Вся функция

Функция, голоморфная на всей комплексной плоскости

В комплексном анализе целая функция , также называемая интегральной функцией, представляет собой комплекснозначную функцию , голоморфную на всей комплексной плоскости . Типичными примерами целых функций являются полиномы и экспоненциальная функция , а также любые их конечные суммы, произведения и композиции, такие как тригонометрические функции синус и косинус и их гиперболические аналоги sinh и cosh , а также производные и интегралы целых функций, такие как функция ошибки . Если целая функция имеет корень в , то , принимая предельное значение в , является целой функцией. С другой стороны, натуральный логарифм , обратная функция и квадратный корень не являются целыми функциями и не могут быть аналитически продолжены до целой функции. ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle f(z)/(z-w)}$ ${\displaystyle w}$

Трансцендентная целая функция — это целая функция , не являющаяся полиномом.

Точно так же, как мероморфные функции можно рассматривать как обобщение рациональных дробей, целые функции можно рассматривать как обобщение многочленов. В частности, если для мероморфных функций можно обобщить факторизацию на простые дроби (теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции), то для целых функций существует обобщение факторизации — теорема Вейерштрасса о целых функциях.

Характеристики

Любую целую функцию можно представить в виде одного степенного ряда. ${\displaystyle \ f(z)\ }$

$${\displaystyle \ f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\ }$$

равномерно на компактахсходимости

$${\displaystyle \ \lim _{n\to \infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}}=0\ }$$

^[a]

$${\displaystyle \ \lim _{n\to \infty }{\frac {\ln |a_{n}|}{n}}=-\infty ~.}$$

Если (и только если) все коэффициенты степенного ряда действительны, то функция, очевидно, принимает действительные значения для реальных аргументов, и значение функции при комплексно- сопряженном значении будет комплексно-сопряженным значением при . Такие функции иногда называется самосопряженной (сопряженная функция задается выражением ). ^[1] ${\displaystyle \ z\ }$ ${\displaystyle \ z~.}$ ${\displaystyle \ F^{*}(z)\ ,}$ ${\displaystyle \ {\bar {F}}({\bar {z}})\ }$

Если действительная часть целой функции известна в окрестности точки, то и действительная, и мнимая части известны для всей комплексной плоскости с точностью до мнимой константы. Например, если действительная часть известна в окрестности нуля, то мы можем найти коэффициенты для из следующих производных по действительной переменной : ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle \ r\ }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{\ a_{n}\ \right\}&={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dr^{n}}}\ \operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{\ f(r)\ \right\}&&\quad \mathrm {at} \quad r=0\\\operatorname {\mathcal {I_{m}}} \left\{\ a_{n}\ \right\}&={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dr^{n}}}\ \operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{\ f\left(r\ e^{-{\frac {i\pi }{2n}}}\right)\ \right\}&&\quad \mathrm {at} \quad r=0\end{aligned}}}$$

(Аналогично, если мнимая часть известна в окрестности , то функция определяется с точностью до действительной константы.) Фактически, если действительная часть известна только на дуге окружности, то функция определяется с точностью до мнимой постоянный. ^[b] } Однако обратите внимание, что целая функция не определяется своей действительной частью на всех кривых. В частности, если действительная часть задана на любой кривой на комплексной плоскости, где действительная часть какой-либо другой целой функции равна нулю, то к функции, которую мы пытаемся определить, можно добавить любое кратное этой функции. Например, если кривая, действительная часть которой известна, является действительной линией, то мы можем сложить умножить любую самосопряженную функцию. Если кривая образует петлю, то она определяется вещественной частью функции на петле, поскольку единственные функции, у которых действительная часть на кривой равна нулю, — это те, которые всюду равны некоторому мнимому числу. ${\displaystyle \ i\ }$

Теорема факторизации Вейерштрасса утверждает, что любую целую функцию можно представить произведением, содержащим ее нули (или «корни»).

Целые функции на комплексной плоскости образуют область целостности (фактически область Прюфера ). Они также образуют коммутативную ассоциативную алгебру с единицей над комплексными числами .

Теорема Лиувилля утверждает, что любая ограниченная целая функция должна быть постоянной. ^[с]

Как следствие теоремы Лиувилля, любая функция, целая на всей сфере Римана ^[d], является постоянной. Таким образом, любая непостоянная целая функция должна иметь особенность в комплексной точке на бесконечности : либо полюс для многочлена, либо существенную особенность для трансцендентной целой функции. В частности, по теореме Казорати-Вейерштрасса для любой трансцендентной целой функции и любого комплекса существует последовательность такая, что ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ w\ }$ ${\displaystyle \ (z_{m})_{m\in \mathbb {N} }\ }$

${\displaystyle \ \lim _{m\to \infty }|z_{m}|=\infty ,\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{m\to \infty }f(z_{m})=w~.}$

Маленькая теорема Пикара представляет собой гораздо более сильный результат: любая непостоянная целая функция принимает в качестве значения каждое комплексное число, возможно, за одним исключением. Когда исключение существует, оно называется лакунарным значением функции. Возможность лакунарного значения иллюстрируется показательной функцией , которая никогда не принимает значение 0 . Можно взять подходящую ветвь логарифма целой функции, которая никогда не достигает 0 , так что это тоже будет целая функция (согласно факторизационной теореме Вейерштрасса ). Логарифм находит каждое комплексное число, за исключением, возможно, одного числа, а это означает, что первая функция будет достигать любого значения, отличного от 0, бесконечное количество раз. Аналогично, непостоянная целая функция, которая не достигает определенного значения, будет достигать любого другого значения бесконечное количество раз.

Теорема Лиувилля является частным случаем следующего утверждения:

Теорема  .  Предположим , что являются положительными константами и являются неотрицательным целым числом. Целая функция , удовлетворяющая неравенству для всех с , обязательно является многочленом степени не выше ^[e]. Аналогично, целая функция , удовлетворяющая неравенству для всех с , обязательно является полиномом степени не ниже . ${\displaystyle \ M\ ,}$ ${\displaystyle \ R\ }$ ${\displaystyle \ n\ }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ |f(z)|\leq M|z|^{n}\ }$ ${\displaystyle \ z\ }$ ${\displaystyle \ |z|\geq R\ ,}$ ${\displaystyle \ n~.}$ ${\displaystyle \ f\ }$ ${\displaystyle \ M|z|^{n}\leq |f(z)|\ }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \ |z|\geq R\ ,}$ ${\displaystyle n}$

Рост

Целые функции могут расти так же быстро, как любая возрастающая функция: для любой возрастающей функции существует целая функция , такая что для всех действительных . Такую функцию легко найти в виде: ${\displaystyle g:[0,\infty )\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)>g(|x|)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(z)=c+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {z}{k}}\right)^{n_{k}}}$$

для постоянной и строго возрастающей последовательности натуральных чисел . Любая такая последовательность определяет целую функцию , и если степени выбраны соответствующим образом, мы можем удовлетворить неравенству для всех действительных чисел . (Например, это, безусловно, справедливо, если выбрать и для любого целого числа выбрать четный показатель степени такой, что ). ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n_{k}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(x)>g(|x|)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c:=g(2)}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle n_{k}}$ ${\displaystyle \left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n_{k}}\geq g(k+2)}$

Порядок и тип

Порядок (на бесконечности) всей функции определяется с использованием верхнего предела как: ${\displaystyle f(z)}$

$${\displaystyle \rho =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \left(\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}\right)}{\ln r}},}$$

где – диск радиуса и обозначает верхнюю норму на . Порядок представляет собой неотрицательное действительное число или бесконечность (за исключением случаев, когда для всех . Другими словами, порядок является нижней границей всего такого, что: ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \|f\|_{\infty ,B_{r}}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle f(z)=0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle f(z)=O\left(\exp \left(|z|^{m}\right)\right),\quad {\text{as }}z\to \infty .}$$

Пример показывает, что это не означает, что это порядок . ${\displaystyle f(z)=\exp(2z^{2})}$ ${\displaystyle f(z)=O(\exp(|z|^{m}))}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle m}$

Если можно также определить тип : ${\displaystyle 0<\rho <\infty ,}$

$${\displaystyle \sigma =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}}{r^{\rho }}}.}$$

Если порядок равен 1 и тип , говорят, что функция имеет « экспоненциальный тип ». Если он имеет порядок меньше 1, то говорят, что он имеет экспоненциальный тип 0. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

Если

$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{-\ln |a_{n}|}}\\[6pt](e\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=\limsup _{n\to \infty }n^{\frac {1}{\rho }}|a_{n}|^{\frac {1}{n}}\end{aligned}}}$$

Обозначим -ю производную , тогда мы можем переформулировать эти формулы через производные в любой произвольной точке : ${\displaystyle f^{(n)}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{n\ln n-\ln |f^{(n)}(z_{0})|}}=\left(1-\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln |f^{(n)}(z_{0})|}{n\ln n}}\right)^{-1}\\[6pt](\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=e^{1-{\frac {1}{\rho }}}\limsup _{n\to \infty }{\frac {|f^{(n)}(z_{0})|^{\frac {1}{n}}}{n^{1-{\frac {1}{\rho }}}}}\end{aligned}}}$$

Тип может быть бесконечным, как в случае обратной гамма-функции , или нулевым (см. пример ниже в разделе § Порядок 1).

Еще один способ узнать порядок и тип — теорема Мацаева .

Примеры

Вот несколько примеров функций разного порядка:

Заказать ρ

Для произвольных положительных чисел можно построить пример целой функции порядка и типа , используя: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {e\rho \sigma }{n}}\right)^{\frac {n}{\rho }}z^{n}}$$

Заказать 0

• Ненулевые полиномы
• ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{-n^{2}}z^{n}}$

Заказать 1/4

$${\displaystyle f({\sqrt[{4}]{z}})}$$

$${\displaystyle f(u)=\cos(u)+\cosh(u)}$$

Заказать 1/3

$${\displaystyle f({\sqrt[{3}]{z}})}$$

$${\displaystyle f(u)=e^{u}+e^{\omega u}+e^{\omega ^{2}u}=e^{u}+2e^{-{\frac {u}{2}}}\cos \left({\frac {{\sqrt {3}}u}{2}}\right),\quad {\text{with }}\omega {\text{ a complex cube root of 1}}.}$$

Заказать 1/2

$${\displaystyle \cos \left(a{\sqrt {z}}\right)}$$

${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \sigma =|a|}$

Заказ 1

• ${\displaystyle \exp(az)}$с ( ) ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \sigma =|a|}$
• ${\displaystyle \sin(z)}$
• ${\displaystyle \cosh(z)}$
• функция Бесселя ^{_ _ _} ${\displaystyle J_{0}(z)}$
• обратная гамма-функция ( бесконечна) ${\displaystyle 1/\Gamma (z)}$ ${\displaystyle \sigma }$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n\ln n)^{n}}}.\quad (\sigma =0)}$

Заказать 3/2

• Функция Эйри ${\displaystyle Ai(z)}$

Заказ 2

• ${\displaystyle \exp(az^{2})}$с ( ) ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \sigma =|a|}$
• G-функция Барнса ( бесконечна ). ${\displaystyle \sigma }$

Заказать бесконечность

• ${\displaystyle \exp(\exp(z))}$

Род

Целые функции конечного порядка имеют каноническое представление Адамара ( теорема факторизации Адамара ):

$${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{z_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{z_{n}}}+\cdots +{\frac {1}{p}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{p}\right),}$$

где - корни , которые не равны нулю ( ), - порядок нуля at (под этим подразумевается случай ), многочлен (степень которого мы будем называть ), и - наименьшее неотрицательное целое число такое, что ряд ${\displaystyle z_{k}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{k}\neq 0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle f(0)\neq 0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|z_{n}|^{p+1}}}}$$

сходится. Неотрицательное целое число называется родом всей функции . ${\displaystyle g=\max\{p,q\}}$ ${\displaystyle f}$

Если порядок не является целым числом, то это целая часть . Если порядок является положительным целым числом, то есть две возможности: или . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g=[\rho ]}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g=\rho -1}$ ${\displaystyle g=\rho }$

Например, и — целые функции рода . ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle g=\rho =1}$

Другие примеры

По мнению Дж. Э. Литтлвуда , сигма-функция Вейерштрасса является «типичной» целой функцией. Это утверждение можно уточнить в теории случайных целых функций: асимптотика почти всех целых функций аналогична поведению сигма-функции. Другие примеры включают интегралы Френеля , тета-функцию Якоби и обратную гамма-функцию . Показательная функция и функция ошибок являются частными случаями функции Миттаг-Леффлера . Согласно фундаментальной теореме Пэли и Винера , преобразования Фурье функций (или распределений) с ограниченным носителем представляют собой целые функции порядка и конечного типа. ${\displaystyle 1}$

Другими примерами являются решения линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами. Если коэффициент при старшей производной постоянен, то все решения таких уравнений являются целыми функциями. Например, таким образом возникают показательная функция, синус, косинус, функции Эйри и функции параболического цилиндра . Класс целых функций замкнут относительно композиции. Это дает возможность изучать динамику целых функций .

Целая функция квадратного корня комплексного числа является целой, если исходная функция , например, четная . ${\displaystyle \cos({\sqrt {z}})}$

Если последовательность многочленов, все корни которых вещественные, сходится в окрестности начала координат к пределу, не равному тождественно нулю, то этот предел является целой функцией. Такие целые функции образуют класс Лагерра–Пойа , который также можно охарактеризовать в терминах произведения Адамара, а именно принадлежит этому классу тогда и только тогда, когда в представлении Адамара все вещественны, , и , где и вещественны, и . Например, последовательность многочленов ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{n}}$ ${\displaystyle \rho \leq 1}$ ${\displaystyle P(z)=a+bz+cz^{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c\leq 0}$

$${\displaystyle \left(1-{\frac {(z-d)^{2}}{n}}\right)^{n}}$$

сходится по мере увеличения к . Полиномы ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \exp(-(z-d)^{2})}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\left(1+{\frac {iz}{n}}\right)^{n}+\left(1-{\frac {iz}{n}}\right)^{n}\right)}$$

имеют все действительные корни и сходятся к . Полиномы ${\displaystyle \cos(z)}$

$${\displaystyle \prod _{m=1}^{n}\left(1-{\frac {z^{2}}{\left(\left(m-{\frac {1}{2}}\right)\pi \right)^{2}}}\right)}$$

также сходятся к , показывая наращивание произведения Адамара для косинуса. ${\displaystyle \cos(z)}$

Смотрите также

• Формула Дженсена
• Теорема Карлсона
• Экспоненциальный тип
• Теорема Пэли – Винера
• Теория Вимана-Валирона

Примечания

1. При необходимости логарифм нуля принимается равным минус бесконечности.
2. Например, если действительная часть известна на части единичной окружности, то она известна на всей единичной окружности путем аналитического расширения , а затем коэффициенты бесконечного ряда определяются из коэффициентов ряда Фурье для вещественной часть на единичном круге.
3. Теорему Лиувилля можно использовать для элегантного доказательства фундаментальной теоремы алгебры .
4. Сфера Римана — это вся комплексная плоскость, дополненная единственной точкой на бесконечности.
5. Обратное также верно, поскольку для любого многочлена степени неравенство справедливо для любого ${\textstyle \ p(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}\ }$ ${\displaystyle \ n\ }$ ${\textstyle \ |p(z)|\leq \left(\ \sum _{k=0}^{n}|a_{k}|\ \right)|z|^{n}\ }$ ${\displaystyle \ |z|\geq 1~.}$

Рекомендации

1. Боас 1954, с. 1.

Источники

• Боас, Ральф П. (1954). Целые функции . Академическая пресса . ISBN 9780080873138. ОСЛК  847696.
• Левин, Б.Я. (1980) [1964]. Распределение нулей целых функций . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4505-9.
• Левин, Б.Я. (1996). Лекции по целым функциям . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0897-9.