функция Эйлера

Математическая функция

График раскраски области φ на комплексной плоскости

В математике функция Эйлера определяется выражением

${\displaystyle \phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k}),\quad |q|<1.}$

Названный в честь Леонарда Эйлера , он является модельным примером q -ряда и представляет собой прототипный пример связи между комбинаторикой и комплексным анализом .

Характеристики

Коэффициент формального разложения в степенной ряд дает количество разбиений k . То есть, ${\displaystyle p(k)}$ ${\displaystyle 1/\phi (q)}$

${\displaystyle {\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}}$

где статистическая сумма . ${\displaystyle p}$

Тождество Эйлера , также известное как теорема о пятиугольных числах , представляет собой

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}.}$

${\displaystyle (3n^{2}-n)/2}$является пятиугольным числом .

Функция Эйлера связана с эта-функцией Дедекинда следующим образом:

${\displaystyle \phi (e^{2\pi i\tau })=e^{-\pi i\tau /12}\eta (\tau ).}$

Функцию Эйлера можно выразить в виде символа q -Похгаммера :

${\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }.}$

Логарифм функции Эйлера — это сумма логарифмов в выражении произведения, каждый из которых можно разложить примерно до q  = 0, что дает

${\displaystyle \ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}},}$

который представляет собой ряд Ламберта с коэффициентами -1/ n . Таким образом, логарифм функции Эйлера можно выразить как

${\displaystyle \ln(\phi (q))=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}q^{n}}$

где -[1/1, 3/2, 4/3, 7/4, 6/5, 12/6, 8/7, 15/8, 13/9, 18/10, ...] (см. OEIS А000203) ${\displaystyle b_{n}=-\sum _{d|n}{\frac {1}{d}}=}$

Ввиду тождества , где – функция суммы делителей , это также можно записать как ${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d|n}d=\sum _{d|n}{\frac {n}{d}}}$ ${\displaystyle \sigma (n)}$

${\displaystyle \ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma (n)}{n}}\ q^{n}}$.

Также если и , то ^[1] ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle ab=\pi ^{2}}$

${\displaystyle a^{1/4}e^{-a/12}\phi (e^{-2a})=b^{1/4}e^{-b/12}\phi (e^{-2b}).}$

Особые значения

Следующие личности взяты из «Записных книжек» Рамануджана : ^[2]

${\displaystyle \phi (e^{-\pi })={\frac {e^{\pi /24}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{7/8}\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \phi (e^{-2\pi })={\frac {e^{\pi /12}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \phi (e^{-4\pi })={\frac {e^{\pi /6}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{{11}/8}\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \phi (e^{-8\pi })={\frac {e^{\pi /3}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{29/16}\pi ^{3/4}}}({\sqrt {2}}-1)^{1/4}}$

Используя теорему о пятиугольных числах , меняя местами сумму и интеграл , а затем применяя комплексно-аналитические методы, можно получить ^[3]

${\displaystyle \int _{0}^{1}\phi (q)\,\mathrm {d} q={\frac {8{\sqrt {\frac {3}{23}}}\pi \sinh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{6}}\right)}{2\cosh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{3}}\right)-1}}.}$

Рекомендации

1. Берндт, Б. и др. "Продолжение фракции Роджерса-Рамануджана"
2. Берндт, Брюс К. (1998). Записные книжки Рамануджана. Часть V. Спрингер. ISBN 978-1-4612-7221-2.п. 326
3. Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A258232». Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.

• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, МР  0434929, Збл  0335.10001