Метод характеристик

Метод решения гиперболических уравнений в частных производных

В математике метод характеристик — это метод решения уравнений с частными производными . Обычно он применяется к уравнениям первого порядка , хотя в общем случае характеристические кривые можно найти и для гиперболических и параболических уравнений с частными производными . Метод заключается в сведении уравнения с частными производными (УЧП) к семейству обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), по которому решение может быть интегрировано из некоторых начальных данных, заданных на подходящей гиперповерхности .

Характеристики уравнения в частных производных первого порядка

Для уравнения в частных производных первого порядка метод характеристик обнаруживает так называемые характеристические кривые, вдоль которых уравнение в частных производных становится обыкновенным дифференциальным уравнением. ^{[1] [2]} После того, как обыкновенное дифференциальное уравнение найдено, его можно решить вдоль характеристических кривых и преобразовать в решение для исходного уравнения в частных производных.

Для простоты мы сейчас ограничимся случаем функции двух независимых переменных x и y . Рассмотрим квазилинейное уравнение в частных производных вида ^[3]

Предположим, что решение z известно, и рассмотрим график поверхности z  =  z ( x , y ) в R ³ . Нормальный вектор к этой поверхности задается формулой ^[4]

${\displaystyle \left({\frac {\partial z}{\partial x}}(x,y),{\frac {\partial z}{\partial y}}(x,y),-1\right).\,}$

В результате уравнение ( 1 ) эквивалентно геометрическому утверждению, что векторное поле

${\displaystyle (a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))\,}$

касается поверхности z  =  z ( x , y ) в каждой точке, так как скалярное произведение этого векторного поля с указанным выше нормальным вектором равно нулю. Другими словами, график решения должен быть объединением интегральных кривых этого векторного поля. Эти интегральные кривые называются характеристическими кривыми исходного уравнения в частных производных и следуют как решения характеристических уравнений: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=a(x,y,z),\\[8pt]{\frac {dy}{dt}}&=b(x,y,z),\\[8pt]{\frac {dz}{dt}}&=c(x,y,z).\end{aligned}}}$

Параметризационно-инвариантная форма уравнений Лагранжа–Шарпи имеет вид: ^[5]

${\displaystyle {\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z)}}.}$

Линейные и квазилинейные случаи

Рассмотрим теперь уравнение в частных производных вида

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}(x_{1},\dots ,x_{n},u){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=c(x_{1},\dots ,x_{n},u).}$

Для того, чтобы это уравнение в частных производных было линейным , коэффициенты a _i могут быть функциями только пространственных переменных и не зависеть от u . Для того, чтобы оно было квазилинейным, ^[6] a _i может также зависеть от значения функции, но не от каких-либо производных. Различие между этими двумя случаями несущественно для обсуждения здесь.

Для линейного или квазилинейного УЧП характеристические кривые задаются параметрически как

${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n},u)=(x_{1}(s),\dots ,x_{n}(s),u(s))}$

${\displaystyle u(\mathbf {X} (s))=U(s)}$

таким образом, что выполняется следующая система ОДУ

Уравнения ( 2 ) и ( 3 ) дают характеристики УЧП.

Полностью нелинейный случай

Рассмотрим уравнение в частных производных

где переменные p _i являются сокращениями для частных производных

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}.}$

Пусть ( x _i ( s ), u ( s ), p _i ( s )) — кривая в R ²ⁿ⁺¹ . Предположим, что u — любое решение, и что

${\displaystyle u(s)=u(x_{1}(s),\dots ,x_{n}(s)).}$

Вдоль решения дифференцирование ( 4 ) по s дает ^[7]

${\displaystyle \sum _{i}(F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}){\dot {x}}_{i}+\sum _{i}F_{p_{i}}{\dot {p}}_{i}=0}$

${\displaystyle {\dot {u}}-\sum _{i}p_{i}{\dot {x}}_{i}=0}$

${\displaystyle \sum _{i}({\dot {x}}_{i}dp_{i}-{\dot {p}}_{i}dx_{i})=0.}$

Второе уравнение следует из применения цепного правила к решению u , а третье следует из взятия внешней производной отношения . Манипулирование этими уравнениями дает ${\displaystyle du-\sum _{i}p_{i}\,dx_{i}=0}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{i}=\lambda F_{p_{i}},\quad {\dot {p}}_{i}=-\lambda (F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}),\quad {\dot {u}}=\lambda \sum _{i}p_{i}F_{p_{i}}}$

где λ — константа. Записывая эти уравнения более симметрично, получаем уравнения Лагранжа–Шарпи для характеристики

${\displaystyle {\frac {{\dot {x}}_{i}}{F_{p_{i}}}}=-{\frac {{\dot {p}}_{i}}{F_{x_{i}}+F_{u}p_{i}}}={\frac {\dot {u}}{\sum p_{i}F_{p_{i}}}}.}$

Геометрически метод характеристик в полностью нелинейном случае можно интерпретировать как требование, чтобы конус Монжа дифференциального уравнения всюду касался графика решения.

Пример

В качестве примера рассмотрим уравнение адвекции (этот пример предполагает знакомство с нотацией уравнений в частных производных и решениями основных уравнений обыкновенных дифференциальных уравнений).

${\displaystyle a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0}$

где является константой и является функцией и . Мы хотим преобразовать это линейное уравнение в частных производных первого порядка в ОДУ вдоль соответствующей кривой; т.е. что-то вроде ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s)),}$

где - характеристическая линия. Сначала найдем ${\displaystyle (x(s),t(s))}$

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {dt}{ds}}}$

по правилу цепочки. Теперь, если мы установим и получим ${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=a}$ ${\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1}$

${\displaystyle a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}}$

что является левой частью PDE, с которого мы начали. Таким образом

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0.}$

Итак, вдоль характеристической линии исходное УЧП становится ОДУ . То есть вдоль характеристик решение постоянно. Таким образом, где и лежат на одной и той же характеристике. Поэтому для определения общего решения достаточно найти характеристики, решив характеристическую систему ОДУ: ${\displaystyle (x(s),t(s))}$ ${\displaystyle u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0}$ ${\displaystyle u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)}$ ${\displaystyle (x_{s},t_{s})\,}$ ${\displaystyle (x_{0},0)}$

• ${\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1}$, давая нам знать , ${\displaystyle t(0)=0}$ ${\displaystyle t=s}$
• ${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=a}$, давая нам знать , ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$ ${\displaystyle x=as+x_{0}=at+x_{0}}$
• ${\displaystyle {\frac {du}{ds}}=0}$, давая нам знать . ${\displaystyle u(0)=f(x_{0})}$ ${\displaystyle u(x(t),t)=f(x_{0})=f(x-at)}$

В этом случае характеристические линии представляют собой прямые линии с наклоном , а значение остается постоянным вдоль любой характеристической линии. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle u}$

Характеристики линейных дифференциальных операторов

Пусть X — дифференцируемое многообразие , а P — линейный дифференциальный оператор.

${\displaystyle P:C^{\infty }(X)\to C^{\infty }(X)}$

порядка k . В локальной системе координат x ⁱ ,

${\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}}$

в котором α обозначает мультииндекс . Главный символ P , обозначаемый σ P , является функцией на кокасательном расслоении T ^∗ X, _{определяемой} в этих локальных координатах как

${\displaystyle \sigma _{P}(x,\xi )=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }}$

где ξ _i — координаты слоев на кокасательном расслоении, индуцированные дифференциалами координат dx ⁱ . Хотя это определяется с использованием конкретной системы координат, закон преобразования, связывающий ξ _i и x ^{i ,} гарантирует, что σ _P — хорошо определенная функция на кокасательном расслоении.

Функция σ _P однородна степени k по переменной ξ . Нули σ _P , вдали от нулевого сечения T ^∗ X , являются характеристиками P . Гиперповерхность X , определяемая уравнением F ( x ) =  c , называется характеристической гиперповерхностью в точке x , если

${\displaystyle \sigma _{P}(x,dF(x))=0.}$

Инвариантно, характеристическая гиперповерхность — это гиперповерхность, конормальное расслоение которой принадлежит характеристическому множеству P.

Качественный анализ характеристик

Характеристики также являются мощным инструментом для получения качественного представления о PDE.

Можно использовать пересечения характеристик для поиска ударных волн для потенциального потока в сжимаемой жидкости. Интуитивно мы можем думать о каждой характеристической линии, подразумевающей решение вдоль себя. Таким образом, когда две характеристики пересекаются, функция становится многозначной, что приводит к нефизическому решению. Физически это противоречие устраняется образованием ударной волны, тангенциального разрыва или слабого разрыва и может привести к непотенциальному потоку, нарушая исходные предположения. ^[8] ${\displaystyle u}$

Характеристики могут не покрывать часть области PDE. Это называется разрежением и указывает на то, что решение обычно существует только в слабом смысле, т.е. в смысле интегрального уравнения .

Направление характеристических линий указывает поток значений через решение, как показывает пример выше. Такого рода знания полезны при численном решении уравнений в частных производных, поскольку они могут указать, какая схема конечных разностей лучше всего подходит для задачи.

Смотрите также

• Метод квантовых характеристик

Примечания

1. Захманоглу и То 1986, стр. 112–152.
2. Пинчовер и Рубинштейн 2005, стр. 25–28.
3. John 1991, стр. 9.
4. Заудерер 2006, стр. 82.
5. Демидов 1982, стр. 331–333.
6. «Уравнения с частными производными (УЧП) — Документация по языку Wolfram».
7. Джон 1991, стр. 19–24.
8. Дебнат, Локенат (2005), «Законы сохранения и ударные волны», Нелинейные уравнения в частных производных для ученых и инженеров (2-е изд.), Бостон: Birkhäuser, стр. 251–276, ISBN 0-8176-4323-0

Ссылки

• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1962), Методы математической физики, Том II , Wiley-Interscience
• Демидов, СС (1982). «Изучение уравнений с частными производными первого порядка в XVIII и XIX веках». Архив журнала History of Exact Sciences . 26 (4). Springer Science and Business Media LLC: 325–350. doi :10.1007/bf00418753. ISSN  0003-9519.
• Эванс, Лоуренс К. (1998), Уравнения с частными производными , Провиденс: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-0772-2
• Джон, Фриц (1991). Уравнения с частными производными (4-е изд.). Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90609-6.
• Заудерер, Эрих (2006). Уравнения с частными производными прикладной математики . Wiley. doi : 10.1002/9781118033302 . ISBN 978-0-471-69073-3.* Полянин, А.Д.; Зайцев, В.Ф.; Муссио, А. (2002), Справочник по уравнениям в частных производных первого порядка , Лондон: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X
• Пинчовер, Иегуда; Рубинштейн, Якоб (2005). Введение в уравнения с частными производными . Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9780511801228. ISBN 978-0-511-80122-8.
• Полянин, АД (2002), Справочник по линейным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых , Бока-Ратон: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9
• Сарра, Скотт (2003), «Метод характеристик с приложениями к законам сохранения», Журнал онлайн-математики и ее приложений
• Стритер, В. Л.; Уайли, Э. Б. (1998), Механика жидкостей (Международное 9-е пересмотренное издание), McGraw-Hill Higher Education
• Захманоглу, EC; Тоу, Дейл В. (1986). Введение в уравнения с частными производными и их приложения . Нью-Йорк: Courier Corporation. ISBN 0-486-65251-3.

Внешние ссылки

• Учебное пособие профессора Скотта Сарры по методу характеристик
• Учебное пособие профессора Алана Худа по методу характеристик