Центровой с девятью очками

Центр треугольника, связанный с окружностью девяти точек

Треугольник, на котором изображены описанная окружность и ее центр (черные), высоты и ортоцентр (красные), а также окружность девяти точек и ее центр (синие)

В геометрии центр девяти точек — это центр треугольника , точка, определенная из данного треугольника способом, который не зависит от размещения или масштаба треугольника. Он так называется, потому что является центром окружности девяти точек , окружности, которая проходит через девять важных точек треугольника: середины трех ребер, основания трех высот и точки на полпути между ортоцентром и каждой из трех вершин. Центр девяти точек указан как точка X(5) в Энциклопедии центров треугольников Кларка Кимберлинга . [ ^{1] [2]}

Характеристики

Центр девяти точек N лежит на линии Эйлера своего треугольника, в средней точке между ортоцентром H и центром описанной окружности O. Центроид G также лежит на той же линии, на расстоянии 2/3 от ортоцентра до центра описанной окружности, [ ^{2] [3],} поэтому

${\displaystyle |NO|=|NH|=3|NG|.}$

Таким образом, если известны любые два из этих четырех центров треугольников, то по ним можно определить положения двух других.

Эндрю Гинанд доказал в 1984 году в рамках того, что сейчас известно как проблема определения треугольника Эйлера , что если положения этих центров даны для неизвестного треугольника, то инцентр треугольника лежит внутри ортоцентроидальной окружности (окружности, имеющей отрезок от центроида до ортоцентра в качестве своего диаметра). Единственная точка внутри этой окружности, которая не может быть инцентром, — это центр девяти точек, а каждая другая внутренняя точка окружности является инцентром уникального треугольника. ^{[4] [5] [6] [7]}

Расстояние от центра девяти точек до инцентра I удовлетворяет условию

${\displaystyle {\begin{aligned}&|IN|<{\tfrac {1}{2}}|IO|,\\&|IN|={\tfrac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {R}{2}},\\&2R\cdot |IN|=|OI|^{2},\end{aligned}}}$

где R, r — радиус описанной и вписанной окружности соответственно.

Центр девяти точек — это центр описанной окружности срединного треугольника данного треугольника, центр описанной окружности ортотреугольника данного треугольника и центр описанной окружности треугольника Эйлера. ^[3] В более общем смысле это центр описанной окружности любого треугольника, определяемый тремя из девяти точек, определяющих окружность девяти точек.

Центр девяти точек лежит в центроиде четырех точек: трех вершин треугольника и его ортоцентра . ^[8]

Линии Эйлера четырех треугольников, образованных ортоцентрической системой (набор из четырех точек, каждая из которых является ортоцентром треугольника с вершинами в трех других точках), пересекаются в девятиточечном центре, общем для всех треугольников. ^{[9] : стр.111}

Из девяти точек, определяющих девятиточечную окружность, три середины отрезков прямых между вершинами и ортоцентром являются отражениями середин треугольника относительно его девятиточечного центра. Таким образом, девятиточечный центр образует центр точечного отражения , которое отображает срединный треугольник в треугольник Эйлера, и наоборот. ^[3]

Согласно теореме Лестера , центр девяти точек лежит на общей окружности с тремя другими точками: двумя точками Ферма и центром описанной окружности. ^[10]

Точка Кошниты треугольника, центр треугольника, связанный с теоремой Кошниты , является изогональным сопряжением центра девяти точек. ^[11]

Координаты

Трилинейные координаты для центра девяти точек: ^{[1] [2]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos(B-C):\cos(C-A):\cos(A-B)\\&=\cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B\\&=\cos A-2\sin B\sin C:\cos B-2\sin C\sin A:\cos C-2\sin A\sin B\\&=bc\left[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}\right]:ca\left[b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}\right]:ab\left[c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}\right].\end{aligned}}}$

Барицентрические координаты центра девяти точек равны ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}&a\cos(B-C):b\cos(C-A):c\cos(A-B)\\&=a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}:b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}:c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}.\end{aligned}}}$

Таким образом, если и только если два угла при вершине отличаются друг от друга более чем на 90°, одна из барицентрических координат отрицательна, и поэтому центр девяти точек находится вне треугольника.

Ссылки

1. Кимберлинг, Кларк (1994), «Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника», Mathematics Magazine , 67 (3): 163–187, doi :10.2307/2690608, JSTOR  2690608, MR  1573021.
2. Энциклопедия треугольных центров, дата обращения 23.10.2014.
3. Деков, Деко (2007), "Девятиточечный центр" (PDF) , Журнал компьютерно-генерируемой евклидовой геометрии.
4. Стерн, Джозеф (2007), «Проблема определения треугольника Эйлера» (PDF) , Forum Geometricorum , 7 : 1–9.
5. Эйлер, Леонард (1767), «Solutio facilis проблематум quorundam геометрическиорум диффициллиморум», Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (на латыни), 11 : 103–123.
6. Guinand, Andrew P. (1984), «Линии Эйлера, центры трикасательных треугольников и их треугольники», American Mathematical Monthly , 91 (5): 290–300, doi :10.2307/2322671, JSTOR  2322671.
7. Францсен, Уильям Н. «Расстояние от инцентра до прямой Эйлера», Forum Geometricorum 11, 2011, 231-236. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201126index.html
8. Энциклопедия центров треугольников приписывает это наблюдение Рэнди Хатсону, 2011.
9. Альтшиллер-Корт, Натан, College Geometry , Dover Publications, 2007 (оригинал Barnes & Noble 1952).
10. Yiu, Paul (2010), «Круги Лестера, Эванса, Парри и их обобщения», Forum Geometricorum , 10 : 175–209, MR  2868943.
11. Ригби, Джон (1997), «Краткие заметки о некоторых забытых геометрических теоремах», Mathematics and Informatics Quarterly , 7 : 156–158.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Центр девяти точек», MathWorld