Циклический модуль

В математике , а точнее в теории колец , циклический модуль или моногенный модуль ^[1] — это модуль над кольцом , который порождается одним элементом. Понятие является обобщением понятия циклической группы , то есть абелевой группы (т. е. Z -модуля), которая порождается одним элементом.

Определение

Левый R -модуль M называется циклическим , если M может быть порожден одним элементом, т.е. M = ( x ) = Rx = { rx | r ∈ R } для некоторого x из M. Аналогично, правый R -модуль N является циклическим, если N = yR для некоторого y ∈ N.

Примеры

• 2 Z как Z -модуль является циклическим модулем.
• Фактически каждая циклическая группа является циклическим Z -модулем.
• Каждый простой R -модуль M является циклическим модулем, поскольку подмодуль, порождённый любым ненулевым элементом x из M , обязательно является всем модулем M. В общем случае модуль является простым тогда и только тогда, когда он ненулевой и порождается каждым из своих ненулевых элементов. ^[2]
• Если кольцо R рассматривать как левый модуль над собой, то его циклические подмодули — это в точности его левые главные идеалы как кольца. То же самое справедливо для R как правого R -модуля, mutatis mutandis .
• Если R — это F [ x ], кольцо многочленов над полем F , а V — R -модуль, который также является конечномерным векторным пространством над F , то жордановы блоки x , действующие на V , являются циклическими подмодулями. (Все жордановы блоки изоморфны F [ x ] / ( x − λ ) ⁿ ; могут быть и другие циклические подмодули с другими аннуляторами ; см . ниже.)

Характеристики

• Для заданного циклического R -модуля M , порожденного x , существует канонический изоморфизм между M и R / Ann _R x , где Ann _R x обозначает аннулятор x в R.

Смотрите также

• Конечно-генерируемый модуль

Ссылки

1. Бурбаки, Алгебра I: Главы 1–3, стр. 220
2. Андерсон и Фуллер 1992, Сразу после предложения 2.7.

• Андерсон, Фрэнк В.; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Graduate Texts in Mathematics , т. 13 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. x+376, doi :10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, г-н  1245487
• B. Hartley ; TO Hawkes (1970). Кольца, модули и линейная алгебра . Chapman и Hall. стр. 77, 152. ISBN 0-412-09810-5.
• Ланг, Серж (1993), Алгебра (третье изд.), Рединг, Массачусетс: Addison-Wesley, стр. 147–149, ISBN 978-0-201-55540-0, ЗБЛ  0848.13001