Функция рассеяния Рэлея

В физике функция диссипации Рэлея , названная в честь лорда Рэлея , — это функция, используемая для обработки эффектов пропорциональных скорости сил трения в механике Лагранжа . Она была впервые введена им в 1873 году. ^[1] Если сила трения, действующая на частицу со скоростью, может быть записана как , то функция диссипации Рэлея может быть определена для системы частиц как ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle {\vec {F}}_{f}=-{\vec {k}}\cdot {\vec {v}}}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle R(v)={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}(k_{x}v_{i,x}^{2}+k_{y}v_{i,y}^{2}+k_{z}v_{i,z}^{2}).}$

Эта функция представляет половину скорости рассеивания энергии системы посредством трения. Сила трения отрицательна градиент скорости функции рассеивания, , аналогично силе, равной отрицательному градиенту положения потенциала. Это соотношение представлено в терминах набора обобщенных координат как ${\displaystyle {\vec {F}}_{f}=-\nabla _{v}R(v)}$ ${\displaystyle q_{i}=\left\{q_{1},q_{2},\ldots q_{n}\right\}}$

${\displaystyle {\vec {F}}_{f}=-{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$.

Поскольку трение не является консервативным, оно включено в уравнение Лагранжа : ${\displaystyle Q_{i}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=Q_{i}}$.

Применение значения силы трения, описываемой обобщенными координатами, к уравнениям Эйлера-Лагранжа дает (см. ^[2] )

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\big (}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{i}}}}}{\big )}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=-{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$.

Рэлей записывает лагранжиан как кинетическую энергию минус потенциальную энергию , что дает уравнение Рэлея (26) 1873 года. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\big (}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q_{i}}}}}{\big )}+{\frac {\partial R}{\partial {\dot {q}}_{i}}}+{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}=0}$.

С 1970-х годов название « потенциал диссипации Рэлея» стало более распространенным. Более того, исходная теория обобщается с квадратичных функций на потенциалы диссипации, которые зависят от (тогда называемые зависимостью от состояния) и являются неквадратичными, что приводит к нелинейным законам трения, как в трении Кулона или в пластичности. Основное предположение тогда заключается в том, что отображение является выпуклым и удовлетворяет , см. например ^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle q\mapsto R({\dot {q}})={\frac {1}{2}}{\dot {q}}\cdot \mathbb {V} {\dot {q}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\dot {q}}\mapsto R(q,{\dot {q}})}$ ${\displaystyle 0=R(q,0)\leq R(q,{\dot {q}})}$

Ссылки

1. Рэлей, Лорд (1873). «Некоторые общие теоремы, касающиеся колебаний». Proc. London Math. Soc . s1-4 : 357–368. doi : 10.1112/plms/s1-4.1.357 .
2. Голдстейн, Герберт (1980). Классическая механика (2-е изд.). Reading, MA: Addison-Wesley. стр. 24. ISBN  0-201-02918-9.
3. Моро, Жан Жак (1971). «Функции сопротивления и функции рассеивания». Travaux du Séminaire d'Analyse Convexe, Монпелье (разоблачение № 6) : (см. стр. 6.3 «функции сопротивления»).
4. Лебон, Джорджи; Джоу, Дэвид; Касас-Васкес, Хосе (2008). Понимание неравновесной термодинамики . Спрингер-Верлаг. п. (См. главу 10.2 о потенциалах диссипации).
5. Мильке, Александр (2023). «Введение в анализ градиентных систем». стр. (См. определение 3.1 на стр. 25 для потенциалов диссипации). arXiv : 2306.05026 [math-ph].