В геометрии центр ( британский английский ) или центр ( американский английский ) (от древнегреческого κέντρον ( kéntron ) « заостренный объект») объекта — это точка в некотором смысле в середине объекта. Согласно конкретному определению центра, принятому во внимание, объект может не иметь центра. Если геометрию рассматривать как изучение групп изометрий , то центр — это фиксированная точка всех изометрий, которые перемещают объект на самого себя.
Центром круга является точка , равноудаленная от точек на ребре. Аналогично, центром сферы является точка, равноудаленная от точек на поверхности, а центром отрезка является середина двух концов.
Для объектов с несколькими симметриями центром симметрии является точка, оставшаяся неизменной в результате симметричных действий. Таким образом, центр квадрата , прямоугольника , ромба или параллелограмма — это место пересечения диагоналей, это (помимо других свойств) фиксированная точка вращательной симметрии. Точно так же центр эллипса или гиперболы находится в месте пересечения осей.
Несколько особых точек треугольника часто называют центрами треугольника :
Для равностороннего треугольника это одна и та же точка, которая лежит на пересечении трех осей симметрии треугольника, на одной трети расстояния от его основания до вершины.
Строгое определение центра треугольника — это точка, трилинейные координаты которой равны f ( a , b , c ): f ( b , c , a ): f ( c , a , b ), где f — функция длин треугольника. три стороны треугольника a , b , c такие, что:
Это строгое определение исключает пары бицентрических точек, таких как точки Брокара (которые заменяются зеркальным отражением). По состоянию на 2020 год в Энциклопедии центров треугольников насчитывается более 39 000 различных центров треугольников. [2]
Касательный многоугольник имеет каждую сторону, касающуюся определенной окружности, называемой вписанной окружностью или вписанной окружностью. Центр вписанной окружности, называемый вписанной, можно считать центром многоугольника.
Каждая вершина циклического многоугольника находится на определенной окружности, называемой описанной окружностью или описанной окружностью. Центр описанной окружности, называемый центром описанной окружности, можно считать центром многоугольника.
Если многоугольник одновременно является касательным и циклическим, его называют бицентрическим . (Например, все треугольники являются бицентрическими.) Центр и центр описанной окружности бицентрического многоугольника, как правило, не являются одной и той же точкой.
Центр общего многоугольника можно определить несколькими способами. «Центроид вершины» возникает из-за того, что многоугольник считается пустым, но имеет равные массы в вершинах. «Боковой центроид» возникает из-за того, что стороны имеют постоянную массу на единицу длины. Обычный центр, называемый просто центроидом (центром площади), возникает из-за того, что поверхность многоугольника имеет постоянную плотность. Эти три пункта, как правило, не являются одним и тем же.
В проективной геометрии каждая линия имеет точку на бесконечности или «фигуративную точку», где она пересекает все прямые, параллельные ей. Эллипс, парабола и гипербола евклидовой геометрии называются кониками в проективной геометрии и могут быть построены как коники Штейнера на основе проективности, которая не является перспективой. Симметрия проективной плоскости с данной коникой связывает каждую точку или полюс с линией, называемой ее полярой . Это соотношение используется в понятии центра в проективной геометрии. Следующие утверждения взяты из Г.Б. Холстеда . [3]