Центральная линия (геометрия)

Геометрическое свойство некоторых линий относительно данного треугольника

В геометрии центральные линии — это определенные специальные прямые линии , которые лежат в плоскости треугольника . Специальное свойство, отличающее прямую линию как центральную линию , проявляется через уравнение линии в трилинейных координатах . Это специальное свойство также связано с понятием центра треугольника . Понятие центральной линии было введено Кларком Кимберлингом в статье, опубликованной в 1994 году. ^{[1] [2]}

Определение

Пусть △ ABC — плоский треугольник, а x  : y  : z — трилинейные координаты произвольной точки в плоскости треугольника △ ABC .

Прямая линия в плоскости △ ABC , уравнение которой в трилинейных координатах имеет вид , где точка с трилинейными координатами является центром треугольника, является центральной линией в плоскости △ ABC относительно △ ABC . ^{[2] [3] [4]} $${\displaystyle f(a,b,c)\,x+g(a,b,c)\,y+h(a,b,c)\,z=0}$$ $${\displaystyle f(a,b,c):g(a,b,c):h(a,b,c)}$$

Центральные линии как трилинейные поляры

Геометрическую связь между центральной линией и связанным с ней центром треугольника можно выразить с помощью понятий трилинейных поляр и изогональных сопряжений .

Пусть будет центром треугольника. Прямая, уравнение которой есть, является трилинейной полярой центра треугольника X. ^{[2] [5]} Также точка является изогональной сопряженной точкой центра треугольника X. ${\displaystyle X=u(a,b,c):v(a,b,c):w(a,b,c)}$ $${\displaystyle {\frac {x}{u(a,b,c)}}+{\frac {y}{v(a,b,c)}}+{\frac {z}{w(a,b,c)}}=0}$$ $${\displaystyle Y={\frac {1}{u(a,b,c)}}:{\frac {1}{v(a,b,c)}}:{\frac {1}{w(a,b,c)}}}$$

Таким образом, центральная линия, заданная уравнением, является трилинейной полярой изогонального сопряжения центра треугольника. $${\displaystyle f(a,b,c)\,x+g(a,b,c)\,y+h(a,b,c)\,z=0}$$ ${\displaystyle f(a,b,c):g(a,b,c):h(a,b,c).}$

Строительство центральных линий

Пусть X — любой центр треугольника △ ABC .

• Начертите линии AX, BX, CX и их отражения относительно внутренних биссектрис углов в вершинах A, B, C соответственно.
• Отраженные линии пересекаются , а точка их пересечения является изогональной сопряженной прямой Y прямой X.
• Пусть чевианы AY, BY, CY пересекают противоположные стороны △ ABC в точках A', B', C' соответственно. Треугольник △ A'B'C' является чевианским треугольником Y .
• △ ABC и чевиан треугольник △ A'B'C' находятся в перспективе, и пусть DEF будет осью перспективы двух треугольников. Линия DEF является трилинейной полярой точки Y. DEF является центральной линией , связанной с центром треугольника X.

Некоторые названные центральные линии

Пусть X _n будет n-м центром треугольника в «Энциклопедии центров треугольников » Кларка Кимберлинга . Центральная линия, связанная с X _{n ,} обозначается как L _n . Некоторые из названных центральных линий приведены ниже.

Антиортическая ось как ось перспективы △ ABC и его внецентренного треугольника.

Центральная линия, связанная сХ1, инцентр: антиортотическая ось

Центральная линия, связанная с инцентром X ₁ = 1 : 1 : 1 (также обозначается как I ), является Эта линия является антиортической осью △ ABC . ^[6] $${\displaystyle x+y+z=0.}$$

• Изогональное сопряжение инцентра △ ABC является самим инцентром. Таким образом, антиортотическая ось, которая является центральной линией, связанной с инцентром, является осью перспективности △ ABC и его инцентрального треугольника (чевианского треугольника инцентра △ ABC ).
• Антиортическая ось △ ABC является осью перспективы △ ABC и внецентрального треугольника △ I ₁ I ₂ I 3 _{треугольника} △ ABC . ^[7 ]
• Треугольник, боковые линии которого касаются внешним образом вневписанных окружностей треугольника △ ABC , является треугольником вневписанных окружностей треугольника △ ABC . Треугольник △ ABC и его треугольник вневписанных окружностей находятся в перспективе, а ось перспективы является осью антиорты треугольника △ ABC .

Центральная линия, связанная сХ2, центроид: ось Лемуана

Трилинейные координаты центроида X 2 ₍ также обозначаемого как G ) треугольника △ ABC таковы: Таким образом, центральная линия, связанная с центроидом, — это линия, трилинейное уравнение которой имеет вид Эта линия является осью Лемуана , также называемой линией Лемуана треугольника △ ABC . $${\displaystyle {\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}}$$ $${\displaystyle {\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=0.}$$

• Изогональное сопряжение центроида X ₂ — это симедианная точка X ₆ (также обозначаемая K ), имеющая трилинейные координаты a  : b  : c . Таким образом, ось Лемуана △ ABC является трилинейной полярой симедианной точки △ ABC .
• Тангенциальный треугольник треугольника △ ABC — это треугольник △ T _A T _B T _C, образованный касательными к описанной окружности треугольника △ ABC в его вершинах. △ ABC и его тангенциальный треугольник находятся в перспективе, а осью перспективы является ось Лемуана треугольника △ ABC .

Центральная линия, связанная сХ3, центр окружности: ось ортоса

Трилинейные координаты центра описанной окружности X ₃ (также обозначаемого O ) треугольника △ ABC следующие: Таким образом, центральная линия, связанная с центром описанной окружности, — это линия, трилинейное уравнение которой имеет вид Эта линия является ортической осью треугольника △ ABC . ^[8] $${\displaystyle \cos A:\cos B:\cos C}$$ $${\displaystyle x\cos A+y\cos B+z\cos C=0.}$$

• Изогональным сопряжением центра описанной окружности X ₃ является ортоцентр X ₄ (также обозначаемый как H ), имеющий трилинейные координаты sec A  : sec B  : sec C . Таким образом, ортоцентр треугольника △ ABC является трилинейной полярой ортоцентра треугольника △ ABC . Ортоцентр треугольника △ ABC является осью перспективы треугольника △ ABC и его ортотреугольника △ H _A H _B H _C . Она также является радикальной осью описанной окружности треугольника и окружности девяти точек.

Центральная линия, связанная сХ4, ортоцентр

Трилинейные координаты ортоцентра X 4 ₍ также обозначаемого как H ) треугольника △ ABC таковы: Таким образом, центральная линия, связанная с центром описанной окружности, — это линия, трилинейное уравнение которой имеет вид $${\displaystyle \sec A:\sec B:\sec C}$$ $${\displaystyle x\sec A+y\sec B+z\sec C=0.}$$

• Изогональное сопряжение ортоцентра треугольника — это центр описанной окружности треугольника. Таким образом, центральная линия, связанная с ортоцентром, является трилинейной полярой центра описанной окружности.

Центральная линия, связанная сХ5, девятиточечный центр

Трилинейные координаты центра девяти точек X ₅ (также обозначаемого N ) треугольника △ ABC следующие: ^[9] Таким образом, центральная линия, связанная с центром девяти точек, — это линия, трилинейное уравнение которой имеет вид $${\displaystyle \cos(B-C):\cos(C-A):\cos(A-B).}$$ $${\displaystyle x\cos(B-C)+y\cos(C-A)+z\cos(A-B)=0.}$$

• Изогональным сопряжением центра девяти точек △ ABC является точка Коснита X ₅₄ △ ABC . ^{[10] [11] Таким образом, центральная линия} , связанная с центром девяти точек, является трилинейной полярой точки Коснита.
• Точка Коснита строится следующим образом. Пусть O будет центром описанной окружности треугольника △ ABC . Пусть O _A , O _B , O _C будут центрами описанных окружностей треугольников △ BOC , △ COA , △ AOB соответственно. Прямые AO _A , BO _B , CO _C пересекаются в одной точке, а точка их пересечения является точкой Коснита треугольника △ ABC . Название получено благодаря Дж. Ригби. ^[12]

Центральная линия, связанная сХ6, точка симедианы: Линия в бесконечности

Трилинейные координаты симедианной точки X ₆ (также обозначаемой K ) треугольника △ ABC таковы: Таким образом, центральная линия, связанная с симедианной точкой, — это линия, трилинейное уравнение которой имеет вид $${\displaystyle a:b:c}$$ $${\displaystyle ax+by+cz=0.}$$

• Эта линия является линией бесконечности в плоскости △ ABC .
• Изогональное сопряжение точки симедианы △ ABC является центроидом △ ABC . Следовательно, центральная линия, связанная с точкой симедианы, является трилинейной полярой центроида. Это ось перспективы △ ABC и его срединного треугольника .

Еще несколько названных центральных линий

линия Эйлера

Прямая Эйлера треугольника △ ABC — это прямая, проходящая через центроид, центр описанной окружности, ортоцентр и центр девяти точек треугольника △ ABC . Трилинейное уравнение прямой Эйлера — это Это центральная прямая, связанная с центром треугольника X ₆₄₇ . $${\displaystyle x\sin 2A\sin(B-C)+y\sin 2B\sin(C-A)+z\sin 2C\sin(A-B)=0.}$$

линия Нагеля

Линия Нагеля треугольника △ ABC — это линия, проходящая через центроид, инцентр, центр Шпикера и точку Нагеля треугольника △ ABC . Трилинейное уравнение линии Нагеля — это Это центральная линия, связанная с центром треугольника X ₆₄₉ . $${\displaystyle xa(b-c)+yb(c-a)+zc(a-b)=0.}$$

ось Брокара

Ось Брокара треугольника △ ABC — это прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку симедианы треугольника △ ABC . Ее трилинейное уравнение имеет вид Это центральная прямая, связанная с центром треугольника X ₅₂₃ . $${\displaystyle x\sin(B-C)+y\sin(C-A)+z\sin(A-B)=0.}$$

Смотрите также

• Трилинейная полярность
• Треугольный конический
• Современная треугольная геометрия

Ссылки

1. Кимберлинг, Кларк (июнь 1994 г.). «Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника». Mathematics Magazine . 67 (3): 163–187. doi :10.2307/2690608.
2. Кимберлинг, Кларк (1998). Центры треугольников и центральные треугольники. Виннипег, Канада: Utilitas Mathematica Publishing, Inc. стр. 285.
3. Weisstein, Eric W. "Central Line". Из MathWorld--A Wolfram Web Resource . Получено 24 июня 2012 г.
4. Кимберлинг, Кларк. "Глоссарий: Энциклопедия центров треугольников". Архивировано из оригинала 23 апреля 2012 г. Получено 24 июня 2012 г.
5. Weisstein, Eric W. "Trilinear Polar". Из MathWorld--A Wolfram Web Resource . Получено 28 июня 2012 г.
6. Weisstein, Eric W. "Antiorthic Axis". Из MathWorld--A Wolfram Web Resource . Получено 28 июня 2012 г.
7. Weisstein, Eric W. "Antiorthic Axis". Из MathWorld--A Wolfram Web Resource . Получено 26 июня 2012 г.
8. Weisstein, Eric W. "Orthic Axis". Из MathWorld--A Wolfram Web Resource .
9. Weisstein, Eric W. "Nine-Point Center". Из MathWorld--A Wolfram Web Resource . Получено 29 июня 2012 г.
10. Weisstein, Eric W. "Kosnita Point". Из MathWorld--A Wolfram Web Resource . Получено 29 июня 2012 г.
11. Дарий Гринберг (2003). «О точке Коснита и треугольнике отражения» (PDF) . Forum Geometricorum . 3 : 105–111 . Получено 29 июня 2012 г.
12. Дж. Ригби (1997). «Краткие заметки о некоторых забытых геометрических теоремах». Mathematics & Informatics Quarterly . 7 : 156–158.