Центрированное кубическое число

Центрированное фигурное число, подсчитывающее точки в трехмерном узоре.

Центрированное кубическое число — это центрированное фигурное число , которое подсчитывает точки в трехмерном шаблоне, образованном точкой, окруженной концентрическими кубическими слоями точек, с i ² точками на квадратных гранях i - го слоя. Эквивалентно, это число точек в объемно-центрированном кубическом шаблоне внутри куба, который имеет n + 1 точек вдоль каждого из своих ребер.

Первые несколько центрированных кубических чисел:

1 , 9 , 35 , 91 , 189 , 341, 559, 855, 1241, 1729 , 2331, 3059, 3925, 4941, 6119, 7471, 9009, ... (последовательность A005898 в OEIS ).

Формулы

Центрированное кубическое число для узора с n концентрическими слоями вокруг центральной точки определяется по формуле ^[1]

${\displaystyle n^{3}+(n+1)^{3}=(2n+1)\left(n^{2}+n+1\right).}$

Это же число можно также выразить как трапециевидное число (разность двух треугольных чисел ) или как сумму последовательных чисел, как ^[2]

${\displaystyle {\binom {(n+1)^{2}+1}{2}}-{\binom {n^{2}+1}{2}}=(n^{2}+1)+(n^{2}+2)+\cdots +(n+1)^{2}.}$

Характеристики

Из-за факторизации (2 n + 1)( n ² + n + 1) невозможно, чтобы центрированное кубическое число было простым числом . ^[3] Единственные центрированные кубические числа, которые также являются квадратными числами , — это 1 и 9, ^{[4] [5]} что можно показать, решив x ² = y ³ + 3 y , единственными целочисленными решениями являются (x, y) из {(0, 0), (1, 2), (3, 6), (12, 42)}. Подставляя a = (x-1)/2 и b = y/2, получаем x^2 = 2y^3 + 3y^2 + 3y+1. Это дает только (a, b) из {(-1/2, 0), (0, 1), (1, 3), (11/2, 21)}, где a, b — полуцелые числа.

Смотрите также

• Число куба

Ссылки

1. Деза, Елена ; Деза, Мишель (2012), Фигурные числа, World Scientific, стр. 121–123, ISBN 9789814355483
2. Лански, Чарльз (2005), Концепции абстрактной алгебры, Американское математическое общество, стр. 22, ISBN 9780821874288.
3. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A005898". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
4. Stroeker, RJ (1995), «О сумме последовательных кубов, являющихся полным квадратом», Compositio Mathematica , 97 (1–2): 295–307, MR  1355130.
5. О'Ши, Оуэн; Дадли, Андервуд (2007), Магические числа профессора, MAA Spectrum, Математическая ассоциация Америки, стр. 17, ISBN 9780883855577.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Центрированное кубическое число». MathWorld .