stringtranslate.com

Обратный откат (дифференциальная геометрия)

Пусть будет гладким отображением между гладкими многообразиями и . Тогда существует связанное линейное отображение из пространства 1-форм на ( линейное пространство сечений кокасательного расслоения ) в пространство 1-форм на . Это линейное отображение известно как обратный путь (через ), и часто обозначается как . В более общем смысле, любое ковариантное тензорное поле – в частности, любая дифференциальная форма – на может быть обратно протянута с помощью .

Когда отображение является диффеоморфизмом , то обратный откат вместе с прямым откатом можно использовать для преобразования любого тензорного поля из в или наоборот. В частности, если является диффеоморфизмом между открытыми подмножествами и , рассматриваемым как изменение координат (возможно, между различными картами на многообразии ), то обратный откат и прямой откат описывают свойства преобразования ковариантных и контравариантных тензоров, используемых в более традиционных (зависящих от координат) подходах к предмету.

Идея, лежащая в основе pullback, по сути, представляет собой понятие предварительной композиции одной функции с другой. Однако, комбинируя эту идею в нескольких различных контекстах, можно построить довольно сложные операции pullback. Эта статья начинается с простейших операций, а затем использует их для построения более сложных. Грубо говоря, механизм pullback (использующий предварительную композицию) превращает несколько конструкций в дифференциальной геометрии в контравариантные функторы .

Обратный отсчет гладких функций и гладких отображений

Пусть будет гладким отображением между (гладкими) многообразиями и , и предположим, что будет гладкая функция на . Тогда обратный путь от по является гладкой функцией на , определенной по . Аналогично, если будет гладкая функция на открытом множестве в , то та же формула определяет гладкую функцию на открытом множестве . (На языке пучков обратный путь определяет морфизм из пучка гладких функций на в прямой образ по пучка гладких функций на .)

В более общем случае, если — гладкое отображение из в любое другое многообразие , то — гладкое отображение из в .

Откат пучков и секций

Если — векторное расслоение (или любое расслоение волокон ) над и — гладкое отображение, то расслоение обратного протягивания — это векторное расслоение (или расслоение волокон ) над , волокно над которым в задаётся как .

В этой ситуации предварительная композиция определяет операцию обратного вытягивания для разделов : если это раздел из более , то раздел обратного вытягивания является разделом из более .

Вытягивание многолинейных форм

Пусть Φ: VWлинейное отображение между векторными пространствами V и W (т. е. Φ — элемент L ( V , W ) , также обозначаемый Hom( V , W ) ), и пусть

быть полилинейной формой на W (также известной как тензор — не путать с тензорным полем — ранга (0, s ) , где s — число множителей W в произведении). Тогда пулбэк Φ F для F на Φ является полилинейной формой на V , определяемой предкомпозицией F с Φ. Точнее, если заданы векторы v 1 , v 2 , ..., v s в V , Φ F определяется формулой

которая является полилинейной формой на V . Следовательно, Φ является (линейным) оператором из полилинейных форм на W в полилинейные формы на V . В качестве особого случая отметим, что если F является линейной формой (или (0,1)-тензором) на W , так что F является элементом W , двойственного пространства W , то Φ F является элементом V ∗ , и поэтому обратный путь с помощью Φ определяет линейное отображение между двойственными пространствами, которое действует в противоположном направлении к самому линейному отображению Φ:

С тензорной точки зрения естественно попытаться расширить понятие обратного пути на тензоры произвольного ранга, т. е. на полилинейные отображения на W, принимающие значения в тензорном произведении r копий W , т. е. WW ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W. Однако элементы такого тензорного произведения не возвращаются естественным образом: вместо этого существует операция прямого пути из VV ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V в W W ⋅⋅⋅ ⊗ W , заданная как

Тем не менее, из этого следует, что если Φ обратим, то pullback можно определить с помощью pushforward по обратной функции Φ −1 . Объединение этих двух конструкций дает операцию pushforward вдоль обратимого линейного отображения для тензоров любого ранга ( r , s ) .

Обратный путь котангенсивных векторов и 1-форм

Пусть будет гладким отображением между гладкими многообразиями . Тогда дифференциал , записанный , , или , является морфизмом векторного расслоения (над ) из касательного расслоения в расслоение -образ . Транспонирование , таким образом, является отображением расслоения из в , кокасательное расслоение .

Теперь предположим, что это раздел ( 1-форма на ) , и предварительно составим с , чтобы получить раздел обратного вытягивания . Применение приведенной выше карты расслоения (поточечно) к этому разделу дает обратное вытягивание , которое является 1-формой на , определенной для в и в .

Обратный путь (ковариантных) тензорных полей

Конструкция предыдущего раздела немедленно обобщается на тензорные расслоения ранга для любого натурального числа : тензорное поле на многообразии является сечением тензорного расслоения, на слое которого в является пространством полилинейных -форм Приравнивая (поточечному) дифференциалу гладкого отображения из в , обратный образ полилинейных форм можно объединить с обратным образом сечений, чтобы получить тензорное поле обратного образа на . Точнее, если является -тензорным полем на , то обратный образ по является -тензорным полем на , определяемым для в и в .

Вытягивание дифференциальных форм

Частным важным случаем обратного образа ковариантных тензорных полей является обратный образ дифференциальных форм . Если — дифференциальная -форма, т.е. сечение внешнего расслоения (послойных) чередующихся -форм на , то обратный образ — это дифференциальная -форма на , определяемая той же формулой, что и в предыдущем разделе: для в и в .

Обратный путь дифференциальных форм имеет два свойства, которые делают его чрезвычайно полезным.

  1. Он совместим с произведением клина в том смысле, что для дифференциальных форм и на ,
  2. Он совместим с внешней производной : если — дифференциальная форма, то

Обратный путь с помощью диффеоморфизмов

Когда отображение между многообразиями является диффеоморфизмом , то есть имеет гладкое обратное, то пулбэк может быть определен как для векторных полей , так и для 1-форм, и, таким образом, по расширению, для произвольного смешанного тензорного поля на многообразии. Линейное отображение

можно перевернуть, чтобы получить

Тогда общее смешанное тензорное поле преобразуется с использованием и в соответствии с разложением тензорного произведения тензорного расслоения на копии и . Когда , то обратный и прямой перенос описывают свойства преобразования тензора на многообразии . В традиционных терминах обратный перенос описывает свойства преобразования ковариантных индексов тензора ; напротив, преобразование контравариантных индексов задается прямым переносом .

Обратный путь с помощью автоморфизмов

Конструкция предыдущего раздела имеет теоретико-представительную интерпретацию, когда является диффеоморфизмом многообразия в себя. В этом случае производная является сечением . Это индуцирует действие обратного протягивания на сечениях любого расслоения, связанного с расслоением фрейма посредством представления общей линейной группы (где ).

Обратный отвод и производная Ли

См. производная Ли . Применяя предыдущие идеи к локальной 1-параметрической группе диффеоморфизмов, определяемой векторным полем на , и дифференцируя по параметру, получаем понятие производной Ли на любом ассоциированном расслоении.

Обратные связи (ковариантные производные)

Если — связность (или ковариантная производная ) на векторном расслоении над и — гладкое отображение из в , то существует связность обратного протягивания на над , определяемая однозначно условием, что

Смотрите также

Ссылки