В алгебраической геометрии функциональное поле алгебраического многообразия V состоит из объектов , которые интерпретируются как рациональные функции на V. В классической алгебраической геометрии они представляют собой отношения многочленов ; в сложной геометрии — это мероморфные функции и их многомерные аналоги; в современной алгебраической геометрии они являются элементами некоторого факторкольца поля частных .
В комплексной геометрии объектами изучения являются комплексные аналитические многообразия , на которых мы имеем локальное понятие комплексного анализа , с помощью которого мы можем определять мероморфные функции. В этом случае функциональное поле многообразия представляет собой множество всех мероморфных функций на многообразии. (Как и все мероморфные функции, они принимают свои значения в .) Вместе с операциями сложения и умножения функций это поле в смысле алгебры.
Для сферы Римана , которая является многообразием комплексных чисел, глобальные мероморфные функции являются в точности рациональными функциями (то есть отношениями комплексных полиномиальных функций).
В классической алгебраической геометрии мы обобщаем вторую точку зрения. Для сферы Римана, указанной выше, понятие многочлена определяется не глобально, а просто по отношению к аффинной координатной карте, а именно к карте, состоящей из комплексной плоскости (все, кроме северного полюса сферы). В общем многообразии V мы говорим, что рациональная функция на открытом аффинном подмножестве U определяется как отношение двух многочленов в аффинном координатном кольце U и что рациональная функция на всем V состоит из таких локальных данных, которые согласуются на пересечениях открытых аффинов. Мы можем определить функциональное поле V как поле частных аффинного координатного кольца любого открытого аффинного подмножества, поскольку все такие подмножества плотны.
В самом общем контексте современной теории схем мы принимаем последнюю точку зрения, изложенную выше, в качестве отправной точки. А именно, если – целая схема , то для любого открытого аффинного подмножества кольца сечений on является областью целостности и, следовательно, имеет поле частных. Более того, можно проверить , что все они одинаковы и равны стеблю общей точки . Таким образом, функциональное поле является лишь стеблем его общей точки. Эта точка зрения получила дальнейшее развитие в функциональном поле (теория схем) . См. Робин Хартшорн (1977).
Если V — многообразие, определенное над полем K , то функциональное поле K ( V ) — конечно порожденное расширение основного поля K ; степень его трансцендентности равна размерности многообразия . Все расширения K , которые конечно порождены как поля над K, возникают таким образом из некоторого алгебраического многообразия. Эти расширения полей также известны как поля алгебраических функций над K .
Свойства многообразия V , зависящие только от поля функций, изучаются в бирациональной геометрии .
Функциональное поле точки над K есть K .
Поле функций аффинной прямой над K изоморфно полю K ( t ) рациональных функций одной переменной. Это также функциональное поле проективной прямой .
Рассмотрим аффинную алгебраическую плоскую кривую, определенную уравнением . Его функциональное поле — это поле K ( x , y ), порожденное элементами x и y , которые трансцендентны над K и удовлетворяют алгебраическому соотношению .
