Функция принадлежности (математика)

В математике функция принадлежности нечеткого множества является обобщением индикаторной функции для классических множеств . В нечеткой логике она представляет степень истины как расширение оценки . Степени истины часто путают с вероятностями , хотя они концептуально различны, поскольку нечеткая истина представляет собой членство в нечетко определенных множествах, а не вероятность какого-либо события или условия. Функции принадлежности были введены Алиаскером Заде в первой статье о нечетких множествах (1965). Алиаскер Заде в своей теории нечетких множеств предложил использовать функцию принадлежности (с диапазоном, охватывающим интервал ( 0,1)), действующую в области всех возможных значений.

Определение

Для любого множества функция принадлежности — это любая функция от реального единичного интервала . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Функции принадлежности представляют собой нечеткие подмножества [ ^{нужна цитация ]} . Функция принадлежности, которая представляет нечеткое множество, обычно обозначается как. Для элемента из значение называется степенью членства в нечетком множестве. Степень членства количественно определяет степень принадлежности элемента к нечеткому множеству. Значение 0 означает, что не является членом нечеткого множества; значение 1 означает, что он полностью входит в нечеткое множество. Значения от 0 до 1 характеризуют нечеткие члены, которые принадлежат нечеткому множеству лишь частично. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ ${\displaystyle \mu _{A}.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}.}$ ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Функция принадлежности нечеткого множества

Иногда ^[1] используется более общее определение, где функции принадлежности принимают значения в произвольной фиксированной алгебре или структуре ^{[ требуется дальнейшее объяснение ]} ; обычно требуется, чтобы это было хотя бы частичное множество или решетка . Обычные функции принадлежности со значениями в [0, 1] тогда называются [0, 1]-значными функциями принадлежности. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Емкость

См. статью « Емкость множества», где можно найти близкое определение в математике.

Одним из применений функций принадлежности является способность в теории принятия решений .

В теории принятия решений пропускная способность определяется как функция из S , набора подмножеств некоторого набора, в такую, которая является монотонной по множествам и нормализованной (т. е. это обобщение понятия вероятностной меры , где аксиома вероятности счетной аддитивности ослаблена. Способность используется как субъективная мера вероятности события, а « ожидаемое значение » результата при определенной емкости можно найти, взяв интеграл Шоке по емкости. ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu (\emptyset )=0,\nu (\Omega )=1).}$

Смотрите также

• Дефаззификация
• Теория нечеткой меры
• Операции с нечетким множеством
• Грубый набор

Рекомендации

1. Впервые в Гогене (1967).

Библиография

• Заде Л.А., 1965, "Нечеткие множества". Информация и контроль 8 : 338–353. [1]
• Гоген Ж.А., 1967, « L -нечеткие множества». Журнал математического анализа и приложений 18 : 145–174.

Внешние ссылки

• Обработка нечетких изображений