Бета-функция симметрична , это означает, что для всех входов и . [1]
Ключевым свойством бета-функции является ее тесная связь с гамма-функцией : [1]
Доказательство приведено ниже в § Связь с гамма-функцией.
Бета-функция также тесно связана с биномиальными коэффициентами . Когда m (или n по симметрии) является положительным целым числом, из определения гамма-функции Γ следует , что [1]
Связь с гамма-функцией
Простой вывод этого соотношения можно найти в книге Эмиля Артина «Гамма-функция» , стр. 18–19. [2]
Чтобы получить это соотношение, запишите произведение двух факториалов как
Заменяя переменные на u = st и v = s (1 − t ) , поскольку u + v = s и u / (u+v) = t , мы получаем, что пределы интегрирования для s равны от 0 до ∞, а пределы интегрирование для t от 0 до 1. Таким образом, получается
Деление обеих частей на дает желаемый результат.
Указанное тождество можно рассматривать как частный случай тождества интеграла свертки . принимая
Бета-функция удовлетворяет нескольким тождествам, аналогичным соответствующим тождествам для биномиальных коэффициентов, включая версию тождества Паскаля
и простая рекурсия по одной координате:
[4]
Положительные целые значения бета-функции также являются частными производными 2D-функции: для всех неотрицательных целых чисел и ,
Оценки в определенных точках могут значительно упроститься; например,
и
[5]
Из последней формулы следует, что . Обобщение этого до двумерного тождества для произведения бета-функций приводит к:
Интеграл Эйлера для бета-функции можно преобразовать в интеграл по контуру Похгаммера C как
Этот контурный интеграл Похгаммера сходится для всех значений α и β и, таким образом, дает аналитическое продолжение бета-функции.
Точно так же, как гамма-функция для целых чисел описывает факториалы , бета-функция может определять биномиальный коэффициент после корректировки индексов:
Более того , для целого числа n В можно факторизовать, чтобы получить интерполяционную функцию замкнутой формы для непрерывных значений k :
Неполная бета-функция , обобщение бета-функции, определяется как [7] [8]
При x = 1 неполная бета-функция совпадает с полной бета-функцией. Отношения между двумя функциями аналогичны отношениям между гамма-функцией и ее обобщением — неполной гамма-функцией . Для натуральных чисел a и b неполная бета-функция будет многочленом степени a + b - 1 с рациональными коэффициентами.
Регуляризованная неполная бета-функция (или для краткости регуляризованная бета-функция ) определяется в терминах неполной бета-функции и полной бета-функции:
с нечетными и четными коэффициентами соответственно
сходится быстро, если не близко к 1. Подходящие дроби и меньше , а подходящие дроби и больше .
Для функция может быть оценена более эффективно, используя . [8]
Многомерная бета-функция
Бета-функция может быть расширена до функции с более чем двумя аргументами:
Эта многомерная бета-функция используется при определении распределения Дирихле . Его связь с бета-функцией аналогична взаимосвязи между полиномиальными коэффициентами и биномиальными коэффициентами. Например, он удовлетворяет аналогичной версии тождества Паскаля:
Value = Exp(GammaLn(a) + GammaLn(b) − GammaLn(a + b))
Этот результат следует из перечисленных выше свойств.
Неполную бета-функцию нельзя вычислить напрямую с использованием таких соотношений, поэтому необходимо использовать другие методы. В GNU Octave оно вычисляется с использованием разложения цепной дроби .
Неполная бета-функция уже реализована на распространенных языках. Например, betainc(неполная бета-функция) в MATLAB и GNU Octavepbeta (вероятность бета-распределения) в R или special.betaincв SciPy вычислите регуляризованную неполную бета-функцию — которая, по сути, является кумулятивным бета-распределением — и, таким образом, чтобы получить фактическую неполную бета-функцию, необходимо умножить результат на betaincрезультат, возвращаемый соответствующей betaфункцией. В Mathematica и Beta[x, a, b]дают BetaRegularized[x, a, b]и соответственно .
^ abc Дэвис, Филип Дж. (1972), «6. Гамма-функция и родственные функции», в Абрамовице, Милтон ; Стеган, Ирен А. (ред.), Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами, Нью-Йорк: Dover Publications , стр. 258, ISBN 978-0-486-61272-0. В частности, см. 6.2 Бета-функция.
^ Артин, Эмиль, Гамма-функция (PDF) , стр. 18–19, заархивировано из оригинала (PDF) 12 ноября 2016 г. , получено 11 ноября 2016 г.
^ Бета-функция: Представления серий (формула 18.06.06.0007)
^ Мяклин, Томми (2022), Вероятностные методы метагеномики высокого разрешения (PDF) , Серия публикаций A / Департамент компьютерных наук, Хельсинкский университет, Хельсинки: Unigrafia, стр. 27, ISBN978-951-51-8695-9, ISSN 2814-4031
^ «Формула отражения Эйлера — ProofWiki», proofwiki.org , получено 2 сентября 2020 г.
Пресс, WH; Теукольский, С.А.; Феттерлинг, WT; Фланнери, BP (2007), «Раздел 6.1 Гамма-функция, бета-функция, факториалы», Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, заархивировано из оригинала 27 октября 2021 г. , получено 9 августа 2011 г.