Цена безразличия

В финансах безразличное ценообразование — это метод ценообразования финансовых ценных бумаг с учетом функции полезности . Безразличная цена также известна как резервная цена или частная оценка . В частности, безразличная цена — это цена , по которой агент имел бы тот же ожидаемый уровень полезности , осуществляя финансовую транзакцию , что и не делая ее (при оптимальной торговле в противном случае). Обычно безразличная цена — это ценовой диапазон ( спред между ценой покупки и продажи ) для конкретного агента; этот ценовой диапазон является примером границ хорошей сделки . ^[1]

Математика

При наличии функции полезности и требования с известными выплатами в некоторый конечный момент времени пусть функция будет определена как ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle C_{T}}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle V:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle V(x,k)=\sup _{X_{T}\in {\mathcal {A}}(x)}\mathbb {E} \left[u\left(X_{T}+kC_{T}\right)\right]}$,

где — начальный вклад, — набор всех самофинансируемых портфелей в момент времени , начиная с вклада , и — количество требований, которые будут куплены (или проданы). Тогда цена спроса безразличия для единиц — это решение , а цена спроса безразличия — это решение . Граница цены безразличия — это диапазон . ^[2] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}(x)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v^{b}(k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C_{T}}$ ${\displaystyle V(x-v^{b}(k),k)=V(x,0)}$ ${\displaystyle v^{a}(k)}$ ${\displaystyle V(x+v^{a}(k),-k)=V(x,0)}$ ${\displaystyle \left[v^{b}(k),v^{a}(k)\right]}$

Пример

Рассмотрим рынок с безрисковым активом с и , а также рискованный актив с и каждый с вероятностью . Пусть ваша функция полезности задана как . Чтобы найти цену безразличия спроса или предложения для одного европейского опциона колл со страйком 110, сначала вычислите . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B_{0}=100}$ ${\displaystyle B_{T}=110}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{0}=100}$ ${\displaystyle S_{T}\in \{90,110,130\}}$ ${\displaystyle 1/3}$ ${\displaystyle u(x)=1-\exp(-x/10)}$ ${\displaystyle V(x,0)}$

${\displaystyle V(x,0)=\max _{\alpha B_{0}+\beta S_{0}=x}\mathbb {E} [1-\exp(-.1\times (\alpha B_{T}+\beta S_{T}))]}$

${\displaystyle =\max _{\beta }\left[1-{\frac {1}{3}}\left[\exp \left(-{\frac {1.10x-20\beta }{10}}\right)+\exp \left(-{\frac {1.10x}{10}}\right)+\exp \left(-{\frac {1.10x+20\beta }{10}}\right)\right]\right]}$.

Который максимизируется, когда , следовательно . ${\displaystyle \beta =0}$ ${\displaystyle V(x,0)=1-\exp \left(-{\frac {1.10x}{10}}\right)}$

Теперь, чтобы найти цену безразличия, решим уравнение ${\displaystyle V(x-v^{b}(1),1)}$

${\displaystyle V(x-v^{b}(1),1)=\max _{\alpha B_{0}+\beta S_{0}=x-v^{b}(1)}\mathbb {E} [1-\exp(-.1\times (\alpha B_{T}+\beta S_{T}+C_{T}))]}$

${\displaystyle =\max _{\beta }\left[1-{\frac {1}{3}}\left[\exp \left(-{\frac {1.10(x-v^{b}(1))-20\beta }{10}}\right)+\exp \left(-{\frac {1.10(x-v^{b}(1))}{10}}\right)+\exp \left(-{\frac {1.10(x-v^{b}(1))+20\beta +20}{10}}\right)\right]\right]}$

Который максимизируется, когда , следовательно . ${\displaystyle \beta =-{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle V(x-v^{b}(1),1)=1-{\frac {1}{3}}\exp(-1.10x/10)\exp(1.10v^{b}(1)/10)\left[1+2\exp(-1)\right]}$

Поэтому, когда . ${\displaystyle V(x,0)=V(x-v^{b}(1),1)}$ ${\displaystyle v^{b}(1)={\frac {10}{1.1}}\log \left({\frac {3}{1+2\exp(-1)}}\right)\approx 4.97}$

Аналогично решаем, чтобы найти цену безразличия. ${\displaystyle v^{a}(1)}$

Смотрите также

• Готовность платить
• Готовность принять

Примечания

• Если являются границами цены безразличия для иска, то по определению . ^[2] ${\displaystyle \left[v^{b}(k),v^{a}(k)\right]}$ ${\displaystyle v^{b}(k)=-v^{a}(-k)}$
• Если — это цена предложения безразличия для иска, а — это цена суперхеджирования и цена субхеджирования соответственно, то . Таким образом, на полном рынке цена безразличия всегда равна цене хеджирования иска. ${\displaystyle v(k)}$ ${\displaystyle v^{sup}(k),v^{sub}(k)}$ ${\displaystyle v^{sub}(k)\leq v(k)\leq v^{sup}(k)}$

Ссылки

1. Джон Р. Бирдж (2008). Финансовый инжиниринг . Elsevier. С. 521–524. ISBN 978-0-444-51781-4.
2. Carmona, Rene (2009). Безразличное ценообразование: теория и применение . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-13883-1.