Характеристическое уравнение (исчисление)

Алгебраическое уравнение, от которого зависит решение дифференциального уравнения

В математике характеристическое уравнение (или вспомогательное уравнение ^[1] ) — это алгебраическое уравнение степени n , от которого зависит решение данного дифференциального уравнения n- го порядка ^[2] или разностного уравнения . ^{[3] [4]} Характеристическое уравнение может быть составлено только тогда, когда дифференциальное или разностное уравнение является линейным и однородным и имеет постоянные коэффициенты . ^[1] Такое дифференциальное уравнение с y в качестве зависимой переменной , верхним индексом ( n ), обозначающим n-ю производную ^, и a n _, a n _{−  1} , ..., a ₁ , a ₀ в качестве констант,

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0,}$

будет иметь характеристическое уравнение вида

${\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0}$

решения которого r ₁ , r ₂ , ..., r _n являются корнями, из которых может быть сформировано общее решение . ^{[1] [5] [6]} Аналогично, линейное разностное уравнение вида

${\displaystyle y_{t+n}=b_{1}y_{t+n-1}+\cdots +b_{n}y_{t}}$

имеет характеристическое уравнение

${\displaystyle r^{n}-b_{1}r^{n-1}-\cdots -b_{n}=0,}$

Более подробно обсуждается в разделе Линейная рекуррентность с постоянными коэффициентами .

Характеристические корни ( корни характеристического уравнения) также предоставляют качественную информацию о поведении переменной, эволюция которой описывается динамическим уравнением. Для дифференциального уравнения, параметризованного по времени, эволюция переменной устойчива тогда и только тогда, когда действительная часть каждого корня отрицательна. Для разностных уравнений устойчивость существует тогда и только тогда, когда модуль каждого корня меньше 1. Для обоих типов уравнений устойчивые колебания возникают, если есть хотя бы одна пара комплексных корней.

Метод интегрирования линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами был открыт Леонардом Эйлером , который обнаружил, что решения зависят от алгебраического «характеристического» уравнения. ^[2] Свойства характеристического уравнения Эйлера позднее были более подробно рассмотрены французскими математиками Огюстеном-Луи Коши и Гаспаром Монжем . ^{[2] [6]}

Вывод

Начиная с линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами a _n , a _{n  − 1} , ..., a ₁ , a ₀ ,

${\displaystyle a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y^{\prime }+a_{0}y=0,}$

можно увидеть, что если y ( x ) = e ^rx , каждый член будет постоянным кратным e ^rx . Это вытекает из того факта, что производная экспоненциальной функции e ^rx является кратной самой себе. Следовательно, y ′ = re ^rx , y ″ = r ² e ^rx , и y ^{( n )} = r ⁿ e ^rx являются кратными. Это говорит о том, что определенные значения r позволят кратным e ^rx суммироваться с нулем, тем самым решая однородное дифференциальное уравнение. ^[5] Чтобы решить для r , можно подставить y = e ^rx и его производные в дифференциальное уравнение, чтобы получить

${\displaystyle a_{n}r^{n}e^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a_{1}re^{rx}+a_{0}e^{rx}=0}$

Поскольку e ^rx никогда не может быть равен нулю, его можно разделить, получив характеристическое уравнение

${\displaystyle a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0.}$

Решая корни r в этом характеристическом уравнении, можно найти общее решение дифференциального уравнения. ^{[1] [6]} Например, если r имеет корни, равные 3, 11 и 40, то общее решение будет , где , и — произвольные константы , которые необходимо определить с помощью граничных и/или начальных условий. ${\displaystyle y(x)=c_{1}e^{3x}+c_{2}e^{11x}+c_{3}e^{40x}}$ ${\displaystyle c_{1}}$ ${\displaystyle c_{2}}$ ${\displaystyle c_{3}}$

Формирование общего решения

Решение характеристического уравнения относительно его корней r ₁ , ..., r _n позволяет найти общее решение дифференциального уравнения. Корни могут быть действительными или комплексными , а также различными или повторными. Если характеристическое уравнение имеет части с различными действительными корнями, h повторными корнями или k комплексными корнями, соответствующими общим решениям y _D ( x ) , y _{R 1} ( x ), ..., y _{R h} ( x ) и y _{C 1} ( x ), ..., y _{C k} ( x ) , соответственно, то общее решение дифференциального уравнения равно

${\displaystyle y(x)=y_{\mathrm {D} }(x)+y_{\mathrm {R} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {R} _{h}}(x)+y_{\mathrm {C} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {C} _{k}}(x)}$

Пример

Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

${\displaystyle y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0}$

имеет характеристическое уравнение

${\displaystyle r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0}$

Разложив характеристическое уравнение на [ ^{необходимы дополнительные пояснения ]}

${\displaystyle (r-3)(r^{2}+2r+2)^{2}=0}$

можно увидеть, что решения для r являются различными одиночными корнями r ₁ = 3 и двойными комплексными корнями r _2,3,4,5 = 1 ±  i . Это соответствует действительному общему решению

${\displaystyle y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)}$

с константами c ₁ , ..., c ₅ .

Отдельные реальные корни

Принцип суперпозиции для линейно-однородных уравнений гласит, что если u ₁ , ..., u _n являются n линейно независимыми решениями конкретного дифференциального уравнения, то c ₁ u ₁ + ⋯ + c _n u _n также является решением для всех значений c ₁ , ..., c _n . ^{[1] [7]} Следовательно, если характеристическое уравнение имеет различные действительные корни r ₁ , ..., r _n , то общее решение будет иметь вид

${\displaystyle y_{\mathrm {D} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n}e^{r_{n}x}}$

Повторяющиеся действительные корни

Если характеристическое уравнение имеет корень r ₁ , который повторяется k раз, то ясно, что y _p ( x ) = c ₁ e ^{r ₁ x} является по крайней мере одним решением. ^[1] Однако это решение не имеет линейно независимых решений от других k  − 1 корней. Поскольку r ₁ имеет кратность k , дифференциальное уравнение можно разложить на множители ^[1]

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}y=0.}$

Тот факт, что y _p ( x ) = c ₁ e ^{r ₁ x} является одним из решений, позволяет предположить, что общее решение может иметь вид y ( x ) = u ( x ) e ^{r ₁ x} , где u ( x ) — функция, которую необходимо определить. Подстановка ue ^{r ₁ x} дает

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)\!ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}\left(ue^{r_{1}x}\right)-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}}$

когда k  = 1. Применяя этот факт k раз, следует, что

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0.}$

Разделив e ^{r ₁ x} , можно увидеть, что

${\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)=u^{(k)}=0.}$

Следовательно, общий случай для u ( x ) является многочленом степени k  − 1 , так что u ( x ) = c ₁ + c ₂ x + c ₃ x ² + ⋯ + c _k x ^{k  −1} . ^[6] Поскольку y ( x ) = ue ^{r ₁ x} , часть общего решения, соответствующая r _{1 ,} равна

${\displaystyle y_{\mathrm {R} }(x)=e^{r_{1}x}\!\left(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1}\right).}$

Комплексные корни

Если дифференциальное уравнение второго порядка имеет характеристическое уравнение с комплексно-сопряженными корнями вида r ₁ = a + bi и r ₂ = a − bi , то общее решение соответственно имеет вид y ( x ) = c ₁ e ^{( a + bi  ) x} + c ₂ e ^{( a − bi  ) x} . По формуле Эйлера , которая гласит, что e ^iθ = cos  θ + i sin  θ , это решение можно переписать следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}y(x)&=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=\left(c_{1}+c_{2}\right)e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{aligned}}}$

где c ₁ и c ₂ — константы, которые могут быть недействительными и которые зависят от начальных условий. ^[6] (Действительно, поскольку y ( x ) является действительным, c ₁ − c ₂ должно быть мнимым или нулевым, а c ₁ + c ₂ должно быть действительным, чтобы оба члена после последнего знака равенства были действительными.)

Например, если c ₁ = c ₂ = ⁠1/2⁠ , то формируетсячастное решение y ₁ ( x ) = e ^ax cos  bx . Аналогично, если c ₁ = ⁠1/2 я⁠ и с ₂ = − ⁠1/2 я⁠ , то независимое решение, сформированное таким образом, равно y ₂ ( x ) = e ^ax sin  bx . Таким образом, по принципу суперпозиции для линейных однородных дифференциальных уравнений , дифференциальное уравнение второго порядка, имеющее комплексные корни r  =  a ± bi, приведет к следующему общему решению:

${\displaystyle y_{\mathrm {C} }(x)=e^{ax}(C_{1}\cos bx+C_{2}\sin bx)}$

Этот анализ применим также к частям решений дифференциального уравнения высшего порядка, характеристическое уравнение которого содержит недействительные комплексно-сопряженные корни.

Смотрите также

• Характеристический многочлен

Ссылки

1. Эдвардс, К. Генри; Пенни, Дэвид Э. (2008). "Глава 3". Дифференциальные уравнения: вычисления и моделирование . Дэвид Кэлвис. Верхняя Сэддл-Ривер , Нью-Джерси : Pearson Education. стр. 156–170. ISBN 978-0-13-600438-7.
2. Смит, Дэвид Юджин. «История современной математики: дифференциальные уравнения». Университет Южной Флориды .
3. Баумол, Уильям Дж. (1970). Экономическая динамика (3-е изд.). С. 172.
4. Чан, Альфа (1984). Фундаментальные методы математической экономики (3-е изд.). McGraw-Hill. стр. 578, 600. ISBN 9780070107809.
5. Chu, Herman; Shah, Gaurav; Macall, Tom. "Linear Homogeneous Ordinary Differential Equations with Constant Coefficients". eFunda . Получено 1 марта 2011 г.
6. Коэн, Абрахам (1906). Элементарный трактат о дифференциальных уравнениях. DC Heath and Company .
7. Докинз, Пол. «Терминология дифференциальных уравнений». Онлайн-заметки Пола по математике . Получено 2 марта 2011 г.