Центральный момент

Момент случайной величины минус ее среднее значение

В теории вероятностей и статистике центральный момент — это момент распределения вероятности случайной величины относительно среднего значения случайной величины ; то есть это ожидаемое значение заданной целочисленной степени отклонения случайной величины от среднего значения. Различные моменты образуют один набор значений, с помощью которых можно с пользой охарактеризовать свойства распределения вероятностей. Центральные моменты используются предпочтительнее обычных моментов, вычисляемых с точки зрения отклонений от среднего значения, а не от нуля, поскольку центральные моменты более высокого порядка относятся только к разбросу и форме распределения, а не к его местоположению .

Наборы центральных моментов могут быть определены как для одномерных, так и для многомерных распределений.

Одномерные моменты

N - й момент относительно среднего значения (или n- й центральный момент ) вещественной случайной величины X — это величина µ _n  := E[( X  − E[ X ]) ⁿ ], где E — оператор ожидания . Для непрерывного одномерного распределения вероятностей с функцией плотности вероятности f ( x ) n- й момент относительно среднего значения µ равен

${\displaystyle \mu _{n}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{n}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{n}f(x)\,\mathrm {d} x.}$^[1]

Для случайных величин, не имеющих среднего значения, таких как распределение Коши , центральные моменты не определены.

Первые несколько центральных моментов имеют интуитивную интерпретацию:

• «Нулевой» центральный момент μ ₀ равен 1.
• Первый центральный момент µ ₁ равен 0 (не путать с первым исходным моментом или ожидаемым значением µ ).
• Второй центральный момент µ ₂ называется дисперсией и обычно обозначается σ ² , где σ представляет собой стандартное отклонение .
• Третий и четвертый центральные моменты используются для определения стандартизированных моментов , которые используются для определения асимметрии и эксцесса соответственно.

Характеристики

Для всех n n - й центральный момент однороден степени n :

${\displaystyle \mu _{n}(cX)=c^{n}\mu _{n}(X).\,}$

Только для n , такого, что n равно 1, 2 или 3 , у нас есть свойство аддитивности для независимых случайных величин X и Y :

${\displaystyle \mu _{n}(X+Y)=\mu _{n}(X)+\mu _{n}(Y)\,}$при условии, что n ∈ {1, 2, 3 }.

Родственный функционал, который разделяет свойства трансляционной инвариантности и однородности с n -м центральным моментом, но продолжает обладать этим свойством аддитивности, даже когда n  ≥ 4 является n -м кумулянтом κ _n ( X ). Для n  = 1 n -й кумулянт — это просто ожидаемое значение ; для n  = 2 или 3 n- й кумулянт — это просто n- й центральный момент; для n  ≥ 4 кумулянт n -й степени представляет собой монический полином n -й степени в первые n моментов (около нуля), а также (более простой) полином n -й степени в первые n центральных моментов.

Отношение к моментам о происхождении

Иногда удобно преобразовать моменты начала координат в моменты среднего значения. Общее уравнение для преобразования момента n -го порядка относительно начала координат в момент относительно среднего значения:

${\displaystyle \mu _{n}=\operatorname {E} \left[\left(X-\operatorname {E} [X]\right)^{n}\right]=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(-1)^{n-j}\mu '_{j}\mu ^{n-j},}$

где μ — среднее значение распределения, а момент относительно начала координат определяется выражением

${\displaystyle \mu '_{m}=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{m}f(x)\,dx=\operatorname {E} [X^{m}]=\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}\mu _{j}\mu ^{m-j}.}$

Для случаев n = 2, 3, 4 — которые представляют наибольший интерес из-за отношений к дисперсии , асимметрии и эксцессу соответственно — эта формула принимает вид (отмечая, что и ): ${\displaystyle \mu =\mu '_{1}}$ ${\displaystyle \mu '_{0}=1}$

${\displaystyle \mu _{2}=\mu '_{2}-\mu ^{2}\,}$который обычно называют ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} [X^{2}]-\left(\operatorname {E} [X]\right)^{2}}$

${\displaystyle \mu _{3}=\mu '_{3}-3\mu \mu '_{2}+2\mu ^{3}\,}$

${\displaystyle \mu _{4}=\mu '_{4}-4\mu \mu '_{3}+6\mu ^{2}\mu '_{2}-3\mu ^{4}.\,}$

... и так далее, ^[2] следуя треугольнику Паскаля , т.е.

${\displaystyle \mu _{5}=\mu '_{5}-5\mu \mu '_{4}+10\mu ^{2}\mu '_{3}-10\mu ^{3}\mu '_{2}+4\mu ^{5}.\,}$

потому что ${\displaystyle 5\mu ^{4}\mu '_{1}-\mu ^{5}\mu '_{0}=5\mu ^{4}\mu -\mu ^{5}=5\mu ^{5}-\mu ^{5}=4\mu ^{5}}$

Следующая сумма представляет собой стохастическую переменную, имеющую сложное распределение.

${\displaystyle W=\sum _{i=1}^{M}Y_{i},}$

где являются взаимно независимыми случайными величинами, имеющими одно и то же общее распределение, и случайная целочисленная переменная, независимая от , со своим собственным распределением. Моменты получаются как ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Y_{k}}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle \operatorname {E} [W^{n}]=\sum _{i=0}^{n}\operatorname {E} \left[{M \choose i}\right]\sum _{j=0}^{i}{i \choose j}(-1)^{i-j}\operatorname {E} \left[\left(\sum _{k=1}^{j}Y_{k}\right)^{n}\right],}$

где определяется как ноль для . ${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left(\sum _{k=1}^{j}Y_{k}\right)^{n}\right]}$ ${\displaystyle j=0}$

Симметричные распределения

В распределениях, которые симметричны относительно своих средних значений (на которые не влияет отражение среднего значения), все нечетные центральные моменты равны нулю, когда бы они ни существовали, потому что в формуле для n - го момента каждый член включает значение X , меньшее среднего на определенная сумма точно отменяет член, включающий значение X , превышающее среднее значение на ту же сумму.

Многовариантные моменты

Для непрерывного двумерного распределения вероятностей с функцией плотности вероятности f ( x , y ) момент ( j , k ) относительно среднего значения µ  = ( µ _X ,  µ _Y ) равен

${\displaystyle \mu _{j,k}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{j}(Y-\operatorname {E} [Y])^{k}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu _{X})^{j}(y-\mu _{Y})^{k}f(x,y)\,dx\,dy.}$

Центральный момент комплексных случайных величин

n - й центральный момент для комплексной случайной величины X определяется как ^[3]

${\displaystyle \alpha _{n}=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{n}\right],}$

Абсолютный n- й центральный момент X определяется как

${\displaystyle \beta _{n}=\operatorname {E} \left[|(X-\operatorname {E} [X])|^{n}\right].}$

Центральный момент 2-го порядка β 2 _{называется} дисперсией X , тогда как центральный момент 2-го порядка α ₂ является псевдодисперсией X .

Смотрите также

• Стандартизированный момент
• Момент изображения
• Нормальное распределение § Моменты
• Сложная случайная величина

Рекомендации

1. Гриммет, Джеффри; Стирзакер, Дэвид (2009). Вероятность и случайные процессы . Оксфорд, Англия: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-857222-0.
2. «Центральный момент».
3. Эрикссон, Ян; Оллила, Эса; Койвунен, Виза (2009). «Возвращение к статистике сложных случайных величин». 2009 Международная конференция IEEE по акустике, речи и обработке сигналов . стр. 3565–3568. дои : 10.1109/ICASSP.2009.4960396. ISBN 978-1-4244-2353-8. S2CID  17433817.