Функциональный (математика)

Типы отображений в математике

Функционал длины дуги имеет в качестве области определения векторное пространство спрямляемых кривых – подпространство – и выводит действительный скаляр. Это пример нелинейного функционала. ${\displaystyle C([0,1],\mathbb {R} ^{3})}$

Интеграл Римана — это линейный функционал на векторном пространстве функций, определенных на [ a , b ], которые интегрируемы по Риману от a до b .

В математике функционал — это определенный тип функции . Точное определение термина варьируется в зависимости от подотрасли (а иногда и автора).

• В линейной алгебре это синоним линейной формы , которая является линейным отображением векторного пространства в его поле скаляров (то есть является элементом двойственного пространства ) ^[1] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V^{*}}$
• В функциональном анализе и смежных областях это относится к отображению из пространства в поле действительных или комплексных чисел . ^{[2] [3]} В функциональном анализе термин линейный функционал является синонимом линейной формы ; ^{[3] [4] [5]} то есть это скалярнозначное линейное отображение. В зависимости от автора такие отображения могут или не могут предполагаться линейными или быть определенными на всем пространстве ^{[ требуется ссылка ]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
• В информатике это синоним функции высшего порядка , которая принимает одну или несколько функций в качестве аргументов или возвращает их. ^{[ необходима ссылка ]}

В этой статье в основном рассматривается вторая концепция, которая возникла в начале 18 века как часть вариационного исчисления . Первая концепция, которая является более современной и абстрактной, подробно обсуждается в отдельной статье под названием линейная форма . Третья концепция подробно описана в статье по информатике о функциях высшего порядка .

В случае, когда пространство является пространством функций, функционал является «функцией функции», ^[6] и некоторые старые авторы фактически определяют термин «функционал» как «функцию функции». Однако тот факт, что это пространство функций, не является математически существенным, поэтому это старое определение больше не является преобладающим. ^{[ необходима цитата ]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Термин происходит из вариационного исчисления , где ищут функцию, которая минимизирует (или максимизирует) заданный функционал. Особенно важным применением в физике является поиск состояния системы, которое минимизирует (или максимизирует) действие , или, другими словами, временной интеграл Лагранжиана .

Подробности

Двойственность

Отображение представляет собой функцию, где — аргумент функции. В то же время отображение функции на значение функции в точке является функционалом ; здесь — параметр . $${\displaystyle x_{0}\mapsto f(x_{0})}$$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f.}$ $${\displaystyle f\mapsto f(x_{0})}$$ ${\displaystyle x_{0}}$

При условии, что является линейной функцией из векторного пространства в лежащее в его основе скалярное поле, указанные выше линейные отображения являются двойственными друг другу, и в функциональном анализе оба называются линейными функционалами . ${\displaystyle f}$

Определенный интеграл

Интегралы, такие как образуют особый класс функционалов. Они отображают функцию в действительное число, при условии, что оно имеет действительное значение. Примеры включают $${\displaystyle f\mapsto I[f]=\int _{\Omega }H(f(x),f'(x),\ldots )\;\mu (\mathrm {d} x)}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle H}$

• площадь под графиком положительной функции ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}f(x)\;\mathrm {d} x}$$
• ${\displaystyle L^{p}}$норма функции на множестве ${\displaystyle E}$ $${\displaystyle f\mapsto \left(\int _{E}|f|^{p}\;\mathrm {d} x\right)^{1/p}}$$
• длина дуги кривой в двумерном евклидовом пространстве $${\displaystyle f\mapsto \int _{x_{0}}^{x_{1}}{\sqrt {1+|f'(x)|^{2}}}\;\mathrm {d} x}$$

Внутренние пространства продукта

При наличии внутреннего произведения пространства и фиксированного вектора отображение, определяемое как, является линейным функционалом на Множество векторов, таких что равно нулю, является векторным подпространством, называемым нулевым пространством или ядром функционала, или ортогональным дополнением к обозначенному ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\in X,}$ ${\displaystyle {\vec {y}}\mapsto {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\vec {y}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\vec {x}},}$ ${\displaystyle \{{\vec {x}}\}^{\perp }.}$

Например, взятие скалярного произведения с фиксированной функцией определяет (линейный) функционал на гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций на ${\displaystyle g\in L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ ${\displaystyle [-\pi ,\pi ]:}$ $${\displaystyle f\mapsto \langle f,g\rangle =\int _{[-\pi ,\pi ]}{\bar {f}}g}$$

Местность

Если значение функционала можно вычислить для небольших сегментов входной кривой, а затем просуммировать для нахождения общего значения, функционал называется локальным. В противном случае он называется нелокальным. Например: является локальным, а является нелокальным. Это обычно происходит, когда интегралы встречаются отдельно в числителе и знаменателе уравнения, например, при расчетах центра масс. $${\displaystyle F(y)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\;\mathrm {d} x}$$ $${\displaystyle F(y)={\frac {\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\;\mathrm {d} x}{\int _{x_{0}}^{x_{1}}(1+[y(x)]^{2})\;\mathrm {d} x}}}$$

Функциональные уравнения

Традиционное использование также применяется, когда говорят о функциональном уравнении, имея в виду уравнение между функционалами: уравнение между функционалами можно прочитать как «уравнение для решения», где решения сами являются функциями. В таких уравнениях может быть несколько наборов переменных неизвестных, например, когда говорят, что аддитивное отображение — это отображение, удовлетворяющее функциональному уравнению Коши : ${\displaystyle F=G}$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\qquad {\text{ for all }}x,y.}$$

Производная и интеграция

Функциональные производные используются в механике Лагранжа . Они являются производными функционалов; то есть несут информацию о том, как изменяется функционал при небольшом изменении входной функции.

Ричард Фейнман использовал функциональные интегралы как центральную идею в своей формулировке суммы по историям квантовой механики . Такое использование подразумевает интеграл, взятый по некоторому функциональному пространству .

Смотрите также

• Линейная форма  – Линейное отображение из векторного пространства в его поле скаляров.
• Оптимизация (математика)  – изучение математических алгоритмов для задач оптимизации.Pages displaying short descriptions of redirect targets
• Тензор  – алгебраический объект с геометрическими приложениями

Ссылки

1. Lang 2002, стр. 142 «Пусть E — свободный модуль над коммутативным кольцом A. Мы рассматриваем A как свободный модуль ранга 1 над собой. Под двойственным модулем E ^∨ к E мы будем подразумевать модуль Hom( E , A ). Его элементы будем называть функционалами . Таким образом, функционал на E — это A -линейное отображение f  : E → A ».
2. Колмогоров и Фомин 1957, стр. 77 «Числовую функцию f ( x ), определенную на нормированном линейном пространстве R, будем называть функционалом . Функционал f ( x ) называется линейным, если f (α x + β y ) = α f ( x ) + β f ( y ), где x , y ∈ R и α, β — произвольные числа».
3. Wilansky 2008, стр. 7.
4. Акслер (2014) стр. 101, §3.92
5. Хелемский, А.Я. (2001) [1994], "Линейный функционал", Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
6. Колмогоров и Фомин 1957, стр. 62-63 "Действительная функция на пространстве R есть отображение R в пространство R ¹ (действительную прямую). Так, например, отображение R ⁿ в R ¹ есть обычная действительная функция n переменных. В случае, когда само пространство R состоит из функций, функции от элементов R обычно называются функционалами ".

• Акслер, Шелдон (18 декабря 2014 г.), Линейная алгебра, выполненная правильно , Undergraduate Texts in Mathematics (3-е изд.), Springer (опубликовано в 2015 г.), ISBN 978-3-319-11079-0
• Колмогоров, Андрей ; Фомин, Сергей В. (1957). Элементы теории функций и функционального анализа . Dover Books on Mathematics. Нью-Йорк: Dover Books. ISBN 978-1-61427-304-2. OCLC  912495626.
• Ланг, Серж (2002), «III. Модули, §6. Двойственное пространство и двойственный модуль», Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 142–146, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556, Zbl  0984.00001
• Вилански, Альберт (17 октября 2008 г.) [1970]. Топология для анализа . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC  227923899.
• Соболев, В.И. (2001) [1994], «Функционал», Энциклопедия математики , Издательство ЭМС
• Линейный функционал в n Lab
• Нелинейный функционал в n Lab
• Роуленд, Тодд. «Функциональный». MathWorld .
• Роуленд, Тодд. "Линейный функционал". MathWorld .