, 1] — с постоянной функцией 1 в качестве первого элемента, за которой следуют функции Хаара, упорядоченные в соответствии с лексикографическим порядком пар ( n , k ), — далее является монотонным базисом Шаудера для пространства L ^p ([0, 1]), когда 1 ≤ p < ∞ . ^[6] Этот базис является безусловным , когда 1 < p < ∞ . ^[7]

Существует родственная система Радемахера, состоящая из сумм функций Хаара,

${\displaystyle r_{n}(t)=2^{-n/2}\sum _{k=0}^{2^{n}-1}\psi _{n,k}(t),\quad t\in [0,1],\ n\geq 0.}$

Обратите внимание, что | r _n ( t )| = 1 на [0, 1). Это ортонормированная система, но она не является полной. ^{[8] [9]} На языке теории вероятностей последовательность Радемахера является примером последовательности независимых бернуллиевских случайных величин со средним значением  0. Неравенство Хинчина выражает тот факт, что во всех пространствах L ^p ([0, 1]), 1 ≤ p < ∞ , последовательность Радемахера эквивалентна базису единичных векторов в ℓ ² . ^[10] В частности, замкнутая линейная оболочка последовательности Радемахера в L ^p ([0, 1]), 1 ≤ p < ∞ , изоморфна ℓ ² .

Система Фабера–Шаудера

Система Фабера–Шаудера ^{[11] [12] [13]} — это семейство непрерывных функций на [0, 1], состоящее из постоянной функции  1 и кратных неопределенных интегралов функций в системе Хаара на [0, 1], выбранных так, чтобы иметь норму 1 в максимальной норме . Эта система начинается с s ₀  =  1 , затем s ₁ ( t ) = t — это неопределенный интеграл, обращающийся в нуль в 0, функции  1 , первого элемента системы Хаара на [0, 1]. Далее, для каждого целого числа n ≥ 0 функции s _{n , k} определяются формулой

${\displaystyle s_{n,k}(t)=2^{1+n/2}\int _{0}^{t}\psi _{n,k}(u)\,du,\quad t\in [0,1],\ 0\leq k<2^{n}.}$

Эти функции s _{n , k} являются непрерывными, кусочно-линейными , поддерживаемыми интервалом I _{n , k ,} который также поддерживает ψ _{n , k} . Функция s _{n , k} равна 1 в средней точке x _{n , k} интервала  I _{n , k} , линейна на обеих половинах этого интервала. Она принимает значения от 0 до 1 везде.

Система Фабера–Шаудера является базисом Шаудера для пространства C ([0, 1]) непрерывных функций на [0, 1]. ^[6] Для каждой  f из C ([0, 1]) частичная сумма

${\displaystyle f_{n+1}=a_{0}s_{0}+a_{1}s_{1}+\sum _{m=0}^{n-1}{\Bigl (}\sum _{k=0}^{2^{m}-1}a_{m,k}s_{m,k}{\Bigr )}\in C([0,1])}$

разложения ряда функции f по системе Фабера–Шаудера — это непрерывная кусочно-линейная функция, совпадающая с  f в 2 ⁿ + 1 точках k 2 ^{− n} , где 0 ≤ k ≤ 2 ⁿ . Далее формула

${\displaystyle f_{n+2}-f_{n+1}=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}{\bigl (}f(x_{n,k})-f_{n+1}(x_{n,k}){\bigr )}s_{n,k}=\sum _{k=0}^{2^{n}-1}a_{n,k}s_{n,k}}$

дает способ вычислить разложение f шаг за шагом. Поскольку f равномерно непрерывна , последовательность { f _n } сходится равномерно к f . Отсюда следует, что разложение ряда Фабера–Шаудера функции f сходится в C ([0, 1]), и сумма этого ряда равна  f .

Система Франклина

Система Франклина получается из системы Фабера–Шаудера процедурой ортонормализации Грама–Шмидта . ^{[14] [15]} Поскольку система Франклина имеет ту же линейную оболочку , что и система Фабера–Шаудера, эта оболочка плотна в C ([0, 1]), а значит, и в L ² ([0, 1]). Таким образом, система Франклина является ортонормированным базисом для L ² ([0, 1]), состоящим из непрерывных кусочно-линейных функций. В 1928 году П. Франклин доказал, что эта система является базисом Шаудера для C ([0, 1]). ^[16] Система Франклина также является безусловным базисом Шаудера для пространства L ^p ([0, 1]) при 1 < p < ∞ . ^[17] Система Франклина обеспечивает базис Шаудера в дисковой алгебре A ( D ). ^[17] Это было доказано в 1974 году Бочкаревым, после того как существование базиса для дисковой алгебры оставалось открытым более сорока лет. ^[18]

Конструкция Бочкарева базиса Шаудера в A ( D ) выглядит следующим образом: пусть  f — комплекснозначная липшицева функция на [0, π]; тогда  f — сумма косинусного ряда с абсолютно суммируемыми коэффициентами. Пусть  T ( f ) — элемент A ( D ), определяемый комплексным степенным рядом с теми же коэффициентами,

${\displaystyle \left\{f:x\in [0,\pi ]\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\cos(nx)\right\}\longrightarrow \left\{T(f):z\rightarrow \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},\quad |z|\leq 1\right\}.}$

Базис Бочкарева для A ( D ) образован образами под  T функций в системе Франклина на [0, π]. Эквивалентное описание Бочкарева для отображения  T начинается с расширения f до четной липшицевой функции  g ₁ на [−π, π], отождествляемой с липшицевой функцией на единичной окружности  T . Далее, пусть g ₂ будет сопряженной функцией g  1 _, и определим T ( f ) как функцию в  A ( D ), значение которой на границе T области  D равно  g ₁ + i g ₂ .

При работе с 1-периодическими непрерывными функциями или, скорее, с непрерывными функциями f на [0, 1] такими, что f (0) = f (1) , удаляют функцию s ₁ ( t ) = t из системы Фабера–Шаудера, чтобы получить периодическую систему Фабера–Шаудера . Периодическая система Франклина получается ортонормализацией из периодической системы Фабера–Шаудера. ^[19] Можно доказать результат Бочкарева об A ( D ), доказав, что периодическая система Франклина на [0, 2π] является базисом для банахова пространства Ar _, изоморфного A ( D ). ^[19] Пространство Ar состоит из комплексных непрерывных функций на единичной окружности T , _{сопряженная} функция которых также непрерывна.

матрица Хаара

Матрица Хаара 2×2, связанная с вейвлетом Хаара, имеет вид

${\displaystyle H_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}.}$

Используя дискретное вейвлет-преобразование , можно преобразовать любую последовательность четной длины в последовательность двухкомпонентных векторов . Если умножить каждый вектор справа на матрицу , то получится результат одного этапа быстрого вейвлет-преобразования Хаара. Обычно последовательности s и d разделяют и продолжают преобразовывать последовательность s . Последовательность s часто называют усредненной частью , тогда как d известна как детальная часть. ^[20] ${\displaystyle (a_{0},a_{1},\dots ,a_{2n},a_{2n+1})}$ ${\displaystyle \left(\left(a_{0},a_{1}\right),\left(a_{2},a_{3}\right),\dots ,\left(a_{2n},a_{2n+1}\right)\right)}$ ${\displaystyle H_{2}}$ ${\displaystyle \left(\left(s_{0},d_{0}\right),\dots ,\left(s_{n},d_{n}\right)\right)}$

Если у нас есть последовательность, длина которой кратна четырем, то можно построить блоки из 4 элементов и преобразовать их аналогичным образом с помощью матрицы Хаара 4×4.

${\displaystyle H_{4}={\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\1&-1&0&0\\0&0&1&-1\end{bmatrix}},}$

который объединяет два этапа быстрого вейвлет-преобразования Хаара.

Сравните с матрицей Уолша , которая является нелокализованной матрицей 1/–1.

В общем случае матрицу Хаара размером 2N×2N можно вывести с помощью следующего уравнения.

${\displaystyle H_{2N}={\begin{bmatrix}H_{N}\otimes [1,1]\\I_{N}\otimes [1,-1]\end{bmatrix}}}$

где и — произведение Кронекера . ${\displaystyle I_{N}={\begin{bmatrix}1&0&\dots &0\\0&1&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \otimes }$

Произведение Кронекера , где — матрица m×n, а — матрица ap×q, выражается как ${\displaystyle A\otimes B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\dots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\dots &a_{mn}B\end{bmatrix}}.}$

Ниже показана ненормализованная 8-точечная матрица Хаара. ${\displaystyle H_{8}}$

${\displaystyle H_{8}={\begin{bmatrix}1&1&1&1&1&1&1&1\\1&1&1&1&-1&-1&-1&-1\\1&1&-1&-1&0&0&0&0&\\0&0&0&0&1&1&-1&-1\\1&-1&0&0&0&0&0&0&\\0&0&1&-1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&-1&0&0&\\0&0&0&0&0&0&1&-1\end{bmatrix}}.}$

Обратите внимание, что указанная выше матрица является ненормализованной матрицей Хаара. Матрица Хаара, требуемая преобразованием Хаара, должна быть нормализована.

Из определения матрицы Хаара можно заметить, что, в отличие от преобразования Фурье , имеет только действительные элементы (т.е. 1, -1 или 0) и является несимметричной. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$

Возьмем в качестве примера 8-точечную матрицу Хаара . Первая строка измеряет среднее значение, а вторая строка измеряет низкочастотную составляющую входного вектора. Следующие две строки чувствительны к первой и второй половине входного вектора соответственно, что соответствует умеренным частотным составляющим. Оставшиеся четыре строки чувствительны к четвертой секции входного вектора, что соответствует высокочастотным составляющим. ^[21] ${\displaystyle H_{8}}$ ${\displaystyle H_{8}}$ ${\displaystyle H_{8}}$

преобразование Хаара

Преобразование Хаара является простейшим из вейвлет-преобразований . Это преобразование перекрестно умножает функцию на вейвлет Хаара с различными сдвигами и растяжениями, подобно тому, как преобразование Фурье перекрестно умножает функцию на синусоиду с двумя фазами и многими растяжениями. ^{[22] [ необходимо разъяснение ]}

Введение

Преобразование Хаара — одна из старейших функций преобразования, предложенная в 1910 году венгерским математиком Альфредом Хааром . Оно оказалось эффективным в таких приложениях, как сжатие сигналов и изображений в электротехнике и вычислительной технике, поскольку обеспечивает простой и вычислительно эффективный подход к анализу локальных аспектов сигнала.

Преобразование Хаара выводится из матрицы Хаара. Пример матрицы преобразования Хаара 4×4 показан ниже.

${\displaystyle H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$

Преобразование Хаара можно рассматривать как процесс выборки, в котором строки матрицы преобразования выступают в качестве образцов все более и более высокого разрешения.

Сравните с преобразованием Уолша , которое также равно 1/–1, но не локализовано.

Свойство

Преобразование Хаара имеет следующие свойства:

1. Нет необходимости в умножениях. Требуются только сложения, и в матрице Хаара много элементов с нулевым значением, поэтому время вычисления короткое. Это быстрее, чем преобразование Уолша , матрица которого состоит из +1 и −1.
2. Длина входного и выходного данных одинакова. Однако длина должна быть степенью числа 2, т.е. . ${\displaystyle N=2^{k},k\in \mathbb {N} }$
3. Его можно использовать для анализа локализованных особенностей сигналов. Благодаря ортогональности функции Хаара можно анализировать частотные компоненты входного сигнала.

Преобразование Хаара и обратное преобразование Хаара

Преобразование Хаара y n _n -входной функции x _n равно

${\displaystyle y_{n}=H_{n}x_{n}}$

Матрица преобразования Хаара является действительной и ортогональной. Таким образом, обратное преобразование Хаара может быть получено с помощью следующих уравнений.

${\displaystyle H=H^{*},H^{-1}=H^{T},{\text{ i.e. }}HH^{T}=I}$

где — единичная матрица. Например, при n = 4 ${\displaystyle I}$

${\displaystyle H_{4}^{T}H_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&{\sqrt {2}}&0\\1&1&-{\sqrt {2}}&0\\1&-1&0&{\sqrt {2}}\\1&-1&0&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}\cdot \;{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Таким образом, обратное преобразование Хаара имеет вид

${\displaystyle x_{n}=H^{T}y_{n}}$

Пример

Коэффициенты преобразования Хаара для 4-точечного сигнала можно найти как ${\displaystyle x_{4}=[1,2,3,4]^{T}}$

${\displaystyle y_{4}=H_{4}x_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1\\1&1&-1&-1\\{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}&0&0\\0&0&{\sqrt {2}}&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}}$

Входной сигнал затем может быть идеально восстановлен с помощью обратного преобразования Хаара.

${\displaystyle {\hat {x_{4}}}=H_{4}^{T}y_{4}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&1&{\sqrt {2}}&0\\1&1&-{\sqrt {2}}&0\\1&-1&0&{\sqrt {2}}\\1&-1&0&-{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5\\-2\\-1/{\sqrt {2}}\\-1/{\sqrt {2}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\2\\3\\4\end{bmatrix}}}$

Смотрите также

• Уменьшение размеров
• Матрица Уолша
• преобразование Уолша
• Вейвлет
• Чирплет
• Сигнал
• Хаар-подобная особенность
• Вейвлет Стрёмберга
• Диадическая трансформация

Примечания

1. см. стр. 361 в Хааре (1910).
2. Ли, Б.; Тарнг, YS (1999). «Применение дискретного вейвлет-преобразования для мониторинга отказа инструмента при торцевом фрезеровании с использованием тока двигателя шпинделя». Международный журнал передовых производственных технологий . 15 (4): 238–243. doi :10.1007/s001700050062. S2CID  109908427.
3. В отличие от предыдущего утверждения, этот факт не очевиден: см. стр. 363 в Haar (1910).
4. Видакович, Брани (2010). Статистическое моделирование с помощью вейвлетов . Wiley Series in Probability and Statistics (2-е изд.). С. 60, 63. doi :10.1002/9780470317020. ISBN 9780470317020.
5. стр. 361 в Хааре (1910)
6. см. стр. 3 в Дж. Линденштраусе , Л. Цафрири, (1977), «Классические банаховые пространства I, пространства последовательностей», Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4 . 
7. Результат принадлежит Р. Э. Пейли , Замечательный ряд ортогональных функций (I) , Proc. Лондонская математика. Соц. 34 (1931), стр. 241–264. См. также стр. 155 в Дж. Линденштраусе, Л. Цафрири, (1979), «Классические банаховы пространства II, Функциональные пространства». Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 97 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08888-1 . 
8. "Ортогональная система", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
9. Уолтер, Гилберт Г.; Шен, Сяопин (2001). Вейвлеты и другие ортогональные системы . Бока-Ратон: Chapman. ISBN 1-58488-227-1.
10. см., например, стр. 66 в Дж. Линденштраусе , Л. Цафрири, (1977), «Классические банаховы пространства I, пространства последовательностей», Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 92 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-08072-4 . 
11. Фабер, Георг (1910), «Über die Orthogonalfunktionen des Herrn Haar», Deutsche Math.-Ver (на немецком языке) 19 : 104–112. ISSN  0012-0456; http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN37721857X; http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002122553
12. Шаудер, Юлиуш (1928), «Eine Eigenschaft des Haarschen Orthogonalsystems», Mathematische Zeitschrift 28 : 317–320.
13. Голубов, Б.И. (2001) [1994], «Система Фабера – Шаудера», Энциклопедия математики , EMS Press
14. см. З. Чесельский, Свойства ортонормированной системы Франклина . Студия Матем. 23 1963 г. 141–157.
15. Система Франклина. Б.И. Голубов (составитель), Энциклопедия математики. URL: http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Система_Франклина&oldid=16655
16. Филип Франклин, Набор непрерывных ортогональных функций , Math. Ann. 100 (1928), 522-529. doi :10.1007/BF01448860
17. С. В. Бочкарев, Существование базиса в пространстве аналитических в круге функций и некоторые свойства системы Франклина , Матем. сб. 95 (1974), 3–18. Перевод на матем. сб. СССР 24 (1974), 1–16.
18. Появляется вопрос с. 238, §3 в книге Банаха Banach, Stefan (1932), Théorie des opérations linéaires, Monografie Matematyczne, vol. 1, Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej, Zbl  0005.20901. Дисковая алгебра A ( D ) представлена ​​в примере 10 на стр. 12 книги Банаха.
19. См. стр. 161, III.D.20 и стр. 192, III.E.17 в Wojtaszczyk, Przemysław (1991), Банаховы пространства для аналитиков , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 25, Cambridge: Cambridge University Press, стр. xiv+382, ISBN 0-521-35618-0
20. Рач, Дэвид К.; Ван Флит, Патрик Дж. (2009). Теория вейвлетов: элементарный подход с приложениями . John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-38840-2.
21. "haar". Fourier.eng.hmc.edu. 30 октября 2013 г. Архивировано из оригинала 21 августа 2012 г. Получено 23 ноября 2013 г.
22. Преобразование Хаара

Ссылки

• Хаар, Альфред (1910), «Zur Theorie der ortagonalen Funktionensysteme», Mathematische Annalen , 69 (3): 331–371, doi : 10.1007/BF01456326, hdl : 2027/uc1.b2619563 , S2CID  120024038
• Чарльз К. Чуй, Введение в вейвлеты , (1992), Academic Press, Сан-Диего, ISBN 0-585-47090-1 
• Перевод на английский язык основополагающей статьи Хаара: [1]

Внешние ссылки

• «Система Хаара», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Бесплатная реализация вейвлет-фильтрации Хаара и интерактивная демонстрация
• Бесплатное шумоподавление с помощью вейвлета Хаара и сжатие сигнала с потерями

преобразование Хаара

• Кингсбери, Ник. "Преобразование Хаара". Архивировано из оригинала 19 апреля 2006 г.
• Эк, Дэвид (31 января 2006 г.). «Демонстрационные апплеты преобразования Хаара».
• Эймс, Грег (7 декабря 2002 г.). "Сжатие изображений" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 25 января 2011 г.
• Аарон, Энн; Хилл, Майкл; Шриватса, Ананд. "MOSMAT 500. Генератор фотомозаики. 2. Теория". Архивировано из оригинала 18 марта 2008 г.
• Ван, Руйе (4 декабря 2008 г.). "Преобразование Хаара". Архивировано из оригинала 21 августа 2012 г.