Цент — логарифмическая единица измерения музыкальных интервалов . Двенадцатитоновая равнотемперация делит октаву на 12 полутонов по 100 центов каждый. Обычно центы используются для выражения небольших интервалов, для проверки интонации или для сравнения размеров сопоставимых интервалов в разных системах настройки . Для людей один цент слишком мал, чтобы его можно было воспринимать между последовательными нотами.
Центы, как их описал Александр Джон Эллис , следуют традиции измерения интервалов с помощью логарифмов , которая началась с Хуана Карамуэля-и-Лобковица в 17 веке. [a] Эллис решил основывать свои измерения на сотой доле полутона, 1200 √ 2 , по предложению Роберта Холфорда Макдауэлла Бозанкета . Проводя обширные измерения музыкальных инструментов со всего мира, Эллис использовал центы, чтобы сообщить и сравнить используемые шкалы, [1] и далее описал и использовал систему в своем издании 1875 года « О ощущениях тона» Германа фон Гельмгольца . Это стало стандартным методом представления и сравнения музыкальных тонов и интервалов. [2] [3]
Статья Александра Джона Эллиса «О музыкальных гаммах разных народов» , [1] опубликованная в Журнале Общества искусств в 1885 году, официально представила систему центов, которая будет использоваться при изучении путем сравнения и сопоставления музыкальных гамм различных народов. Система центов уже была определена в его «Истории музыкальной высоты звука» , где Эллис пишет: «Если бы мы предположили, что между каждой парой соседних нот, образующих равный полутон [...], было бы вставлено 99 других нот, образующих точно равные интервалами друг с другом, мы должны разделить октаву на 1200 равных сотен [ sic ] одинакового полутона или центов , как их можно кратко назвать». [4]
Эллис определил высоту музыкальной ноты в своей работе 1880 года « История музыкальной высоты звука» [5] как «количество двойных или полных вибраций вперед и назад, производимых за каждую секунду частицей воздуха, пока нота слышна». [6] Позже он определил музыкальную высоту как «высоту или V [для «двойных вибраций»] любой названной музыкальной ноты, которая определяет высоту всех остальных нот в определенной системе строя». [7] Он отмечает, что эти ноты, когда они звучат последовательно, образуют гамму инструмента, а интервал между любыми двумя нотами измеряется «отношением меньшего номера тона к большему или дробью, образованной путем деления чем больше, тем меньше». [8] Абсолютный и относительный шаг также определялся на основе этих соотношений. [8]
Эллис отметил, что «цель тюнера состоит в том, чтобы сделать интервал [...] между любыми двумя нотами, отвечающими на любые две соседние клавиши пальца по всему инструменту, абсолютно одинаковым. Результат называется равной темперацией или настройкой, и является ли система в настоящее время используется по всей Европе. [9] Далее он приводит расчеты для приблизительного измерения соотношения в центах, добавляя, что «как правило, нет необходимости выходить за пределы ближайшего целого числа центов». [10]
В этой статье Эллис представляет применение системы центов на музыкальных гаммах различных народов, в том числе: (I. Гептатонические гаммы) Древняя Греция и Современная Европа, [11] Персия, Аравия, Сирия и Шотландское нагорье, [12] Индия, [ 13] Сингапур, [14] Бирма [15] и Сиам; [16] (II. Пентатонические гаммы) Южная часть Тихого океана, [17] Западная Африка, [18] Ява, [19] Китай [20] и Япония. [21] И он приходит к выводу, что «Музыкальная гамма не едина, не «естественна» и даже не основана обязательно на законах строения музыкального звука, так прекрасно разработанных Гельмгольцем, а очень разнообразна, очень искусственна, и очень капризен». [22]
Цент — единица измерения отношения двух частот. Равномерный полутон (интервал между двумя соседними клавишами фортепиано) по определению составляет 100 центов . Октава — две ноты с соотношением частот 2:1 — охватывает двенадцать полутонов и, следовательно, 1200 центов . Отношение частот с разницей в один цент в точности равно 2 1 ⁄ 1200 = 1200 √ 2 , корню 1200-й степени из 2, что примерно равно1.000 577 7895 . Таким образом, повышение частоты на один цент соответствует умножению исходной частоты на это постоянное значение. Увеличение частоты на 1200 центов удваивает частоту, в результате чего получается октава.
Если известны частоты двух нот, то количество центов, измеряющих интервал от до, равно:
Аналогично, если известно и количество центов в интервале от до , то равно:
Большая терция в чистой интонации имеет соотношение частот 5:4 или ~386 центов, а в равнотемперированной - 400 центов. Эта разница в 14 центов составляет примерно седьмую полшага и достаточно велика, чтобы ее можно было услышать.
При увеличении x от 0 до 1 ⁄ 12 функция 2 x возрастает почти линейно от1.000 00 до1,059 46 с учетом кусочно-линейной аппроксимации . Таким образом, хотя центы представляют собой логарифмическую шкалу, небольшие интервалы (менее 100 центов) можно приблизительно аппроксимировать линейным соотношением 1 + 0,000 5946 вместо истинного показательного соотношения 2 c ⁄ 1200 . Ошибка округления равна нулю, когда равна 0 или 100, и составляет всего около 0,72 цента при = 50 (чье правильное значение составляет 2 1 ⁄ 24 ≅ 1,029 30 аппроксимируется 1 + 0,000 5946 × 50 ≅ 1,02973). Эта погрешность значительно ниже всего, что может услышать человек, что делает эту кусочно-линейную аппроксимацию адекватной для большинства практических целей.
Трудно установить, сколько центов воспринимается человеком; эта точность сильно варьируется от человека к человеку. Один автор заявил, что люди могут различать разницу в высоте звука примерно в 5–6 центов. [23] Порог чувствительности, технически известный как едва заметная разница (JND), также варьируется в зависимости от частоты, амплитуды и тембра . В одном исследовании изменения в качестве звука снизили способность студентов-музыкантов распознавать расстроенные высоты звука, которые отклонялись от соответствующих значений на ± 12 центов. [24] Также было установлено, что усиление тонального контекста позволяет слушателям более точно судить о высоте звука. [25] «Хотя интервалы менее нескольких центов незаметны для человеческого уха в мелодическом контексте, в гармонии очень небольшие изменения могут вызвать большие изменения в долях и шероховатость аккордов». [26]
Есть свидетельства того, что при прослушивании высоты звука с вибрато люди воспринимают среднюю частоту как центр высоты звука. [27] Одно исследование современного исполнения «Аве Марии» Шуберта показало, что диапазон вибрато обычно колеблется от ± 34 центов до ± 123 центов со средним значением ± 71 цент, и отметило более высокие вариации в оперных ариях Верди . [28]
Нормальные взрослые способны очень надежно распознавать разницу в высоте звука всего в 25 центов. Однако взрослым с амузией трудно распознавать различия менее 100 центов, а иногда возникают проблемы с этими или более крупными интервалами. [29]
Представление музыкальных интервалов логарифмами почти так же старо, как и сами логарифмы. Логарифмы были изобретены лордом Нэпьером в 1614 году. [30] Еще в 1647 году Хуан Карамуэль-и-Лобковиц (1606-1682) в письме Афанасию Кирхеру описал использование логарифмов с основанием 2 в музыке. [31] В этой базе октава обозначается 1, полутон — 1/12 и т. д.
Жозеф Совер в своей книге «Принципы акустики и музыки» 1701 года предложил использовать логарифмы с основанием 10, вероятно, потому, что были доступны таблицы. Он использовал логарифмы, вычисляемые с тремя десятичными знаками. Логарифм 2 по основанию 10 равен примерно 0,301, который Совер умножает на 1000, чтобы получить 301 единицу в октаве. Чтобы работать с более управляемыми единицами, он предлагает взять 7/301, чтобы получить единицы 1/43 октавы. [b] Таким образом, октава разделена на 43 части, называемые «меридами», которые сами разделены на 7 частей, «гептамериды». Совер также предполагал возможность дальнейшего разделения каждого гептамерида на 10, но на самом деле не использовал такие микроскопические единицы. [32]
Феликс Савар (1791–1841) перенял систему Совера, не ограничивая количество десятичных знаков логарифма 2, так что значение его единицы варьируется в зависимости от источников. С пятью десятичными знаками десятичный логарифм числа 2 равен 0,30103, что дает 301,03 саварта в октаве. [33] Это значение часто округляется до 1/301 или до 1/300 октавы. [34] [35]
В начале 19 века Гаспар де Прони предложил логарифмическую единицу основания , где единица соответствует полутону равной темперации. [36] Александр Джон Эллис в 1880 году описывает большое количество стандартов высоты звука, которые он отметил или рассчитал, указав в прони с двумя десятичными знаками, т.е. с точностью до 1/100 полутона, [37] интервал, отделяющий их от теоретический шаг 370 Гц, принятый за точку отсчета. [38]
Сантитон (также Iring ) — музыкальный интервал (2 1/600 , ), равный двум центам (2 2/1200 ) [ 39] [ 40] , предложенный в качестве единицы измерения ( Play) Видогастом Ирингом в Die reine Stimmung in der Musik (1898) как 600 шагов на октаву , а позже Джозефом Ясером в «Теории развития тональности» (1932) как 100 шагов на один равный темперированный целый тон .
Иринг заметил, что Град/Веркмейстер (1,96 цента, 12 на пифагорейскую запятую ) и раскол (1,95 цента) почти одинаковы (≈ 614 шагов на октаву), и оба могут быть аппроксимированы 600 шагами на октаву (2 цента). [41] Яссер продвигал децитон , сантитон и миллитон (10, 100 и 1000 шагов на целый тон = 60, 600 и 6000 шагов на октаву = 20, 2 и 0,2 цента). [42] [43]
Например: равная темперированная чистая пятая = 700 центов = 175,6 саваров = 583,3 миллиоктавы = 350 сентитонов. [44]
Следующие аудиофайлы воспроизводятся с различными интервалами. В каждом случае первой сыгранной нотой является средняя нота «до». Следующая нота выше «до» на присвоенное значение в центах. Наконец, две ноты играются одновременно.
Обратите внимание, что JND для разницы высоты звука составляет 5–6 центов. При исполнении по отдельности ноты могут не проявлять заметной разницы, но при их совместном исполнении могут быть слышны биения (например, если звучат средняя до и нота на 10 центов выше). В любой конкретный момент две формы сигналов в большей или меньшей степени усиливают или нейтрализуют друг друга, в зависимости от их мгновенного фазового соотношения. Настройщик фортепиано может проверить точность настройки, определяя время ударов при одновременном звучании двух струн.
ⓘ , частота ударов = 0,16 Гц.
ⓘ , частота ударов = 1,53 Гц.
ⓘ , частота битов = 3,81 Гц.
![{\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc835f27425fb3140e1f75a5faa35b1e8b9efc35)
![{\displaystyle {\sqrt[{600}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea43c0bc8f62081f2f0b830dd7da893a9d97a9a9)
{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )Пропорции интервалов можно преобразовать в значения центов, которые широко используются сегодня.
{{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )