Функция Римана Xi

Функция Римана xi в комплексной плоскости . Цвет точки кодирует значение функции. Более темные цвета обозначают значения, близкие к нулю, а оттенок кодирует аргумент значения . ${\displaystyle \xi (s)}$ ${\displaystyle s}$

В математике функция Римана Xi является вариантом функции Римана дзета и определяется так, чтобы иметь особенно простое функциональное уравнение . Функция названа в честь Бернхарда Римана .

Определение

Первоначальная строчная "xi"-функция Римана была переименована в заглавную ( греческая буква "Xi" ) Эдмундом Ландау . Строчная буква Ландау ("xi") определяется как ^[1] ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle ~\Xi ~}$ ${\displaystyle ~\xi ~}$

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}s(s-1)\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)}$

для . Здесь обозначает дзета-функцию Римана , а — гамма-функцию . ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\displaystyle \Gamma (s)}$

Функциональное уравнение (или формула отражения ) для Ландау имеет вид ${\displaystyle ~\xi ~}$

${\displaystyle \xi (1-s)=\xi (s)~.}$

Первоначальная функция Римана, переименованная Ландау в заглавную букву, ^[1] удовлетворяет ${\displaystyle ~\Xi ~}$

${\displaystyle \Xi (z)=\xi \left({\tfrac {1}{2}}+zi\right)}$,

и подчиняется функциональному уравнению

${\displaystyle \Xi (-z)=\Xi (z)~.}$

Обе функции являются целыми и чисто действительными для действительных аргументов.

Ценности

Общая форма для положительных четных целых чисел:

${\displaystyle \xi (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {n!}{(2n)!}}B_{2n}2^{2n-1}\pi ^{n}(2n-1)}$

где B _n обозначает n -ое число Бернулли . Например:

${\displaystyle \xi (2)={\frac {\pi }{6}}}$

Представления серий

Функция имеет разложение в ряд ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln \xi \left({\frac {-z}{1-z}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\lambda _{n+1}z^{n},}$

где

${\displaystyle \lambda _{n}={\frac {1}{(n-1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{ds^{n}}}\left[s^{n-1}\log \xi (s)\right]\right|_{s=1}=\sum _{\rho }\left[1-\left(1-{\frac {1}{\rho }}\right)^{n}\right],}$

где сумма распространяется на ρ, нетривиальные нули дзета-функции, в порядке . ${\displaystyle |\Im (\rho )|}$

Это расширение играет особенно важную роль в критерии Ли , который утверждает, что гипотеза Римана эквивалентна тому, что λ _n > 0 для всех положительных n .

продукт Адамара

Простое бесконечное расширение продукта — это

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right),\!}$

где ρ пробегает корни ξ.

Для обеспечения сходимости в разложении произведение следует брать по «совпадающим парам» нулей, т. е. множители для пары нулей вида ρ и 1−ρ следует группировать вместе.

Ссылки

1. Ландау, Эдмунд (1974) [1909]. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen [ Справочник по изучению распределения простых чисел ] (Третье изд.). Нью-Йорк: Челси. §70-71 и стр. 894.

• Вайсштейн, Эрик В. «Xi-функция». MathWorld .
• Keiper, JB (1992). "Разложения степенных рядов xi-функции Римана". Mathematics of Computation . 58 (198): 765–773. Bibcode :1992MaCom..58..765K. doi : 10.1090/S0025-5718-1992-1122072-5 .

В данной статье использованы материалы из функции Римана Ξ на PlanetMath , лицензированные по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .