Цены на Мартингейл

Мартингейл ценообразование – это подход к ценообразованию, основанный на понятиях мартингейла и нейтральности риска . Подход к ценообразованию по мартингейлу является краеугольным камнем современных количественных финансов и может применяться к различным деривативным контрактам, например, опционам , фьючерсам , процентным деривативам , кредитным деривативам и т. д.

В отличие от подхода PDE к ценообразованию, формулы ценообразования мартингейла имеют форму ожиданий, которые можно эффективно решить численно с использованием метода Монте-Карло . Таким образом, ценообразование по мартингейлу является предпочтительным при оценке крупноразмерных контрактов, таких как корзина опционов. С другой стороны, оценка контрактов в американском стиле затруднительна и требует дискретизации проблемы (чтобы сделать ее похожей на бермудский опцион ), и только в 2001 году Ф.А. Лонгстафф и Э.С. Шварц разработали практический метод Монте-Карло для оценки американских опционов. ^[1]

Представление теории меры

Предположим, что состояние рынка может быть представлено отфильтрованным вероятностным пространством , . Пусть на этом пространстве происходит стохастический ценовой процесс. Можно оценить производную ценную бумагу, руководствуясь философией отсутствия арбитража, как: ${\displaystyle (\Omega ,({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]},{\tilde {\mathbb {P} }})}$ ${\displaystyle \{S(t)\}_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle V(t,S(t))}$

${\displaystyle D(t)V(t,S(t))={\tilde {\mathbb {E} }}[D(T)V(T,S(T))|{\mathcal {F}}_{t}],\qquad dD(t)=-r(t)D(t)\ dt}$

Где риск -нейтральная мера . ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {P} }}}$

${\displaystyle (r(t))_{t\in [0,T]}}$представляет собой измеримый (безрисковый, возможно, стохастический) процесс процентных ставок. ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$

Это достигается за счет почти навернякаго воспроизведения временной выгоды дериватива с использованием только базовых ценных бумаг и безрискового денежного рынка (MMA). Эти базовые активы имеют наблюдаемые и известные цены. В частности, человек строит портфельный процесс в непрерывном времени, где он каждый раз держит акции базовых акций и получает наличные, зарабатывая безрисковую ставку . Портфель подчиняется стохастическому дифференциальному уравнению ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \{X(t)\}_{t\in [0,T]}}$ ${\displaystyle \Delta (t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X(t)-\Delta (t)S(t)}$ ${\displaystyle r(t)}$

${\displaystyle dX(t)=\Delta (t)\ dS(t)+r(t)(X(t)-\Delta (t)S(t))\ dt}$

Затем можно попытаться применить теорему Гирсанова , сначала вычислив ; то есть производная Радона – Никодима относительно наблюдаемого рыночного распределения вероятностей. Это гарантирует, что процесс репликации портфеля со скидкой является мартингейлом в нейтральных к риску условиях. ${\displaystyle {\frac {d{\tilde {\mathbb {P} }}}{d\mathbb {P} }}}$

Если такой процесс может быть четко определен и построен, то выбор приведет к , что немедленно означает, что это произойдет - почти наверняка , поскольку эти две меры эквивалентны. ${\displaystyle \Delta (t)}$ ${\displaystyle V(0,S(0))=X(0)}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathbb {P} }}[X(T)=V(T)]=1}$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Смотрите также

• Броуновская модель финансовых рынков
• Мартингейл (теория вероятностей)

Рекомендации

1. Лонгстафф, ФА; Шварц, ЕС (2001). «Оценка американских опционов с помощью моделирования: простой метод наименьших квадратов». Обзор финансовых исследований . 14 : 113–148. CiteSeerX  10.1.1.155.3462 . дои : 10.1093/rfs/14.1.113. Архивировано из оригинала 16 октября 2009 г. Проверено 8 октября 2011 г.