Функция плотности вероятности

Функция, интеграл которой по региону описывает вероятность события, происходящего в этом регионе.

Ящичная диаграмма и функция плотности вероятности нормального распределения N (0,  σ ² ) .

Геометрическая визуализация моды , медианы и среднего значения произвольной унимодальной функции плотности вероятности. ^[1]

В теории вероятностей функция плотности вероятности ( PDF ), функция плотности или плотность абсолютно непрерывной случайной величины — это функция , значение которой в любой заданной выборке (или точке) в выборочном пространстве (набор возможных значений, принимаемых случайная величина) можно интерпретировать как предоставление относительной вероятности того, что значение случайной величины будет равно этой выборке. ^{[2] [3]} Плотность вероятности — это вероятность на единицу длины, другими словами, в то время как абсолютная вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое-либо конкретное значение, равна 0 (поскольку изначально существует бесконечное множество возможных значений) , значение PDF для двух разных выборок можно использовать для вывода при любом конкретном отборе случайной величины, насколько более вероятно, что случайная величина будет близка к одной выборке по сравнению с другой выборкой.

В более точном смысле PDF используется для указания вероятности попадания случайной величины в определенный диапазон значений , а не для принятия какого-либо одного значения. Эта вероятность определяется интегралом PDF этой переменной в этом диапазоне, то есть она определяется площадью под функцией плотности, но над горизонтальной осью и между самым низким и самым большим значениями диапазона. Функция плотности вероятности всюду неотрицательна, а площадь под всей кривой равна 1.

Термины «функция распределения вероятностей» и «функция вероятности» также иногда использовались для обозначения функции плотности вероятности. Однако такое использование не является стандартным среди вероятностников и статистиков. В других источниках «функция распределения вероятностей» может использоваться, когда распределение вероятностей определяется как функция по общим наборам значений, или оно может относиться к кумулятивной функции распределения , или это может быть функция массы вероятности (PMF), а не функция распределения вероятностей (PMF), а не функция распределения вероятностей. плотность. Сама «функция плотности» также используется для функции массы вероятности, что приводит к дальнейшей путанице. ^[4] Однако в целом PMF используется в контексте дискретных случайных величин (случайных величин, которые принимают значения в счетном множестве), тогда как PDF используется в контексте непрерывных случайных величин.

Пример

Примеры четырех непрерывных функций плотности вероятности.

Предположим, бактерии определенного вида обычно живут от 4 до 6 часов. Вероятность того, что бактерия проживет ровно 5 часов, равна нулю. Многие бактерии живут примерно 5 часов, но нет никаких шансов, что какая-либо бактерия погибнет ровно через 5 часов. Однако вероятность того, что бактерия погибнет в период от 5 часов до 5,01 часа, поддается количественной оценке. Предположим, ответ равен 0,02 (т. е. 2%). Тогда вероятность того, что бактерия погибнет между 5 и 5,001 часами, должна быть около 0,002, поскольку этот временной интервал составляет одну десятую длины предыдущего. Вероятность того, что бактерия погибнет в период от 5 до 5,0001 часа, должна составлять около 0,0002 и так далее.

В этом примере соотношение (вероятность смерти в течение интервала)/(продолжительность интервала) примерно постоянно и равно 2 в час (или 2 часа ^-1 ). Например, существует вероятность 0,02 умереть в интервале 0,01 часа между 5 и 5,01 часами и (вероятность 0,02 / 0,01 часа) = 2 часа ^-1 . Эта величина 2 час ^-1 называется плотностью вероятности смерти примерно через 5 часов. Следовательно, вероятность того, что бактерия погибнет через 5 часов, можно записать как (2 час ^-1 ) dt . Это вероятность того, что бактерия погибнет в течение бесконечно малого промежутка времени около 5 часов, где dt — продолжительность этого окна. Например, вероятность того, что он проживет дольше 5 часов, но короче (5 часов + 1 наносекунда), равна (2 часа ^-1 )×(1 наносекунда) ≈6 × 10 ⁻¹³ (с использованием преобразования единиц 3,6 × 10 ¹² наносекунд = 1 час).

Существует функция плотности вероятности f с f (5 часов) = 2 часа ⁻¹ . Интеграл от f в любом временном окне (не только в бесконечно малых, но и в больших окнах) представляет собой вероятность того, что бактерия погибнет в этом окне.

Абсолютно непрерывные одномерные распределения

Функция плотности вероятности чаще всего связана с абсолютно непрерывными одномерными распределениями . Случайная величина имеет плотность , где – неотрицательная интегрируемая по Лебегу функция, если: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{X}}$ ${\displaystyle f_{X}}$

$${\displaystyle \Pr[a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}f_{X}(x)\,dx.}$$

Следовательно, если – кумулятивная функция распределения , то : ${\displaystyle F_{X}}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(u)\,du,}$$

${\displaystyle f_{X}}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {d}{dx}}F_{X}(x).}$$

Интуитивно можно представить это как вероятность попадания в бесконечно малый интервал . ${\displaystyle f_{X}(x)\,dx}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [x,x+dx]}$

Формальное определение

( Это определение можно распространить на любое распределение вероятностей, используя теоретико-мерное определение вероятности . )

Случайная величина со значениями в измеримом пространстве (обычно с борелевскими множествами в качестве измеримых подмножеств) имеет в качестве распределения вероятностей меру X _∗ P on : плотность относительно эталонной меры on представляет собой производную Радона – Никодима : ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}$

$${\displaystyle f={\frac {dX_{*}P}{d\mu }}.}$$

То есть f — это любая измеримая функция, обладающая свойством:

$${\displaystyle \Pr[X\in A]=\int _{X^{-1}A}\,dP=\int _{A}f\,d\mu }$$

${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}.}$

Обсуждение

В описанном выше случае непрерывной одномерной эталонной мерой является мера Лебега . Функция массы вероятности дискретной случайной величины — это плотность относительно меры подсчета в выборочном пространстве (обычно наборе целых чисел или некотором его подмножестве).

Невозможно определить плотность относительно произвольной меры (например, нельзя выбрать меру отсчета в качестве эталона для непрерывной случайной величины). Более того, когда она существует, плотность почти уникальна, а это означает, что любые две такие плотности совпадают почти везде .

Более подробная информация

В отличие от вероятности, функция плотности вероятности может принимать значения больше единицы; например, непрерывное равномерное распределение на интервале [0, 1/2] имеет плотность вероятности f ( x ) = 2 для 0 ≤ x ≤ 1/2 и f ( x ) = 0 в других местах.

Стандартное нормальное распределение имеет плотность вероятности

$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-x^{2}/2}.}$$

Если задана случайная величина X и ее распределение допускает функцию плотности вероятности f , то ожидаемое значение X (если ожидаемое значение существует) можно рассчитать как

$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx.}$$

Не каждое распределение вероятностей имеет функцию плотности: распределения дискретных случайных величин ее не имеют; не делает этого и распределение Кантора , даже если оно не имеет дискретной компоненты, т. е. не приписывает положительную вероятность какой-либо отдельной точке.

Распределение имеет функцию плотности тогда и только тогда, когда его кумулятивная функция распределения F ( x ) абсолютно непрерывна . В этом случае: F почти всюду дифференцируема , и ее производную можно использовать в качестве плотности вероятности :

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}F(x)=f(x).}$$

Если распределение вероятностей допускает плотность, то вероятность каждого одноточечного набора { a } равна нулю; то же самое справедливо для конечных и счетных множеств.

Две плотности вероятности f и g представляют одно и то же распределение вероятностей , если они различаются только на множестве нулевой меры Лебега .

В области статистической физики в качестве определения функции плотности вероятности обычно используется неформальная переформулировка приведенного выше соотношения между производной кумулятивной функции распределения и функцией плотности вероятности. Это альтернативное определение следующее:

Если dt — бесконечно малое число, вероятность того, что X входит в интервал ( t , t + dt ) , равна f ( t ) dt , или:

$${\displaystyle \Pr(t<X<t+dt)=f(t)\,dt.}$$

Связь между дискретным и непрерывным распределениями

Некоторые дискретные случайные величины, а также случайные величины, включающие как непрерывную, так и дискретную часть, можно представить с помощью обобщенной функции плотности вероятности, используя дельта-функцию Дирака . (Это невозможно с функцией плотности вероятности в том смысле, который определен выше, это можно сделать с распределением . ) Например, рассмотрим двоичную дискретную случайную величину , имеющую распределение Радемахера , то есть принимая в качестве значений -1 или 1, с вероятностью 1 ⁄ 2 каждый. Плотность вероятности, связанная с этой переменной, равна:

$${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2}}(\delta (t+1)+\delta (t-1)).}$$

В более общем смысле, если дискретная переменная может принимать n различных значений среди действительных чисел, то соответствующая функция плотности вероятности имеет вид:

$${\displaystyle f(t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,\delta (t-x_{i}),}$$

${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$

Это существенно унифицирует трактовку дискретных и непрерывных распределений вероятностей. Приведенное выше выражение позволяет определить статистические характеристики такой дискретной переменной (такие как среднее значение , дисперсия и эксцесс ), исходя из формул, приведенных для непрерывного распределения вероятности.

Семейства плотностей

Обычно функции плотности вероятности (и функции массы вероятности ) параметризуются, то есть характеризуются неуказанными параметрами . Например, нормальное распределение параметризуется с точки зрения среднего значения и дисперсии , обозначаемых и соответственно, что дает семейство плотностей ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$

$${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.}$$

случайных величинвыборочном пространственормализациичто что-тоядра

Поскольку параметры являются константами, перепараметризация плотности с точки зрения других параметров, чтобы дать характеристику другой случайной величины в семействе, означает просто подстановку в формулу новых значений параметров вместо старых.

Плотности, связанные с несколькими переменными

Для непрерывных случайных величин X ₁ , ..., X _n также можно определить функцию плотности вероятности, связанную с набором в целом, часто называемую совместной функцией плотности вероятности . Эта функция плотности определяется как функция n переменных, такая, что для любой области D в n -мерном пространстве значений переменных X ₁ , ..., X _n вероятность того, что реализация набора переменные попадают в область D

$${\displaystyle \Pr \left(X_{1},\ldots ,X_{n}\in D\right)=\int _{D}f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\cdots dx_{n}.}$$

Если F ( x ₁ , ..., x _n ) = Pr( X ₁ ≤ x ₁ , ..., X _n ≤ x _n ) является кумулятивной функцией распределения вектора ( X ₁ , ..., X _n ) , то совместную функцию плотности вероятности можно вычислить как частную производную

$${\displaystyle f(x)=\left.{\frac {\partial ^{n}F}{\partial x_{1}\cdots \partial x_{n}}}\right|_{x}}$$

Предельная плотность

Для i = 1, 2, ..., n пусть f _{X i} ( x _i ) будет функцией плотности вероятности, связанной только с переменной X _i . Это называется функцией предельной плотности, и ее можно вывести из плотности вероятности, связанной со случайными величинами X ₁ , ..., X _n , путем интегрирования по всем значениям других n - 1 переменных:

$${\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})=\int f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\cdots dx_{i-1}\,dx_{i+1}\cdots dx_{n}.}$$

Независимость

Непрерывные случайные величины X ₁ , ..., X _n , допускающие совместную плотность, независимы друг от друга тогда и только тогда, когда

$${\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{X_{1}}(x_{1})\cdots f_{X_{n}}(x_{n}).}$$

Следствие

Если совместную функцию плотности вероятности вектора из n случайных величин можно разложить в произведение n функций одной переменной

$${\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n}),}$$

f _inнезависимы

$${\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})={\frac {f_{i}(x_{i})}{\int f_{i}(x)\,dx}}.}$$

Пример

Этот элементарный пример иллюстрирует приведенное выше определение многомерных функций плотности вероятности в простом случае функции набора двух переменных. Назовем двумерный случайный вектор координат ( X , Y ) : вероятность получить в четверти плоскости положительные значения x и y равна ${\displaystyle {\vec {R}}}$ ${\displaystyle {\vec {R}}}$

$${\displaystyle \Pr \left(X>0,Y>0\right)=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy.}$$

Функция случайных величин и замена переменных в функции плотности вероятности

Если функция плотности вероятности случайной величины (или вектора) X задана как f _X ( x ) , можно (но часто не обязательно; см. ниже) вычислить функцию плотности вероятности некоторой переменной Y = g ( X ) . Это также называется «заменой переменной» и на практике используется для генерации случайной величины произвольной формы f _{g ( X )} = f _Y с использованием известного (например, однородного) генератора случайных чисел.

Соблазнительно думать, что для того, чтобы найти ожидаемое значение E( g ( X ₎ ) нужно сначала найти плотность вероятности fg _{( X )} новой случайной величины Y = g ( X ) . Однако вместо вычислений

$${\displaystyle \operatorname {E} {\big (}g(X){\big )}=\int _{-\infty }^{\infty }yf_{g(X)}(y)\,dy,}$$

$${\displaystyle \operatorname {E} {\big (}g(X){\big )}=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f_{X}(x)\,dx.}$$

Значения двух интегралов одинаковы во всех случаях, когда и X , и g ( X ) фактически имеют функции плотности вероятности. Не обязательно, чтобы g была взаимно однозначной функцией . В некоторых случаях последний интеграл вычисляется гораздо проще, чем первый. См. Закон бессознательного статистика .

Скаляр в скаляр

Пусть – монотонная функция , тогда результирующая функция плотности равна ^[5] ${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

$${\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\left|{\frac {d}{dy}}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\right|.}$$

Здесь g ⁻¹ обозначает обратную функцию .

Это следует из того, что вероятность, содержащаяся в дифференциальной области, должна быть инвариантной относительно замены переменных. То есть,

$${\displaystyle \left|f_{Y}(y)\,dy\right|=\left|f_{X}(x)\,dx\right|,}$$

$${\displaystyle f_{Y}(y)=\left|{\frac {dx}{dy}}\right|f_{X}(x)=\left|{\frac {d}{dy}}(x)\right|f_{X}(x)=\left|{\frac {d}{dy}}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\right|f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}={\left|\left(g^{-1}\right)'(y)\right|}\cdot f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}.}$$

Для функций, которые не являются монотонными, функция плотности вероятности для y равна

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n(y)}\left|{\frac {d}{dy}}g_{k}^{-1}(y)\right|\cdot f_{X}{\big (}g_{k}^{-1}(y){\big )},}$$

n ( y )x ${\displaystyle g(x)=y}$ ${\displaystyle g_{k}^{-1}(y)}$

Вектор в вектор

Предположим, что x — n -мерная случайная величина с плотностью соединений f . Если y = G ( x ) , где G — биективная дифференцируемая функция , то y имеет _{плотность} pY :

$${\displaystyle p_{Y}(\mathbf {y} )=f{\Bigl (}G^{-1}(\mathbf {y} ){\Bigr )}\left|\det \left[\left.{\frac {dG^{-1}(\mathbf {z} )}{d\mathbf {z} }}\right|_{\mathbf {z} =\mathbf {y} }\right]\right|}$$

якобианG (⋅)y^[6]

Например, в двумерном случае x = ( x ₁ , x ₂ ) предположим, что преобразование G задается как y ₁ = G ₁ ( x ₁ , x ₂ ) , y ₂ = G ₂ ( x ₁ , x _{2 )} ) с обратными Икс ₁ знак равно г ₁ ^-1 ( у ₁ , у ₂ ) , Икс ₂ знак равно г ₂ ^-1 ( у ₁ , у ₂ ) . Совместное распределение для y  = ( y ₁ , y ₂ ) имеет плотность ^[7]

$${\displaystyle p_{Y_{1},Y_{2}}(y_{1},y_{2})=f_{X_{1},X_{2}}{\big (}G_{1}^{-1}(y_{1},y_{2}),G_{2}^{-1}(y_{1},y_{2}){\big )}\left\vert {\frac {\partial G_{1}^{-1}}{\partial y_{1}}}{\frac {\partial G_{2}^{-1}}{\partial y_{2}}}-{\frac {\partial G_{1}^{-1}}{\partial y_{2}}}{\frac {\partial G_{2}^{-1}}{\partial y_{1}}}\right\vert .}$$

Вектор в скаляр

Пусть – дифференцируемая функция и – случайный вектор, принимающий значения в , – функция плотности вероятности и – дельта -функция Дирака . Можно использовать приведенные выше формулы для определения функции плотности вероятности , которая будет иметь вид ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta (\cdot )}$ ${\displaystyle f_{Y}}$ ${\displaystyle Y=V(X)}$

$${\displaystyle f_{Y}(y)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,d\mathbf {x} .}$$

Этот результат приводит к закону бессознательного статистика :

$${\displaystyle \operatorname {E} _{Y}[Y]=\int _{\mathbb {R} }yf_{Y}(y)\,dy=\int _{\mathbb {R} }y\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,d\mathbf {x} \,dy=\int _{{\mathbb {R} }^{n}}\int _{\mathbb {R} }yf_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,dy\,d\mathbf {x} =\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(\mathbf {x} )f_{X}(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} =\operatorname {E} _{X}[V(X)].}$$

Доказательство:

Пусть — свернутая случайная величина с функцией плотности вероятности (т. е. константой, равной нулю). Пусть случайный вектор и преобразование определены как ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle p_{Z}(z)=\delta (z)}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle H(Z,X)={\begin{bmatrix}Z+V(X)\\X\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y\\{\tilde {X}}\end{bmatrix}}.}$$

Ясно, что это биективное отображение, а якобиан определяется формулой: ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{-1}}$

$${\displaystyle {\frac {dH^{-1}(y,{\tilde {\mathbf {x} }})}{dy\,d{\tilde {\mathbf {x} }}}}={\begin{bmatrix}1&-{\frac {dV({\tilde {\mathbf {x} }})}{d{\tilde {\mathbf {x} }}}}\\\mathbf {0} _{n\times 1}&\mathbf {I} _{n\times n}\end{bmatrix}},}$$

$${\displaystyle f_{Y,X}(y,x)=f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )},}$$

${\displaystyle x}$

Суммы независимых случайных величин

Функция плотности вероятности суммы двух независимых случайных величин U и V , каждая из которых имеет функцию плотности вероятности, представляет собой свертку их отдельных функций плотности:

$${\displaystyle f_{U+V}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{U}(y)f_{V}(x-y)\,dy=\left(f_{U}*f_{V}\right)(x)}$$

Предыдущее соотношение можно обобщить на сумму N независимых случайных величин с плотностями U _{1 ,} ..., UN :

$${\displaystyle f_{U_{1}+\cdots +U_{N}}(x)=\left(f_{U_{1}}*\cdots *f_{U_{N}}\right)(x)}$$

Это можно получить путем двусторонней замены переменных, включающей Y = U + V и Z = V , аналогично примеру ниже для фактора независимых случайных величин.

Произведения и факторы независимых случайных величин

Учитывая две независимые случайные величины U и V , каждая из которых имеет функцию плотности вероятности, плотность произведения Y = UV и частного Y = U / V можно вычислить путем замены переменных.

Пример: распределение частных

Чтобы вычислить частное Y = U / V двух независимых случайных величин U и V , определите следующее преобразование:

$${\displaystyle {\begin{aligned}Y&=U/V\\[1ex]Z&=V\end{aligned}}}$$

Затем плотность соединений p ( y , z ) можно вычислить путем замены переменных с U , V на Y , Z , а Y можно получить путем исключения Z из плотности соединений.

Обратное преобразование

$${\displaystyle {\begin{aligned}U&=YZ\\V&=Z\end{aligned}}}$$

Абсолютное значение определителя матрицы Якоби этого преобразования равно: ${\displaystyle J(U,V\mid Y,Z)}$

$${\displaystyle \left|\det {\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial y}}&{\frac {\partial u}{\partial z}}\\{\frac {\partial v}{\partial y}}&{\frac {\partial v}{\partial z}}\end{bmatrix}}\right|=\left|\det {\begin{bmatrix}z&y\\0&1\end{bmatrix}}\right|=|z|.}$$

Таким образом:

$${\displaystyle p(y,z)=p(u,v)\,J(u,v\mid y,z)=p(u)\,p(v)\,J(u,v\mid y,z)=p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|.}$$

А распределение Y можно вычислить, исключив Z :

$${\displaystyle p(y)=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|\,dz}$$

Этот метод критически требует, чтобы преобразование от U , V к Y , Z было биективным . Вышеупомянутое преобразование удовлетворяет этому требованию, поскольку Z можно напрямую отобразить обратно в V , и для данного V частное U / V является монотонным . То же самое относится и к сумме U + V , разности U − V и произведению UV .

Точно такой же метод можно использовать для вычисления распределения других функций от нескольких независимых случайных величин.

Пример: частное двух стандартных нормалей.

Учитывая две стандартные нормальные переменные U и V , частное можно вычислить следующим образом. Во-первых, переменные имеют следующие функции плотности:

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(u)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{u^{2}}/{2}}\\[1ex]p(v)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{v^{2}}/{2}}\end{aligned}}}$$

Трансформируем, как описано выше:

$${\displaystyle {\begin{aligned}Y&=U/V\\[1ex]Z&=V\end{aligned}}}$$

Это ведет к:

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(y)&=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|\,dz\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}z^{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}|z|\,dz\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}\left(y^{2}+1\right)z^{2}}|z|\,dz\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}\left(y^{2}+1\right)z^{2}}z\,dz\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\pi }}e^{-\left(y^{2}+1\right)u}\,du&&u={\tfrac {1}{2}}z^{2}\\[5pt]&=\left.-{\frac {1}{\pi \left(y^{2}+1\right)}}e^{-\left(y^{2}+1\right)u}\right|_{u=0}^{\infty }\\[5pt]&={\frac {1}{\pi \left(y^{2}+1\right)}}\end{aligned}}}$$

Это плотность стандартного распределения Коши .

Смотрите также

• Оценка плотности  - оценка ненаблюдаемой основной функции плотности вероятности.
• Оценка плотности ядра  – ОценщикPages displaying short descriptions with no spaces
• Функция правдоподобия  - функция, связанная со статистикой и теорией вероятностей.
• Список вероятностных распределений
• Амплитуда вероятности  - комплексное число, квадрат абсолютного значения которого является вероятностью.
• Функция массы вероятности  - Распределение вероятностей дискретной переменной
• Вторичная мера
• В качестве плотности вероятности позиции используется :
  • Атомная орбиталь  - функция, описывающая электрон в атоме.
  • Домашний ареал  – территория, на которой животное живет и периодически перемещается.

Рекомендации

1. «Обзор статистики AP - кривые плотности и нормальное распределение» . Архивировано из оригинала 2 апреля 2015 года . Проверено 16 марта 2015 г.
2. Гринстед, Чарльз М.; Снелл, Дж. Лори (2009). «Условная вероятность — дискретная условная» (PDF) . Введение Гринстеда и Снелла в вероятность . Тексты апельсиновой рощи. ISBN 978-1616100469. Архивировано (PDF) из оригинала 25 апреля 2003 г. Проверено 25 июля 2019 г.
3. «Вероятность — является ли равномерно случайное число на действительной линии допустимым распределением?». Крест проверен . Проверено 6 октября 2021 г.
4. Орд, Дж. К. (1972) Семейства частотных распределений , Гриффин. ISBN 0-85264-137-0 (например, Таблица 5.1 и Пример 5.4) 
5. Зигрист, Кайл. «Преобразования случайных величин». Статистика LibreTexts . Проверено 22 декабря 2023 г.
6. Девор, Джей Л.; Берк, Кеннет Н. (2007). Современная математическая статистика с приложениями. Сенгаге. п. 263. ИСБН 978-0-534-40473-4.
7. Дэвид, Стирзакер (1 января 2007 г.). Элементарная вероятность . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0521534284. ОСЛК  851313783.

дальнейшее чтение

• Биллингсли, Патрик (1979). Вероятность и мера . Нью-Йорк, Торонто, Лондон: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-00710-2.
• Казелла, Джордж ; Бергер, Роджер Л. (2002). Статистический вывод (второе изд.). Томсон Обучение. стр. 34–37. ISBN 0-534-24312-6.
• Стирзакер, Дэвид (2003). Элементарная вероятность . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-42028-8.Главы с 7 по 9 посвящены непрерывным переменным.

Внешние ссылки

• Ушаков, Н.Г. (2001) [1994], «Плотность распределения вероятностей», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция плотности вероятности». Математический мир .