Центральный момент

Момент случайной величины минус ее среднее значение

В теории вероятностей и статистике центральный момент — это момент распределения вероятностей случайной величины относительно среднего значения случайной величины ; то есть это ожидаемое значение заданной целочисленной степени отклонения случайной величины от среднего значения. Различные моменты образуют один набор значений, с помощью которого можно полезно охарактеризовать свойства распределения вероятностей. Центральные моменты используются вместо обычных моментов, вычисляемых в терминах отклонений от среднего значения, а не от нуля, потому что центральные моменты более высокого порядка относятся только к разбросу и форме распределения, а не также к его местоположению .

Наборы центральных моментов могут быть определены как для одномерных, так и для многомерных распределений.

Одномерные моменты

N -й момент относительно среднего ( или n- й центральный момент ) действительной случайной величины X есть величина μ _n  := E[( X  − E[ X ]) ⁿ ], где E есть оператор ожидания . Для непрерывного одномерного распределения вероятностей с функцией плотности вероятности f ( x ) n- й момент относительно среднего μ есть

${\displaystyle \mu _{n}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{n}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{n}f(x)\,\mathrm {d} x.}$^[1]

Для случайных величин, не имеющих среднего значения, таких как распределение Коши , центральные моменты не определены.

Первые несколько центральных моментов имеют интуитивные интерпретации:

• «Нулевой» центральный момент μ ₀ равен 1.
• Первый центральный момент μ ₁ равен 0 (не путать с первым необработанным моментом или ожидаемым значением μ ).
• Второй центральный момент μ ₂ называется дисперсией и обычно обозначается σ ² , где σ представляет собой стандартное отклонение .
• Третий и четвертый центральные моменты используются для определения стандартизированных моментов , которые используются для определения асимметрии и эксцесса соответственно.

Характеристики

Для всех n n -й центральный момент однороден степени n :

${\displaystyle \mu _{n}(cX)=c^{n}\mu _{n}(X).\,}$

Только для таких n , что n равно 1, 2 или 3, мы имеем свойство аддитивности для случайных величин X и Y , которые являются независимыми :

${\displaystyle \mu _{n}(X+Y)=\mu _{n}(X)+\mu _{n}(Y)\,}$при условии, что n ∈ {1, 2, 3} .

Связанный функционал, который разделяет свойства трансляционной инвариантности и однородности с n -м центральным моментом, но продолжает обладать этим свойством аддитивности даже при n  ≥ 4, является n -м кумулянтом κ _n ( X ). Для n  = 1 n -й кумулянт является просто ожидаемым значением ; для n  = 2 или 3 n -й кумулянт является просто n-м центральным моментом; для n  ≥ 4 n-й кумулянт является моническим полиномом n -й степени в первые n моментов (около нуля), а также (более простым) полиномом n -й степени в первые n центральных моментов.

Отношение к моментам о происхождении

Иногда удобно преобразовывать моменты относительно начала координат в моменты относительно среднего. Общее уравнение для преобразования момента n- го порядка относительно начала координат в момент относительно среднего имеет вид

${\displaystyle \mu _{n}=\operatorname {E} \left[\left(X-\operatorname {E} [X]\right)^{n}\right]=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(-1)^{n-j}\mu '_{j}\mu ^{n-j},}$

где μ — среднее значение распределения, а момент относительно начала координат определяется выражением

${\displaystyle \mu '_{m}=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{m}f(x)\,dx=\operatorname {E} [X^{m}]=\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}\mu _{j}\mu ^{m-j}.}$

Для случаев n = 2, 3, 4, которые представляют наибольший интерес из-за связей с дисперсией , асимметрией и эксцессом соответственно, эта формула принимает вид (с учетом того, что и ): ${\displaystyle \mu =\mu '_{1}}$ ${\displaystyle \mu '_{0}=1}$

${\displaystyle \mu _{2}=\mu '_{2}-\mu ^{2}\,}$который обычно называют ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [X^{2}]-\left(\operatorname {E} [X]\right)^{2}}$

${\displaystyle \mu _{3}=\mu '_{3}-3\mu \mu '_{2}+2\mu ^{3}\,}$

${\displaystyle \mu _{4}=\mu '_{4}-4\mu \mu '_{3}+6\mu ^{2}\mu '_{2}-3\mu ^{4}.\,}$

... и так далее, ^[2] следуя треугольнику Паскаля , т.е.

${\displaystyle \mu _{5}=\mu '_{5}-5\mu \mu '_{4}+10\mu ^{2}\mu '_{3}-10\mu ^{3}\mu '_{2}+4\mu ^{5}.\,}$

потому что ${\displaystyle 5\mu ^{4}\mu '_{1}-\mu ^{5}\mu '_{0}=5\mu ^{4}\mu -\mu ^{5}=5\mu ^{5}-\mu ^{5}=4\mu ^{5}}$

Следующая сумма представляет собой стохастическую переменную, имеющую сложное распределение

${\displaystyle W=\sum _{i=1}^{M}Y_{i},}$

где являются взаимно независимыми случайными величинами, имеющими одинаковое общее распределение, и случайной целой величиной, независимой от , имеющей собственное распределение. Моменты получаются как ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle \operatorname {E} [W^{n}]=\sum _{i=0}^{n}\operatorname {E} \left[{M \choose i}\right]\sum _{j=0}^{i}{i \choose j}(-1)^{i-j}\operatorname {E} \left[\left(\sum _{k=1}^{j}Y_{k}\right)^{n}\right],}$

где определяется как ноль для . ${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left(\sum _{k=1}^{j}Y_{k}\right)^{n}\right]}$ ${\displaystyle j=0}$

Симметричные распределения

В распределениях, симметричных относительно своих средних значений (не зависящих от отражения относительно среднего значения), все нечетные центральные моменты равны нулю, когда они существуют, поскольку в формуле для n- го момента каждый член, включающий значение X, меньшее среднего на определенную величину, в точности отменяет член, включающий значение X, большее среднего на ту же величину.

Многовариантные моменты

Для непрерывного двумерного распределения вероятностей с функцией плотности вероятности f ( x , y ) момент ( j , k ) относительно среднего значения μ  = ( μ _X ,  μ _Y ) равен

${\displaystyle \mu _{j,k}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{j}(Y-\operatorname {E} [Y])^{k}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu _{X})^{j}(y-\mu _{Y})^{k}f(x,y)\,dx\,dy.}$

Центральный момент комплексных случайных величин

Центральный момент n для комплексной случайной величины X определяется как ^[3]

${\displaystyle \alpha _{n}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{n}\right],}$

Абсолютный n- й центральный момент X определяется как

${\displaystyle \beta _{n}=\operatorname {E} \left[|(X-\operatorname {E} [X])|^{n}\right].}$

Центральный момент 2-го порядка β 2 _{называется} дисперсией X , тогда как центральный момент 2-го порядка α ₂ является псевдодисперсией X.

Смотрите также

• Стандартизированный момент
• Изображение момента
• Нормальное распределение § Моменты
• Комплексная случайная величина

Ссылки

1. Гримметт, Джеффри; Стирзакер, Дэвид (2009). Вероятность и случайные процессы . Оксфорд, Англия: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-857222-0.
2. «Центральный момент».
3. Эрикссон, Ян; Оллила, Эса; Койвунен, Виса (2009). «Статистика для сложных случайных величин снова». Международная конференция IEEE по акустике, речи и обработке сигналов 2009 г. стр. 3565–3568. doi :10.1109/ICASSP.2009.4960396. ISBN 978-1-4244-2353-8. S2CID  17433817.