Вся функция

Функция, голоморфная на всей комплексной плоскости

В комплексном анализе целая функция , также называемая интегральной функцией, является комплекснозначной функцией , которая голоморфна на всей комплексной плоскости . Типичными примерами целых функций являются полиномы и показательная функция , а также любые конечные суммы, произведения и композиции из них, такие как тригонометрические функции синус и косинус и их гиперболические аналоги sinh и cosh , а также производные и интегралы целых функций, такие как функция ошибок . Если целая функция имеет корень в , то , принимая предельное значение в , является целой функцией. С другой стороны, натуральный логарифм , обратная функция и квадратный корень не являются целыми функциями и не могут быть аналитически продолжены до целой функции. ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle f(z)/(z-w)}$ ${\displaystyle w}$

Трансцендентная целая функция — это целая функция , не являющаяся многочленом.

Так же, как мероморфные функции можно рассматривать как обобщение рациональных дробей, целые функции можно рассматривать как обобщение многочленов. В частности, если для мероморфных функций можно обобщить факторизацию на простые дроби (теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции), то для целых функций существует обобщение факторизации — теорема Вейерштрасса о целых функциях.

Характеристики

Каждая целая функция может быть представлена ​​в виде одного степенного ряда , который сходится всюду в комплексной плоскости, следовательно, равномерно на компактных множествах . Радиус сходимости бесконечен, что означает, что или, что эквивалентно, ^[a] Любой степенной ряд, удовлетворяющий этому критерию, будет представлять целую функцию. ${\displaystyle f(z)}$ $${\displaystyle \ f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\ }$$ $${\displaystyle \ \lim _{n\to \infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}}=0\ }$$ $${\displaystyle \ \lim _{n\to \infty }{\frac {\ln |a_{n}|}{n}}=-\infty ~.}$$

Если (и только если) все коэффициенты степенного ряда действительны, то функция, очевидно, принимает действительные значения для действительных аргументов, и значение функции при комплексно сопряженном значении будет комплексно сопряженным значением при Такие функции иногда называют самосопряженными (сопряженная функция задается выражением ). ^[1] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z~.}$ ${\displaystyle F^{*}(z),}$ ${\displaystyle {\bar {F}}({\bar {z}})}$

Если действительная часть целой функции известна в окрестности точки, то и действительная, и мнимая части известны для всей комплексной плоскости с точностью до мнимой константы. Например, если действительная часть известна в окрестности нуля, то мы можем найти коэффициенты для из следующих производных по действительной переменной : ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{\ a_{n}\ \right\}&={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dr^{n}}}\ \operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{\ f(r)\ \right\}&&\quad \mathrm {at} \quad r=0\\\operatorname {\mathcal {I_{m}}} \left\{\ a_{n}\ \right\}&={\frac {1}{n!}}{\frac {d^{n}}{dr^{n}}}\ \operatorname {\mathcal {R_{e}}} \left\{\ f\left(r\ e^{-{\frac {i\pi }{2n}}}\right)\ \right\}&&\quad \mathrm {at} \quad r=0\end{aligned}}}$$

(Аналогично, если мнимая часть известна в окрестности , то функция определяется с точностью до действительной константы.) Фактически, если действительная часть известна только на дуге окружности, то функция определяется с точностью до мнимой константы. ^[b] } Однако следует отметить, что целая функция не определяется своей действительной частью на всех кривых. В частности, если действительная часть задана на любой кривой в комплексной плоскости, где действительная часть некоторой другой целой функции равна нулю, то любое кратное этой функции может быть добавлено к функции, которую мы пытаемся определить. Например, если кривая, где известна действительная часть, является действительной прямой, то мы можем сложить умноженные на любую самосопряженную функцию. Если кривая образует петлю, то она определяется действительной частью функции на петле, поскольку единственные функции, действительная часть которых равна нулю на кривой, — это те, которые всюду равны некоторому мнимому числу. ${\displaystyle i}$

Теорема о факторизации Вейерштрасса утверждает , что любая целая функция может быть представлена ​​произведением ее нулей (или «корней»).

Целые функции на комплексной плоскости образуют область целостности (фактически область Прюфера ). Они также образуют коммутативную унитальную ассоциативную алгебру над комплексными числами .

Теорема Лиувилля утверждает, что любая ограниченная целая функция должна быть постоянной. ^[c]

Как следствие теоремы Лиувилля, любая функция, которая является целой на всей сфере Римана ^[d], является постоянной. Таким образом, любая непостоянная целая функция должна иметь особенность в комплексной точке на бесконечности , либо полюс для полинома, либо существенную особенность для трансцендентной целой функции. В частности, по теореме Казорати–Вейерштрасса , для любой трансцендентной целой функции и любого комплекса существует последовательность такая, что ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle (z_{m})_{m\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle \ \lim _{m\to \infty }|z_{m}|=\infty ,\qquad {\text{and}}\qquad \lim _{m\to \infty }f(z_{m})=w~.}$

Малая теорема Пикара — гораздо более сильный результат: Любая непостоянная целая функция принимает каждое комплексное число в качестве значения, возможно, с одним исключением. Когда исключение существует, оно называется лакунарным значением функции. Возможность лакунарного значения иллюстрируется показательной функцией , которая никогда не принимает значение . Можно взять подходящую ветвь логарифма целой функции, которая никогда не достигает , так что это также будет целая функция (согласно теореме Вейерштрасса о факторизации ). Логарифм достигает каждого комплексного числа, за исключением, возможно, одного числа, что подразумевает, что первая функция достигнет любого значения, кроме бесконечного числа раз. Аналогично, непостоянная целая функция, которая не достигает определенного значения, достигнет каждого другого значения бесконечное число раз. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$

Теорема Лиувилля является частным случаем следующего утверждения:

Теорема  —  Предположим , что являются положительными константами и — неотрицательное целое число. Целая функция , удовлетворяющая неравенству для всех с , обязательно является многочленом степени не выше ^[e] Аналогично, целая функция, удовлетворяющая неравенству для всех с , обязательно является многочленом степени не ниже . ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f(z)|\leq M|z|^{n}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|\geq R,}$ ${\displaystyle n~.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M|z|^{n}\leq |f(z)|}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|\geq R,}$ ${\displaystyle n}$

Рост

Целые функции могут расти так же быстро, как и любая возрастающая функция: для любой возрастающей функции существует целая функция такая, что для всех действительных . Такую функцию можно легко найти в виде: ${\displaystyle g:[0,\infty )\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)>g(|x|)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f(z)=c+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {z}{k}}\right)^{n_{k}}}$$

для константы и строго возрастающей последовательности положительных целых чисел . Любая такая последовательность определяет целую функцию , и если степени выбраны соответствующим образом, мы можем удовлетворить неравенству для всех действительных . (Например, оно, безусловно, выполняется, если выбрать и для любого целого числа выбрать четный показатель степени, такой что ). ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n_{k}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle f(x)>g(|x|)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c:=g(2)}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle n_{k}}$ ${\displaystyle \left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n_{k}}\geq g(k+2)}$

Заказ и тип

Порядок (на бесконечности) целой функции определяется с помощью верхнего предела как: ${\displaystyle f(z)}$

$${\displaystyle \rho =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \left(\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}\right)}{\ln r}},}$$

где — круг радиуса , а — норма супремума для на . Порядок — неотрицательное действительное число или бесконечность (за исключением случая, когда для всех ). Другими словами, порядок — это инфимум всех таких, что: ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \|f\|_{\infty ,B_{r}}}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle f(z)=0}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle f(z)=O\left(\exp \left(|z|^{m}\right)\right),\quad {\text{as }}z\to \infty .}$$

Пример показывает, что это не означает , что имеет место порядок . ${\displaystyle f(z)=\exp(2z^{2})}$ ${\displaystyle f(z)=O(\exp(|z|^{m}))}$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle m}$

Если можно также определить тип : ${\displaystyle 0<\rho <\infty ,}$

$${\displaystyle \sigma =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}}{r^{\rho }}}.}$$

Если порядок равен 1, а тип равен , говорят, что функция имеет " экспоненциальный тип ". Если порядок меньше 1, говорят, что она имеет экспоненциальный тип 0. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

Если то порядок и тип можно найти по формулам $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{-\ln |a_{n}|}}\\[6pt](e\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=\limsup _{n\to \infty }n^{\frac {1}{\rho }}|a_{n}|^{\frac {1}{n}}\end{aligned}}}$$

Пусть обозначает -ю производную от . Тогда мы можем переформулировать эти формулы через производные в любой произвольной точке : ${\displaystyle f^{(n)}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{0}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{n\ln n-\ln |f^{(n)}(z_{0})|}}=\left(1-\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln |f^{(n)}(z_{0})|}{n\ln n}}\right)^{-1}\\[6pt](\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=e^{1-{\frac {1}{\rho }}}\limsup _{n\to \infty }{\frac {|f^{(n)}(z_{0})|^{\frac {1}{n}}}{n^{1-{\frac {1}{\rho }}}}}\end{aligned}}}$$

Тип может быть бесконечным, как в случае обратной гамма-функции , или нулевым (см. пример ниже в § Порядок 1).

Другой способ узнать порядок и тип — теорема Мацаева .

Примеры

Вот несколько примеров функций различных порядков:

Заказρ

Для произвольных положительных чисел и можно построить пример целой функции порядка и типа, используя: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$

$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {e\rho \sigma }{n}}\right)^{\frac {n}{\rho }}z^{n}}$$

Заказать 0

• Ненулевые многочлены
• ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{-n^{2}}z^{n}}$

Заказать 1/4

$${\displaystyle f({\sqrt[{4}]{z}})}$$ где $${\displaystyle f(u)=\cos(u)+\cosh(u)}$$

Заказать 1/3

$${\displaystyle f({\sqrt[{3}]{z}})}$$где $${\displaystyle f(u)=e^{u}+e^{\omega u}+e^{\omega ^{2}u}=e^{u}+2e^{-{\frac {u}{2}}}\cos \left({\frac {{\sqrt {3}}u}{2}}\right),\quad {\text{with }}\omega {\text{ a complex cube root of 1}}.}$$

Заказать 1/2

$${\displaystyle \cos \left(a{\sqrt {z}}\right)}$$с (для которого тип задан как ) ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \sigma =|a|}$

Заказать 1

• ${\displaystyle \exp(az)}$с ( ) ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \sigma =|a|}$
• ${\displaystyle \sin(z)}$
• ${\displaystyle \cosh(z)}$
• функции Бесселя и сферические функции Бесселя для целых значений ^[2] ${\displaystyle J_{n}(z)}$ ${\displaystyle j_{n}(z)}$ ${\displaystyle n}$
• обратная гамма-функция ( бесконечна) ${\displaystyle 1/\Gamma (z)}$ ${\displaystyle \sigma }$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n\ln n)^{n}}}.\quad (\sigma =0)}$

Заказать 3/2

• Функция Эйри ${\displaystyle Ai(z)}$

Заказать 2

• ${\displaystyle \exp(az^{2})}$с ( ) ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle \sigma =|a|}$
• G-функция Барнса ( бесконечна ). ${\displaystyle \sigma }$

Заказать бесконечность

• ${\displaystyle \exp(\exp(z))}$

Род

Целые функции конечного порядка имеют каноническое представление Адамара ( теорема факторизации Адамара ):

$${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{z_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{z_{n}}}+\cdots +{\frac {1}{p}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{p}\right),}$$

где — те корни , которые не равны нулю ( ), — порядок нуля при ( под этим подразумевается случай ), многочлен (степень которого мы будем называть ), а — наименьшее неотрицательное целое число, такое, что ряд ${\displaystyle z_{k}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{k}\neq 0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle f(0)\neq 0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|z_{n}|^{p+1}}}}$$

сходится. Неотрицательное целое число называется родом всей функции . ${\displaystyle g=\max\{p,q\}}$ ${\displaystyle f}$

Если порядок не является целым числом, то — целая часть числа . Если порядок является положительным целым числом, то возможны две возможности: или . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g=[\rho ]}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g=\rho -1}$ ${\displaystyle g=\rho }$

Например, и являются целыми функциями рода . ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle g=\rho =1}$

Другие примеры

Согласно JE Littlewood , сигма-функция Вейерштрасса является «типичной» целой функцией. Это утверждение можно уточнить в теории случайных целых функций: асимптотическое поведение почти всех целых функций похоже на асимптотическое поведение сигма-функции. Другие примеры включают интегралы Френеля , тета-функцию Якоби и обратную гамма-функцию . Экспоненциальная функция и функция ошибок являются частными случаями функции Миттаг-Леффлера . Согласно фундаментальной теореме Пэли и Винера , преобразования Фурье функций (или распределений) с ограниченным носителем являются целыми функциями порядка и конечного типа. ${\displaystyle 1}$

Другие примеры — решения линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами. Если коэффициент при старшей производной постоянен, то все решения таких уравнений являются целыми функциями. Например, экспоненциальная функция, синус, косинус, функции Эйри и функции параболического цилиндра возникают таким образом. Класс целых функций замкнут относительно композиций. Это позволяет изучать динамику целых функций .

Например, целая функция квадратного корня комплексного числа является целой, если исходная функция четная . ${\displaystyle \cos({\sqrt {z}})}$

Если последовательность многочленов, все корни которых действительны, сходится в окрестности начала координат к пределу, который не равен тождественно нулю, то этот предел является целой функцией. Такие целые функции образуют класс Лагерра–Полиа , который также может быть охарактеризован в терминах произведения Адамара, а именно, принадлежит этому классу тогда и только тогда, когда в представлении Адамара все действительны, , и , где и действительны, и . Например, последовательность многочленов ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z_{n}}$ ${\displaystyle \rho \leq 1}$ ${\displaystyle P(z)=a+bz+cz^{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c\leq 0}$

$${\displaystyle \left(1-{\frac {(z-d)^{2}}{n}}\right)^{n}}$$

сходится, по мере увеличения, к . Многочлены ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \exp(-(z-d)^{2})}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\left(1+{\frac {iz}{n}}\right)^{n}+\left(1-{\frac {iz}{n}}\right)^{n}\right)}$$

имеют все действительные корни и сходятся к . Многочлены ${\displaystyle \cos(z)}$

$${\displaystyle \prod _{m=1}^{n}\left(1-{\frac {z^{2}}{\left(\left(m-{\frac {1}{2}}\right)\pi \right)^{2}}}\right)}$$

также сходятся к , показывая нарастание произведения Адамара для косинуса. ${\displaystyle \cos(z)}$

Смотрите также

• Формула Йенсена
• Теорема Карлсона
• Экспоненциальный тип
• Теорема Пэли–Винера
• Теория Вимана-Валирона

Примечания

1. При необходимости логарифм нуля принимается равным минус бесконечности.
2. Например, если действительная часть известна на части единичной окружности, то она известна на всей единичной окружности посредством аналитического продолжения , и тогда коэффициенты бесконечного ряда определяются из коэффициентов ряда Фурье для действительной части на единичной окружности.
3. Теорему Лиувилля можно использовать для элегантного доказательства основной теоремы алгебры .
4. Сфера Римана — это вся комплексная плоскость, дополненная одной точкой на бесконечности.
5. Обратное также верно, так как для любого многочлена степени неравенство выполняется для любого ${\textstyle p(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle |p(z)|\leq \left(\ \sum _{k=0}^{n}|a_{k}|\ \right)|z|^{n}}$ ${\displaystyle |z|\geq 1~.}$

Ссылки

1. Боас 1954, стр. 1.
2. См. асимптотическое разложение в Abramowitz and Stegun, стр. 377, 9.7.1.

Источники

• Боас, Ральф П. (1954). Целые функции . Academic Press . ISBN 9780080873138. OCLC  847696.
• Левин, Б. Я. (1980) [1964]. Распределение нулей целых функций . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4505-9.
• Левин, Б. Я. (1996). Лекции по целым функциям . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-0897-9.