Характеристика (алгебра)

Наименьшее целое число n , для которого n ⋅1 равно 0, в кольце

В математике характеристика кольца R , часто обозначаемая char( R ) , определяется как наименьшее положительное число копий мультипликативного тождества кольца ( 1 ), которое в сумме дает аддитивное тождество ( 0 ). Если такого числа не существует, говорят, что кольцо имеет нулевую характеристику.

То есть char( R ) — это наименьшее положительное число n такое, что: ^{[1] (стр. 198, теор. 23.14)}

${\displaystyle \underbrace {1+\cdots +1} _{n{\text{ summands}}}=0}$

если такое число n существует, и 0 в противном случае.

Мотивация

Специальное определение нулевой характеристики мотивировано эквивалентными определениями, приведенными в следующем разделе, где нулевую характеристику не требуется рассматривать отдельно.

Характеристикой также можно считать показатель аддитивной группы кольца , то есть наименьшее положительное целое число n такое, что: ^{[1] (стр. 198, определение 23.12)}

${\displaystyle \underbrace {a+\cdots +a} _{n{\text{ summands}}}=0}$

для каждого элемента a кольца (опять же, если n существует; в противном случае ноль). Это определение применимо к более общему классу грегс ( см. Кольцо (математика) § Мультипликативное тождество и термин «кольцо» ); для (единичных) колец эти два определения эквивалентны в силу их закона распределения .

Эквивалентные характеристики

• Характеристикой является натуральное число n такое, что n ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ является ядром единственного гомоморфизма колец из в R . ^[а] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Характеристикой является натуральное число n такое, что R содержит подкольцо , изоморфное фактор -кольцу , которое является образом указанного выше гомоморфизма. ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$
• Когда неотрицательные целые числа {0, 1, 2, 3, ...} частично упорядочены по делимости, тогда 1 является наименьшим, а 0 — наибольшим. Тогда характеристикой кольца является наименьшее значение n , для которого n ⋅ 1 = 0 . Если ничего «меньшего» (в этом порядке), чем 0 , не достаточно, тогда характеристика равна  0 . Это подходящий частичный порядок, поскольку char( A × B ) является наименьшим общим кратным char A и char B , и что гомоморфизм колец f  : A → B не существует, пока char B не делит char A .
• Характеристика кольца R равна n в точности, если из утверждения ka = 0 для всех a ∈ R следует, что k кратно n .

Чехол для колец

Если R и S — кольца и существует кольцевой гомоморфизм R → S , то характеристика S делит характеристику R. Иногда это можно использовать для исключения возможности определенных гомоморфизмов колец. Единственное кольцо с характеристикой 1 — это нулевое кольцо , имеющее только один элемент 0 = 1 . Если нетривиальное кольцо R не имеет нетривиальных делителей нуля , то его характеристика либо 0 , либо простое число . В частности, это относится ко всем полям , ко всем областям целостности и ко всем телам . Любое кольцо характеристики 0 бесконечно.

Кольцо целых чисел по модулю n имеет характеристику n . Если R — подкольцо кольца S , то R и S имеют одну и ту же характеристику. Например, если p — простое число, а q ( X ) — неприводимый многочлен с коэффициентами в поле с p элементами, то факторкольцо является полем характеристики p . Другой пример: поле комплексных чисел содержит , поэтому характеристика равна 0 . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}[X]/(q(X))}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

-алгебра эквивалентно кольцу, характеристика которого делит n . Это происходит потому, что для каждого кольца R существует гомоморфизм колец , и это отображение действует тогда и только тогда, когда характеристика R делит n . В этом случае для любого r в кольце добавление r к самому себе n раз дает nr = 0 . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \to R}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

Если коммутативное кольцо R имеет простую характеристику p , то мы имеем ( x + y ) ^p = x ^p + y ^p для всех элементов x и y в R – обычно неверная « мечта первокурсника » справедлива для степени p . Тогда отображение x ↦ x ^p определяет кольцевой гомоморфизм R → R , который называется гомоморфизмом Фробениуса . Если R — область целостности , она инъективна .

Случай полей

Как уже говорилось выше, характеристикой любого поля является либо 0 , либо простое число. Поле ненулевой характеристики называется полем конечной характеристики , положительной характеристики или простой характеристики . Характеристический показатель определяется аналогично, за исключением того, что он равен 1 , когда характеристика равна 0 ; в противном случае оно имеет то же значение, что и характеристика. ^[2]

Любое поле F имеет единственное минимальное подполе , называемое также егоглавное поле . Это подполе изоморфно либополюрациональных чисел, либо конечному полюпростого порядка. Два простых поля одной и той же характеристики изоморфны, и этот изоморфизм единственен. Другими словами, в каждой характеристике по существу существует уникальное простое поле. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Поля нулевой характеристики

Наиболее распространенными полями нулевой характеристики являются подполя комплексных чисел . p -адические поля — это характеристические нулевые поля, которые широко используются в теории чисел. Они имеют абсолютные значения, которые сильно отличаются от абсолютных значений комплексных чисел.

Для любого упорядоченного поля , например поля рациональных чисел или поля действительных чисел , характеристика равна 0 . Таким образом, каждое поле алгебраических чисел и поле комплексных чисел имеют нулевую характеристику. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Поля основной характеристики

Конечное поле GF ( pn ⁾ имеет характеристику p .

Существуют бесконечные поля простой характеристики. Например, поле всех рациональных функций над , алгебраическое замыкание или поле формальных рядов Лорана . ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} ((T))}$

Размер любого конечного кольца простой характеристики p является степенью p . Поскольку в этом случае оно содержит , оно также является векторным пространством над этим полем, а из линейной алгебры мы знаем, что размеры конечных векторных пространств над конечными полями являются степенью размера поля. Это также показывает, что размер любого конечного векторного пространства является степенью простого числа. ^[б] ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

Примечания

1. Требования к кольцевым гомоморфизмам таковы, что может быть только один (фактически ровно один) гомоморфизм кольца целых чисел в любое кольцо; на языке теории категорий , является исходным объектом категории колец . Опять же, это применимо, когда кольцо имеет мультипликативный единичный элемент (который сохраняется благодаря гомоморфизмам колец). ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
2. Это векторное пространство над конечным полем, которое, как мы показали, имеет размер p ⁿ , поэтому его размер равен ( p ⁿ ) ^m = p ^nm .

Рекомендации

1. Фрели, Джон Б.; Брэнд, Нил Э. (2020). Первый курс абстрактной алгебры (8-е изд.). Образование Пирсона .
2. Бурбаки, Николя (2003). «5. Характеристический показатель поля. Совершенные поля». Алгебра II, главы 4–7 . Спрингер. п. АВ7. дои : 10.1007/978-3-642-61698-3.

Источники

• Маккой, Нил Х. (1973) [1964]. Теория колец . Издательство Челси . п. 4. ISBN 978-0-8284-0266-8.