Центр (теория колец)

Подкольцо, состоящее из элементов x

В алгебре центром кольца R называется подкольцо , состоящее из элементов x, таких что xy = yx для всех элементов y в R. Это коммутативное кольцо , обозначаемое как Z( R ); «Z» означает немецкое слово Zentrum , что означает «центр».

Если R — кольцо, то R — ассоциативная алгебра над своим центром. Наоборот, если R — ассоциативная алгебра над коммутативным подкольцом S , то S — подкольцо центра R , а если S оказывается центром R , то алгебра R называется центральной алгеброй .

Примеры

• Центром коммутативного кольца R является само R.
• Центром тела является поле .
• Центр (полного) матричного кольца с записями в коммутативном кольце R состоит из R -скалярных кратных единичной матрицы . ^[1]
• Пусть F — расширение поля k , а R — алгебра над k . Тогда Z( R ⊗ _k F ) = Z( R ) ⊗ _k F .
• Центр универсальной обертывающей алгебры алгебры Ли играет важную роль в теории представлений алгебр Ли . Например, элемент Казимира — это элемент такого центра, который используется для анализа представлений алгебры Ли . См. также: Изоморфизм Хариша-Чандры .
• Центром простой алгебры является поле.

Смотрите также

• Центр группы
• Центральная простая алгебра
• Морита эквивалентность

Примечания

1. "векторные пространства – Линейный оператор, коммутирующий со всеми такими операторами, является скалярным кратным тождества". Math.stackexchange.com . Получено 22 июля 2017 г.

Ссылки

• Бурбаки, Алгебра
• Пирс, Ричард С. (1982), Ассоциативные алгебры, Graduate texts in Mathematics, т. 88, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90693-5