Распределение квазивероятностей Вигнера

Функция распределения Вигнера в физике в отличие от обработки сигналов

Функция Вигнера так называемого состояния кошки

Распределение квазивероятностей Вигнера ( также называемое функцией Вигнера или распределением Вигнера-Вилля , в честь Юджина Вигнера и Жана-Андре Вилля ) является распределением квазивероятностей . Он был введен Юджином Вигнером в 1932 году ^[1] для изучения квантовых поправок к классической статистической механике . Целью было связать волновую функцию , которая появляется в уравнении Шрёдингера, с распределением вероятностей в фазовом пространстве .

Это производящая функция для всех пространственных автокорреляционных функций данной квантовомеханической волновой функции ψ ( x ) . Таким образом, он отображает ^[2] на матрицу квантовой плотности в отображении между вещественными функциями фазового пространства и эрмитовыми операторами, введенными Германом Вейлем в 1927 году, ^[3] в контексте, связанном с теорией представлений в математике (см. Вейлевское квантование ). По сути, это преобразование Вигнера-Вейля матрицы плотности, то есть реализация этого оператора в фазовом пространстве. Позже он был переопределен Жаном Виллем в 1948 году как квадратичное (в сигнале) представление локальной частотно-временной энергии сигнала , ^[4] фактически спектрограммы .

В 1949 году Хосе Энрике Мойал , который вывел его независимо, признал его как функционал, генерирующий квантовый момент, ^[5] и, таким образом, как основу элегантного кодирования всех квантовых математических ожиданий и, следовательно, квантовой механики, в фазовом пространстве ( см. формулировку фазового пространства ). Он имеет приложения в статистической механике , квантовой химии , квантовой оптике , классической оптике и анализе сигналов в различных областях, таких как электротехника , сейсмология , частотно-временной анализ музыкальных сигналов , спектрограммы в биологии и обработке речи, а также проектирование двигателей .

Связь с классической механикой

Классическая частица имеет определенное положение и импульс и, следовательно, представлена ​​точкой в ​​фазовом пространстве. Учитывая набор ( ансамбль ) частиц, вероятность найти частицу в определенной позиции в фазовом пространстве определяется распределением вероятностей, плотностью Лиувилля. Эта строгая интерпретация неверна для квантовой частицы из-за принципа неопределенности . Вместо этого приведенное выше квазивероятностное распределение Вигнера играет аналогичную роль, но не удовлетворяет всем свойствам обычного распределения вероятностей; и, наоборот, удовлетворяет свойствам ограниченности, недоступным классическим распределениям.

Например, распределение Вигнера может принимать и обычно принимает отрицательные значения для состояний, не имеющих классической модели, и является удобным индикатором квантовомеханической интерференции. (См. ниже характеристику чистых состояний, функции Вигнера которых неотрицательны.) Сглаживание распределения Вигнера с помощью фильтра размером больше ħ (например, свертка с гауссианом фазового пространства, преобразованием Вейерштрасса , чтобы получить представление Хусими , ниже) приводит к положительно-полуопределенной функции, т. е. можно считать, что она была огрублена до квазиклассической. ^[а]

Можно доказать (путем свертки их с небольшим гауссианом) области такого отрицательного значения как «маленькие»: они не могут расширяться до компактных областей размером более нескольких ħ и, следовательно, исчезают в классическом пределе . Они защищены принципом неопределенности , который не позволяет точно определить местоположение в пределах областей фазового пространства, меньших ħ , и, таким образом, делает такие « отрицательные вероятности » менее парадоксальными.

Определение и значение

Распределение Вигнера W ( x , p ) чистого состояния определяется как

${\displaystyle W(x,p)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~{\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}(x+y)\psi (x-y)e^{2ipy/\hbar }\,dy,}$

где ψ — волновая функция, а x и p — положение и импульс, но может быть любой парой сопряженных переменных (например, реальной и мнимой частями электрического поля или частотой и временем сигнала). Обратите внимание, что он может иметь поддержку по x даже в регионах, где ψ не имеет поддержки по x («такты»).

Он симметричен по x и p :

${\displaystyle W(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi ^{*}(p+q)\varphi (p-q)e^{-2ixq/\hbar }\,dq,}$

где φ — нормированная волновая функция в импульсном пространстве, пропорциональная преобразованию Фурье ψ .

В 3D,

${\displaystyle W({\vec {r}},{\vec {p}})={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\int \psi ^{*}({\vec {r}}+\hbar {\vec {s}}/2)\psi ({\vec {r}}-\hbar {\vec {s}}/2)e^{i{\vec {p}}\cdot {\vec {s}}}\,d^{3}s.}$

В общем случае, включающем смешанные состояния, это преобразование Вигнера матрицы плотности :

$${\displaystyle W(x,p)={\frac {1}{\pi \hbar }}\int _{-\infty }^{\infty }\langle x-y|{\hat {\rho }}|x+y\rangle e^{2ipy/\hbar }\,dy,}$$

хψψ ( Икс )преобразованию Вейлягильбертова пространства при квантовании Вейля

Таким образом, функция Вигнера является краеугольным камнем квантовой механики в фазовом пространстве .

В 1949 году Хосе Энрике Мойал объяснил, как функция Вигнера обеспечивает меру интегрирования (аналогическую функции плотности вероятности ) в фазовом пространстве, чтобы получить значения ожидания от функций c-числа в фазовом пространстве g ( x ,  p ), однозначно связанных с соответствующим образом упорядоченными операторы Ĝ через преобразование Вейля (см. преобразование Вигнера-Вейля и свойство 7 ниже), что напоминает классическую теорию вероятностей .

В частности, математическое ожидание оператора Ĝ представляет собой «среднее в фазовом пространстве» преобразования Вигнера этого оператора:

$${\displaystyle \langle {\hat {G}}\rangle =\int dx\,dp\,W(x,p)g(x,p).}$$

Математические свойства

Распределение квазивероятностей Вигнера для различных собственных состояний энергии квантового гармонического осциллятора : а) n  = 0 (основное состояние), б) n  = 1, в) n  = 5

1. W ( x ,  p ) — действительная функция.

2. Распределения вероятностей x и p задаются маргинальными значениями :

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)=\langle x|{\hat {\rho }}|x\rangle .}$Если систему можно описать в чистом состоянии , получим ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)=|\psi (x)|^{2}.}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,W(x,p)=\langle p|{\hat {\rho }}|p\rangle .}$Если систему можно описать в чистом состоянии , то ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,W(x,p)=|\varphi (p)|^{2}.}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)=\operatorname {Tr} ({\hat {\rho }}).}$

Обычно след матрицы плотности равен 1. ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$

3. W ( x , p ) имеет следующие симметрии отражения:

• Временная симметрия: ${\displaystyle \psi (x)\to \psi (x)^{*}\Rightarrow W(x,p)\to W(x,-p).}$
• Пространственная симметрия: ${\displaystyle \psi (x)\to \psi (-x)\Rightarrow W(x,p)\to W(-x,-p).}$

4. W ( x , p ) галилей-ковариантна :

${\displaystyle \psi (x)\to \psi (x+y)\Rightarrow W(x,p)\to W(x+y,p).}$

Оно не является лоренц-ковариантным .

5. Уравнение движения каждой точки фазового пространства является классическим в отсутствие сил:

${\displaystyle {\frac {\partial W(x,p)}{\partial t}}={\frac {-p}{m}}{\frac {\partial W(x,p)}{\partial x}}.}$

Фактически, оно является классическим даже при наличии гармонических сил.

6. Перекрытие состояний рассчитывается как

${\displaystyle |\langle \psi |\theta \rangle |^{2}=2\pi \hbar \int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W_{\psi }(x,p)W_{\theta }(x,p).}$

7. Значения ожидания оператора (средние значения) рассчитываются как средние значения в фазовом пространстве соответствующих преобразований Вигнера:

${\displaystyle g(x,p)\equiv \int _{-\infty }^{\infty }dy\,\left\langle x-{\frac {y}{2}}\right|{\hat {G}}\left|x+{\frac {y}{2}}\right\rangle e^{ipy/\hbar },}$

${\displaystyle \langle \psi |{\hat {G}}|\psi \rangle =\operatorname {Tr} ({\hat {\rho }}{\hat {G}})=\int _{-\infty }^{\infty }dx\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)g(x,p).}$

8. Чтобы W ( x , p ) представляло физические (положительные) матрицы плотности, оно должно удовлетворять

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dx\,\int _{-\infty }^{\infty }dp\,W(x,p)W_{\theta }(x,p)\geq 0}$

для всех чистых состояний |θ⟩.

9. В силу неравенства Коши–Шварца для чистого состояния оно ограничено:

${\displaystyle -{\frac {2}{h}}\leq W(x,p)\leq {\frac {2}{h}}.}$

Эта граница исчезает в классическом пределе ħ → 0. В этом пределе W ( x ,  p ) сводится к плотности вероятности в координатном пространстве x , обычно сильно локализованной, умноженной на δ-функции по импульсу: классический предел является «остроконечным». ". Таким образом, эта квантово-механическая граница исключает функцию Вигнера, которая представляет собой идеально локализованную δ-функцию в фазовом пространстве, что является отражением принципа неопределенности. ^[6]

10. Преобразование Вигнера — это просто преобразование Фурье антидиагоналей матрицы плотности, когда эта матрица выражена в позиционном базисе. ^[7]

Примеры

Пусть --е фоковское состояние квантового гармонического осциллятора . Гроеневолд (1946) обнаружил связанную с ней функцию Вигнера в безразмерных переменных: ${\displaystyle |m\rangle \equiv {\frac {a^{\dagger m}}{\sqrt {m!}}}|0\rangle }$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle W_{|m\rangle }(x,p)={\frac {(-1)^{m}}{\pi }}e^{-(x^{2}+p^{2})}L_{m}{\big (}2(p^{2}+x^{2}){\big )},}$

где обозначает -й полином Лагерра . ${\displaystyle L_{m}(x)}$ ${\displaystyle m}$

Это может следовать из выражения для статических волновых функций собственного состояния:

${\displaystyle u_{m}(x)=\pi ^{-1/4}H_{m}(x)e^{-x^{2}/2},}$

где -й полином Эрмита . Из приведенного выше определения функции Вигнера при замене переменных интегрирования: ${\displaystyle H_{m}}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle W_{|m\rangle }(x,p)={\frac {(-1)^{m}}{\pi ^{3/2}2^{m}m!}}e^{-x^{2}-p^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }d\zeta \,e^{-\zeta ^{2}}H_{m}(\zeta -ip+x)H_{m}(\zeta -ip-x).}$

Тогда это выражение следует из интегрального соотношения между полиномами Эрмита и Лагерра. ^[8]

Уравнение эволюции для функции Вигнера

Преобразование Вигнера — это общее обратимое преобразование оператора Ĝ в гильбертовом пространстве в функцию g ( x ,  p ) в фазовом пространстве и задается формулой

${\displaystyle g(x,p)=\int _{-\infty }^{\infty }ds\,e^{ips/\hbar }\left\langle x-{\frac {s}{2}}\right|{\hat {G}}\left|x+{\frac {s}{2}}\right\rangle .}$

Эрмитовы операторы отображают реальные функции. Обратное к этому преобразованию из фазового пространства в гильбертово пространство называется преобразованием Вейля :

${\displaystyle \langle x|{\hat {G}}|y\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dp}{h}}e^{ip(x-y)/\hbar }g\left({\frac {x+y}{2}},p\right)}$

(не путать с отдельным преобразованием Вейля в дифференциальной геометрии ).

Таким образом, обсуждаемая здесь функция Вигнера W ( x , p ) является преобразованием Вигнера оператора матрицы плотности ρ̂ . Таким образом, след оператора с матрицей плотности Вигнера преобразуется в эквивалентное интегральное перекрытие в фазовом пространстве g ( x ,  p ) с функцией Вигнера.

Преобразование Вигнера уравнения эволюции фон Неймана матрицы плотности в картине Шрёдингера представляет собой уравнение эволюции Мойала для функции Вигнера:

${\displaystyle {\frac {\partial W(x,p,t)}{\partial t}}=-\{\{W(x,p,t),H(x,p)\}\},}$

где H ( x , p ) — гамильтониан, а {{⋅, ⋅}} — скобка Мойала . В классическом пределе ħ → 0 скобка Мойала сводится к скобке Пуассона , а это эволюционное уравнение сводится к уравнению Лиувилля классической статистической механики.

Формально классическое уравнение Лиувилля можно решить в терминах траекторий частиц в фазовом пространстве, которые являются решениями классических уравнений Гамильтона. Этот метод решения уравнений в частных производных известен как метод характеристик . Этот метод переносится на квантовые системы, где «траектории» характеристик теперь определяют эволюцию функций Вигнера. Решение эволюционного уравнения Мойала для функции Вигнера формально представляется как

${\displaystyle W(x,p,t)=W{\big (}\star {\big (}x_{-t}(x,p),p_{-t}(x,p){\big )},0{\big )},}$

где и - характерные траектории, подчиняющиеся квантовым уравнениям Гамильтона с начальными условиями и , и где состав -продукта понимается для всех функций аргумента. ${\displaystyle x_{t}(x,p)}$ ${\displaystyle p_{t}(x,p)}$ ${\displaystyle x_{t=0}(x,p)=x}$ ${\displaystyle p_{t=0}(x,p)=p}$ ${\displaystyle \star }$

Поскольку --композиция функций совершенно нелокальна («квантовая вероятностная жидкость» размывается, как заметил Мойал), остатки локальных траекторий в квантовых системах едва различимы в эволюции функции распределения Вигнера. ^[b] В интегральном представлении -произведений последовательные операции над ними были адаптированы к интегралу по путям в фазовом пространстве для решения уравнения эволюции для функции Вигнера ^[9] (см. также ^{[10] [11] [12]} ). Эта нелокальная особенность временной эволюции Мойала ^[13] проиллюстрирована в галерее ниже для гамильтонианов, более сложных, чем гармонический осциллятор. В классическом пределе траекторный характер временной эволюции функций Вигнера становится все более отчетливым. При ħ  = 0 траектории характеристик сводятся к классическим траекториям частиц в фазовом пространстве. ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle \star }$

Примеры временной эволюции функции Вигнера

• Чистое состояние в потенциале Морса . Зеленые пунктирные линии представляют набор уровней гамильтониана .
• Чистое состояние в потенциале четвертой степени. Сплошные линии представляют набор уровней гамильтониана.
• Туннелирование волнового пакета через потенциальный барьер. Сплошные линии представляют набор уровней гамильтониана.
• Долговременная эволюция смешанного состояния ρ в ангармонической потенциальной яме. Поля отображаются справа ( p ) и сверху ( x ).
• 
  Равновесное смешанное состояние ρ (эволюционирует само по себе) в том же ангармоническом потенциале.

Эволюция времени гармонического осциллятора

Однако в частном случае квантового гармонического осциллятора эволюция проста и кажется идентичной классическому движению: жесткое вращение в фазовом пространстве с частотой, определяемой частотой осциллятора. Это показано в галерее ниже. В это же время эволюция происходит с квантовыми состояниями световых мод , которые являются гармоническими осцилляторами.

Примеры временной эволюции функции Вигнера в квантовом гармоническом генераторе

• 
  Согласованное государство . ^[14]
• 
  Комбинированное основное состояние и первое возбужденное состояние. ^[14]
• 
  Кошачье состояние ; маргинальные поля нанесены справа ( p ) и снизу ( x ).

Классический предел

Функция Вигнера позволяет изучать классический предел , предлагая сравнение классической и квантовой динамики в фазовом пространстве. ^{[15] [16]}

Было высказано предположение, что подход функции Вигнера можно рассматривать как квантовую аналогию операторной формулировке классической механики, введенной в 1932 году Бернардом Купманом и Джоном фон Нейманом : временная эволюция подходов функции Вигнера в пределе ħ  → 0, временная эволюция волновой функции Купмана – фон Неймана классической частицы. ^[17]

Положительность функции Вигнера

Как уже отмечалось, функция Вигнера квантового состояния обычно принимает некоторые отрицательные значения. Действительно, для чистого состояния по одной переменной, если при всех и , то волновая функция должна иметь вид ${\displaystyle W(x,p)\geq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \psi (x)=e^{-ax^{2}+bx+c}}$

для некоторых комплексных чисел с (теорема Хадсона ^[18] ). Обратите внимание, что разрешено быть комплексным, так что это не обязательно гауссовский волновой пакет в обычном смысле. Таким образом, чистые состояния с неотрицательными функциями Вигнера не обязательно являются состояниями с минимальной неопределенностью в смысле формулы неопределенности Гейзенберга ; скорее, они дают равенство в формуле неопределенности Шредингера , которая включает в себя антикоммутаторный член в дополнение к коммутаторному члену. (При тщательном определении соответствующих дисперсий все функции Вигнера в чистом состоянии все равно приводят к неравенству Гейзенберга.) ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} (a)>0}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \psi }$

В более высоких измерениях характеристика чистых состояний с неотрицательными функциями Вигнера аналогична; волновая функция должна иметь вид

${\displaystyle \psi (x)=e^{-(x,Ax)+b\cdot x+c},}$

где – симметричная комплексная матрица, действительная часть которой положительно определена, – комплексный вектор, а c – комплексное число. ^[19] Функция Вигнера любого такого состояния представляет собой гауссово распределение в фазовом пространстве. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle b}$

Сото и Клавери ^[19] дают элегантное доказательство этой характеристики, используя преобразование Сигала–Баргмана . Аргументация следующая. Q-функция Хусими может быть вычислена как квадрат величины преобразования Сигала-Баргмана , умноженный на гауссиану. Между тем, функция Хусими Q представляет собой свертку функции Вигнера с гауссианой. Если функция Вигнера неотрицательна всюду в фазовом пространстве, то Q-функция Хусими будет строго положительной всюду в фазовом пространстве. Таким образом, преобразование Сигала – Баргмана нигде не будет равно нулю. Таким образом, по стандартному результату комплексного анализа имеем ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle F(x+ip)}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle F(x+ip)=e^{g(x+ip)}}$

для некоторой голоморфной функции . Но для того, чтобы оно принадлежало пространству Сигала – Баргмана , то есть было интегрируемым с квадратом относительно гауссовой меры, оно должно иметь не более чем квадратичный рост на бесконечности. Исходя из этого, можно использовать элементарный комплексный анализ, чтобы показать, что на самом деле это должен быть квадратичный многочлен. Таким образом, мы получаем явный вид преобразования Сигала–Баргмана любого чистого состояния, функция Вигнера которого неотрицательна. Затем мы можем инвертировать преобразование Сигала – Баргмана, чтобы получить заявленную форму волновой функции положения. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$

Кажется, не существует простой характеристики смешанных состояний с неотрицательными функциями Вигнера.

Функция Вигнера по отношению к другим интерпретациям квантовой механики

Показано, что квазивероятностную функцию распределения Вигнера можно рассматривать как ħ - деформацию другой функции распределения в фазовом пространстве, описывающей ансамбль причинных траекторий де Бройля–Бома . ^[20] Бэзил Хили показал, что квазивероятностное распределение можно понимать как матрицу плотности, перевыраженную через среднее положение и импульс «ячейки» в фазовом пространстве, а интерпретация де Бройля-Бома позволяет описать динамику центров таких «клеток». ^{[21] [22]}

Существует тесная связь между описанием квантовых состояний в терминах функции Вигнера и методом реконструкции квантовых состояний в терминах взаимно несмещенных базисов . ^[23]

Использование функции Вигнера вне квантовой механики.

Контурный график распределения Вигнера – Вилля для чирпированного импульса света. График показывает, что частота является линейной функцией времени.

• При моделировании оптических систем, таких как телескопы или оптоволоконные телекоммуникационные устройства, функция Вигнера используется для устранения разрыва между простой трассировкой лучей и полноволновым анализом системы. Здесь p / ħ заменено на k = | к | грех  θ ≈ | к | θ в малоугловом (параксиальном) приближении. В этом контексте функция Вигнера является наиболее близкой к описанию системы с точки зрения лучей в положении x и угле θ, в то же время включая эффекты интерференции. ^[24] Если в какой-то момент оно станет отрицательным, то простой трассировки лучей будет недостаточно для моделирования системы. То есть отрицательные значения этой функции являются признаком предела Габора классического светового сигнала, а не квантовых особенностей света, связанных с ħ .
• При анализе сигналов изменяющийся во времени электрический сигнал, механическая вибрация или звуковая волна представляются функцией Вигнера . Здесь x заменяется временем, а p / ħ заменяется угловой частотой ω = 2π f , где f — регулярная частота.
• В сверхбыстрой оптике короткие лазерные импульсы характеризуются функцией Вигнера с использованием тех же замен f и t , что и выше. Дефекты импульса, такие как чирп (изменение частоты со временем), можно визуализировать с помощью функции Вигнера. См. соседний рисунок.
• В квантовой оптике x и p / ħ заменяются квадратурами X и P , вещественными и мнимыми компонентами электрического поля (см. когерентное состояние ).

Измерения функции Вигнера

• Квантовая томография
• Оптическое стробирование с частотным разрешением

Другие связанные распределения квазивероятностей

Распределение Вигнера было первым сформулированным квазивероятностным распределением, но за ним последовали многие другие, формально эквивалентные и преобразуемые в него и обратно (см. Преобразование между распределениями в частотно-временном анализе ). Как и в случае с системами координат, из-за различных свойств некоторые из них имеют различные преимущества для конкретных приложений:

• Представление Глаубера П
• Представление Хусими Q

Тем не менее, в некотором смысле, распределение Вигнера занимает привилегированное положение среди всех этих распределений, поскольку это единственное распределение , у которого необходимый звездный продукт выпадает (интегрируется по частям до эффективной единицы) при оценке значений ожидания, как показано выше. , и поэтому может быть представлено как квазивероятностная мера, аналогичная классическим.

Историческая справка

Как указывалось, формула функции Вигнера выводилась независимо несколько раз в разных контекстах. На самом деле, по-видимому, Вигнер не знал, что даже в контексте квантовой теории оно было введено ранее Гейзенбергом и Дираком ^{[25] [26]} , хотя и чисто формально: эти двое упустили из виду его значение, а также значение его отрицательных значений, поскольку они просто рассматривали это как приближение к полному квантовому описанию такой системы, как атом. (Кстати, Дирак позже стал зятем Вигнера, женившись на его сестре Манси .) Симметрично, в большей части своей легендарной 18-месячной переписки с Мойялем в середине 1940-х годов Дирак не знал, что функция генерации квантового момента Мойяля была фактически функция Вигнера, и именно Мойал наконец обратил на нее его внимание. ^[27]

Смотрите также

• Группа Гейзенберга
• Преобразование Вигнера – Вейля
• Формулировка фазового пространства
• Кронштейн Мойал
• Отрицательная вероятность
• Теорема оптической эквивалентности
• Модифицированная функция распределения Вигнера
• Функция распределения классов Коэна
• Функция распределения Вигнера
• Преобразование между распределениями в частотно-временном анализе
• Сжатое когерентное состояние
• Билинейное частотно-временное распределение
• Квантовая информация с непрерывной переменной

Сноски

1. В частности, поскольку эта свертка обратима, фактически никакая информация не была принесена в жертву, и полная квантовая энтропия еще не увеличилась. Однако если полученное распределение Хусими затем использовать в качестве простой меры при интегральной оценке значений математического ожидания в фазовом пространстве без необходимого звездчатого продукта представления Хусими , то на этом этапе квантовая информация будет утрачена, и распределение станет неверным. полуклассический , по сути. То есть, в зависимости от его использования при оценке ожидаемых значений, одно и то же распределение может служить квантовой или классической функцией распределения .
2. Квантовые характеристики не следует путать с траекториями путевого интеграла Фейнмана или траекториями теории де Бройля-Бома . Эта тройная двусмысленность позволяет лучше понять позицию Нильса Бора , который энергично, но контрпродуктивно выступал против понятия траектории в атомной физике. Например, на конференции в Поконо в 1948 году он сказал Ричарду Фейнману : «...нельзя говорить о траектории электрона в атоме, потому что это нечто ненаблюдаемое». («Удар другого барабана: жизнь и наука Ричарда Фейнмана», Джагдиш Мехра (Оксфорд, 1994, стр. 245–248)). Аргументы такого рода широко использовались в прошлом Эрнстом Махом в его критике атомной теории физики, а позже, в 1960-х годах, Джеффри Чу , Туллио Редже и другими, чтобы мотивировать замену локальной квантовой теории поля S-матрицей. теория. Сегодня статистическая физика, целиком основанная на атомистических концепциях, включена в стандартные курсы, теория S-матриц вышла из моды, а метод интеграла по траекториям Фейнмана признан наиболее эффективным методом в калибровочных теориях .

Рекомендации

1. EP Вигнер (1932). «О квантовой поправке термодинамического равновесия». Физический обзор . 40 (5): 749–759. Бибкод : 1932PhRv...40..749W. doi : 10.1103/PhysRev.40.749. hdl : 10338.dmlcz/141466 .
2. HJ Groenewold (1946). «О принципах элементарной квантовой механики». Физика . 12 (7): 405–460. Бибкод : 1946Phy....12..405G. дои : 10.1016/S0031-8914(46)80059-4.
3. Х. Вейль (1927). «Квантенмеханика и групповая теория». Zeitschrift für Physik . 46 (1–2): 1. Бибкод : 1927ZPhy...46....1W. дои : 10.1007/BF02055756. S2CID  121036548.; Х. Вейль, Gruppentheorie und Quantenmechanik (Лейпциг: Хирцель) (1928); Вейль Х. Теория групп и квантовая механика (Дувр, Нью-Йорк, 1931).
4. Дж. Виль, «Теория и приложения понятия анализа сигналов», Câbles et Transmission , 2 , 61–74 (1948).
5. Мойал, Дж. Э. (1949). «Квантовая механика как статистическая теория». Математические труды Кембриджского философского общества . 45 (1). Издательство Кембриджского университета (CUP): 99–124. Бибкод : 1949PCPS...45...99M. дои : 10.1017/s0305004100000487. ISSN  0305-0041. S2CID  124183640.
6. Куртрайт, TL; Захос, СК (2012). «Квантовая механика в фазовом пространстве». Информационный бюллетень по физике Азиатско-Тихоокеанского региона . 1 : 37. arXiv : 1104.5269 . дои : 10.1142/S2251158X12000069. S2CID  119230734.; К. Зачос , Д. Фэрли и Т. Куртрайт , Квантовая механика в фазовом пространстве (World Scientific, Сингапур, 2005). ISBN 978-981-238-384-6 . 
7. Хоукс, Питер В. (2018). Достижения в области визуализации и электронной физики . Академическая пресса. п. 47. ИСБН 9780128155424.
8. Шляйх, Вольфганг П. (9 февраля 2001 г.). Квантовая оптика в фазовом пространстве (1-е изд.). Уайли. п. 105. дои : 10.1002/3527602976. ISBN 978-3-527-29435-0.
9. Б. Лиф (1968). «Преобразование Вейля в нерелятивистской квантовой динамике». Журнал математической физики . 9 (5): 769–781. Бибкод : 1968JMP.....9..769L. дои : 10.1063/1.1664640.
10. П. Шаран (1979). «Представление интегралов по путям в виде звездного произведения». Физический обзор D . 20 (2): 414–418. Бибкод : 1979PhRvD..20..414S. doi :10.1103/PhysRevD.20.414.
11. М. С. Маринов (1991). «Новый тип интеграла по траекториям в фазовом пространстве». Буквы по физике А. 153 (1): 5–11. Бибкод : 1991PhLA..153....5M. дои : 10.1016/0375-9601(91)90352-9.
12. Б. Сегев: Ядра эволюции для распределений в фазовом пространстве . В: М.А. Ольшанецкий; Аркадий Вайнштейн (2002). Многогранность квантования и суперсимметрии: том памяти Михаила Маринова. Всемирная научная. стр. 68–90. ISBN 978-981-238-072-2. Проверено 26 октября 2012 г.См. особенно раздел 5. «Интеграл по траектории для пропагатора» на стр. 86–89. Также онлайн.
13. М. Олива, Д. Какофенгитис и О. Стойернагель (2018). «Ангармонические квантово-механические системы не имеют траекторий в фазовом пространстве». Физика А. 502 : 201–210. arXiv : 1611.03303 . Бибкод : 2018PhyA..502..201O. doi :10.1016/j.physa.2017.10.047. S2CID  53691877.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
14. Куртрайт, Т.Л., Зависящие от времени функции Вигнера.
15. См., например: Войцех Х. Зурек , Декогеренция и переход от квантового к классическому – пересмотренный вариант , Los Alamos Science, 27, 2002, arXiv:quant-ph/0306072, стр. 15 и далее.
16. См., например: К. Захос, Д. Фэрли, Т. Куртрайт, Квантовая механика в фазовом пространстве: обзор избранных статей , World Scientific, 2005. ISBN 978-981-4520-43-0 . 
17. Бондарь, Денис И.; Кабрера, Ренан; Жданов Дмитрий В.; Рабиц, Гершель А. (2013). «Распределение Вигнера в фазовом пространстве как волновая функция». Физический обзор А. 88 (5): 052108. arXiv : 1202.3628 . doi :10.1103/PhysRevA.88.052108. ISSN  1050-2947. S2CID  119155284.
18. Хадсон, Робин Л. (1974). «Когда плотность квазивероятности Вигнера неотрицательна?». Доклады по математической физике . 6 (2): 249–252. Бибкод : 1974RpMP....6..249H. дои : 10.1016/0034-4877(74)90007-X.
19. Ф. Сото и П. Клавери, «Когда функция Вигнера многомерных систем неотрицательна?», Journal of Mathematical Physics 24 (1983) 97–100.
20. Диас, Нуно Коста; Прата, Жоау Нуну (2002). «Бомовы траектории и распределения квантового фазового пространства». Буквы по физике А. 302 (5–6): 261–272. arXiv : Quant-ph/0208156v1 . Бибкод : 2002PhLA..302..261D. дои : 10.1016/s0375-9601(02)01175-1. ISSN  0375-9601. S2CID  39936409.
21. Б. Дж. Хили: Описания квантовых явлений в фазовом пространстве , в: А. Хренников (редактор): Квантовая теория: пересмотр основ – 2 , стр. 267–286, Växjö University Press, Швеция, 2003 (PDF).
22. Б. Хили: Характеристическая функция Мойала, матрица плотности и идемпотент фон Неймана (препринт).
23. Ф. К. Ханна, П. А. Мелло, М. Ревзен, Реконструкция классического и квантово-механического состояния, arXiv: 1112.3164v1 [quant-ph] (отправлено 14 декабря 2011 г.).
24. Базаров, Иван В. (3 мая 2012 г.). «Представление синхротронного излучения в фазовом пространстве». Специальные темы Physical Review — Ускорители и пучки . 15 (5). Американское физическое общество (APS): 050703. arXiv : 1112.4047 . Бибкод : 2012PhRvS..15e0703B. doi : 10.1103/physrevstab.15.050703 . ISSN  1098-4402. S2CID  53489256.
25. В. Гейзенберг (1931). «Über die inkohärente Streuung von Röntgenstrahlen». Physikalische Zeitschrift . 32 : 737–740.
26. Дирак, ПАМ (1930). «Заметка о явлениях обмена в атоме Томаса». Математические труды Кембриджского философского общества . 26 (3). Издательство Кембриджского университета (CUP): 376–385. Бибкод : 1930PCPS...26..376D. дои : 10.1017/s0305004100016108 . ISSN  0305-0041. S2CID  97185766.
27. Энн Мойал, (2006), «Математик-индивидуалист: жизнь и наука Дж. Э. Мойала», ANU E-press, 2006, ISBN 1-920942-59-9 . 

дальнейшее чтение

• М. Леванда и В. Флеров, «Функция квазираспределения Вигнера для заряженных частиц в классических электромагнитных полях», Annals of Physics , 292 , 199–231 (2001). arXiv : cond-mat/0105137.

Внешние ссылки

• wigner Реализация функции Wigner в QuTiP.
• Галерея квантовой оптики.
• Бесплатная программа Sonogram Visible Speech под лицензией GPL для квазивероятностного распределения сигнальных файлов по Вигнеру.