Функциональное уравнение

Уравнение, неизвестной является функция

В математике функциональное уравнение [ ^{1] [2] [ нерелевантная цитата ]} в самом широком смысле — это уравнение , в котором одна или несколько функций появляются как неизвестные . Таким образом, дифференциальные уравнения и интегральные уравнения являются функциональными уравнениями. Однако часто используется более узкое значение, когда функциональное уравнение — это уравнение, связывающее несколько значений одной и той же функции. Например, логарифмические функции по существу характеризуются логарифмическим функциональным уравнением ${\displaystyle \log(xy)=\log(x)+\log(y).}$

Если предполагается, что областью определения неизвестной функции являются натуральные числа , функция обычно рассматривается как последовательность , и в этом случае функциональное уравнение (в более узком смысле) называется рекуррентным соотношением . Таким образом, термин функциональное уравнение используется в основном для действительных функций и комплексных функций . Более того, для решений часто предполагается условие гладкости , поскольку без такого условия большинство функциональных уравнений имеют очень нерегулярные решения. Например, гамма-функция — это функция, которая удовлетворяет функциональному уравнению и начальному значению Существует много функций, которые удовлетворяют этим условиям, но гамма-функция — единственная, которая является мероморфной во всей комплексной плоскости и логарифмически выпуклой для действительных и положительных x ( теорема Бора–Моллерупа ). ${\displaystyle f(x+1)=xf(x)}$ ${\displaystyle f(1)=1.}$

Примеры

• Рекуррентные соотношения можно рассматривать как функциональные уравнения в функциях над целыми или натуральными числами, в которых разности между индексами членов можно рассматривать как применение оператора сдвига . Например, рекуррентное соотношение, определяющее числа Фибоначчи , , где и ${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$ ${\displaystyle F_{0}=0}$ ${\displaystyle F_{1}=1}$

• ${\displaystyle f(x+P)=f(x)}$, характеризующий периодические функции

• ${\displaystyle f(x)=f(-x)}$, который характеризует четные функции , и аналогично , который характеризует нечетные функции ${\displaystyle f(x)=-f(-x)}$

• ${\displaystyle f(f(x))=g(x)}$, который характеризует функциональные квадратные корни функции g

• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!}$( Функциональное уравнение Коши ), удовлетворяемое линейными отображениями . Уравнение может, в зависимости от аксиомы выбора , также иметь другие патологические нелинейные решения, существование которых может быть доказано с помощью базиса Гамеля для действительных чисел
• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y),\,\!}$удовлетворяет всем показательным функциям . Подобно аддитивному функциональному уравнению Коши, это также может иметь патологические, разрывные решения
• ${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)\,\!}$, удовлетворяются все логарифмические функции и, над взаимно простыми целыми аргументами, аддитивные функции
• ${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)\,\!}$, удовлетворяющий всем степенным функциям и, по взаимно простым целым аргументам, мультипликативным функциям
• ${\displaystyle f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]\,\!}$(квадратное уравнение или закон параллелограмма )
• ${\displaystyle f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2\,\!}$(Функциональное уравнение Йенсена)
• ${\displaystyle g(x+y)+g(x-y)=2[g(x)g(y)]\,\!}$(функциональное уравнение Даламбера)
• ${\displaystyle f(h(x))=h(x+1)\,\!}$( Уравнение Абеля )
• ${\displaystyle f(h(x))=cf(x)\,\!}$( Уравнение Шредера ).
• ${\displaystyle f(h(x))=(f(x))^{c}\,\!}$( Уравнение Бёттхера ).
• ${\displaystyle f(h(x))=h'(x)f(x)\,\!}$( Уравнение Джулии ).
• ${\displaystyle f(xy)=\sum g_{l}(x)h_{l}(y)\,\!}$(Леви-Чивита),
• ${\displaystyle f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)\,\!}$( формула сложения синусов и формула сложения гиперболических синусов ),
• ${\displaystyle g(x+y)=g(x)g(y)-f(y)f(x)\,\!}$( формула сложения косинусов ),
• ${\displaystyle g(x+y)=g(x)g(y)+f(y)f(x)\,\!}$( формула сложения гиперболических косинусов ).
• Коммутативные и ассоциативные законы являются функциональными уравнениями. В своей привычной форме ассоциативный закон выражается записью бинарной операции в инфиксной нотации , но если мы напишем f ( a ,  b ) вместо a ○ b , то ассоциативный закон будет больше похож на обычное функциональное уравнение, $${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)~,}$$ $${\displaystyle f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)).\,\!}$$

• Функциональное уравнение удовлетворяется дзета-функцией Римана , как доказано здесь . Заглавная буква Γ обозначает гамма-функцию . $${\displaystyle f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)}$$

• Гамма-функция является единственным решением следующей системы из трех уравнений: ^{[ необходима ссылка ]}
  • ${\displaystyle f(x)={f(x+1) \over x}}$
  • ${\displaystyle f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)}$
  • ${\displaystyle f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}}$          ( Формула отражения Эйлера )
• Функциональное уравнение , где a , b , c , d — целые числа , удовлетворяющие , т.е. = 1, определяет f как модулярную форму порядка k . $${\displaystyle f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)}$$ ${\displaystyle ad-bc=1}$ ${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}$

Общей чертой всех перечисленных выше примеров является то, что в каждом случае две или более известных функций (иногда умножение на константу, иногда сложение двух переменных, иногда функция тождества ) находятся внутри аргумента неизвестных функций, для которых требуется найти решение.

Когда дело доходит до запроса всех решений, может оказаться, что следует применить условия из математического анализа ; например, в случае уравнения Коши, упомянутого выше, решения, которые являются непрерывными функциями, являются «разумными», в то время как другие решения, которые вряд ли будут иметь практическое применение, могут быть построены (используя базис Гамеля для действительных чисел как векторное пространство над рациональными числами ). Теорема Бора–Моллерупа является еще одним хорошо известным примером.

Инволюции

Инволюции характеризуются функциональным уравнением . Они появляются в функциональном уравнении Бэббиджа (1820), ^[3] ${\displaystyle f(f(x))=x}$

${\displaystyle f(f(x))=1-(1-x)=x\,.}$

Другие инволюции и решения уравнения включают в себя

• ${\displaystyle f(x)=a-x\,,}$
• ${\displaystyle f(x)={\frac {a}{x}}\,,}$и
• ${\displaystyle f(x)={\frac {b-x}{1+cx}}~,}$

который включает в себя предыдущие три как особые случаи или ограничения.

Решение

Одним из методов решения элементарных функциональных уравнений является подстановка. ^{[ необходима ссылка ]}

Некоторые решения функциональных уравнений используют сюръективность , инъективность , нечетность и четность . ^{[ требуется ссылка ]}

Некоторые функциональные уравнения были решены с использованием анзацев , математической индукции . ^{[ необходима ссылка ]}

Некоторые классы функциональных уравнений можно решить с помощью компьютерных методов. ^{[ неопределенно ] [4]}

В динамическом программировании для решения функционального уравнения Беллмана используются различные методы последовательного приближения ^{[5] [6]} , включая методы, основанные на итерациях с фиксированной точкой .

Смотрите также

• Функциональное уравнение (L-функция)
• Уравнение Беллмана
• Динамическое программирование
• Неявная функция
• Функционально-дифференциальное уравнение

Примечания

1. Рассиас, Фемистокл М. (2000). Функциональные уравнения и неравенства. 3300 AA Дордрехт, Нидерланды: Kluwer Academic Publishers . стр. 335. ISBN 0-7923-6484-8.{{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )
2. Czerwik, Stephan (2002). Функциональные уравнения и неравенства с несколькими переменными . PO Box 128, Farrer Road, Singapore 912805: World Scientific Publishing Co. стр. 410. ISBN  981-02-4837-7.{{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )
3. Ритт, Дж. Ф. (1916). «О некоторых действительных решениях функционального уравнения Бэббиджа». Анналы математики . 17 (3): 113–122. doi :10.2307/2007270. JSTOR  2007270.
4. Хази, Аттила (1 марта 2004 г.). «Решение линейных функциональных уравнений с двумя переменными на компьютере». Математические уравнения . 67 (1): 47–62. дои : 10.1007/s00010-003-2703-9. ISSN  1420-8903. S2CID  118563768.
5. Беллман, Р. (1957). Динамическое программирование, Princeton University Press .
6. Снедович, М. (2010). Динамическое программирование: основы и принципы, Тейлор и Фрэнсис .

Ссылки

• Янош Ацель , Лекции по функциональным уравнениям и их приложениям , Academic Press , 1966, перепечатано Dover Publications, ISBN 0486445232 . 
• Янош Ацель и Дж. Домбрес, Функциональные уравнения с несколькими переменными , Cambridge University Press , 1989.
• C. Efthimiou, Введение в функциональные уравнения , AMS, 2011, ISBN 978-0-8218-5314-6  ; онлайн. 
• Пл. Каннаппан, Функциональные уравнения и неравенства с приложениями , Springer, 2009.
• Марек Кучма , Введение в теорию функциональных уравнений и неравенств , второе издание, Birkhäuser, 2009.
• Хенрик Штеткер, Функциональные уравнения на группах , первое издание, World Scientific Publishing, 2013.
• Кристофер Г. Смолл (3 апреля 2007 г.). Функциональные уравнения и как их решать. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-48901-8.

Внешние ссылки

• Функциональные уравнения: точные решения в EqWorld: Мир математических уравнений.
• Функциональные уравнения: Индекс в EqWorld: Мир математических уравнений.
• Текст сборника ИМО (архив) по функциональным уравнениям в решении задач.