Кровообращение (физика)

Линейный интеграл скорости жидкости по замкнутой кривой

Силовые линии векторного поля v вокруг границы открытой криволинейной поверхности с бесконечно малым линейным элементом d l вдоль границы и через ее внутреннюю часть с dS бесконечно малым элементом поверхности и n единицей нормали к поверхности. Вверху: циркуляция — это линейный интеграл от v по замкнутому контуру C. Проецируйте v вдоль d l , затем просуммируйте. Здесь v разбивается на компоненты, перпендикулярные (⊥) параллельные (‖) d l , параллельные компоненты касаются замкнутого контура и способствуют циркуляции, перпендикулярные компоненты - нет. Внизу: Циркуляция — это также поток завихренности ω = ∇ × v через поверхность, а ротор v эвристически изображается в виде винтовой стрелки (а не буквального представления). Обратите внимание, что проекция v вдоль d l и ротор v могут быть в отрицательном смысле, уменьшая циркуляцию.

В физике циркуляция — это линейный интеграл векторного поля вокруг замкнутой кривой. В гидродинамике поле представляет собой поле скорости жидкости . В электродинамике это может быть электрическое или магнитное поле.

Впервые обращение было независимо использовано Фредериком Ланчестером , Мартином Куттой и Николаем Жуковским . ^{[ нужна цитация ]} Обычно его обозначают Γ ( греческая гамма в верхнем регистре ).

Определение и свойства

Если V — векторное поле, а d l — вектор, представляющий дифференциальную длину небольшого элемента определенной кривой, вклад этой дифференциальной длины в циркуляцию равен dΓ :

$${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma =\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\left|\mathbf {V} \right|\left|\mathrm {d} \mathbf {l} \right|\cos \theta .}$$

Здесь θ — угол между векторами V и d l .

Циркуляция Γ векторного поля V вокруг замкнутой кривой C представляет собой линейный интеграл : ^{[1] [2]}

$${\displaystyle \Gamma =\oint _{C}\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} .}$$

В консервативном векторном поле этот интеграл равен нулю для каждой замкнутой кривой. Это означает, что линейный интеграл между любыми двумя точками поля не зависит от пройденного пути. Это также означает, что векторное поле можно выразить как градиент скалярной функции, которая называется потенциалом . ^[2]

Связь с завихренностью и завихренностью

Циркуляция может быть связана с ротором векторного поля V и, более конкретно, с завихренностью , если поле представляет собой поле скорости жидкости:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=\nabla \times \mathbf {V} .}$$

По теореме Стокса поток векторов ротора или завихренности через поверхность S равен циркуляции вокруг ее периметра, ^[2]

$${\displaystyle \Gamma =\oint _{\partial S}\mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {V} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{S}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} }$$

Здесь замкнутый путь интегрирования ∂S — это граница или периметр открытой поверхности S , нормаль к бесконечно малому элементу которой d S = n dS ориентирована по правилу правой руки . Таким образом, вихрь и завихренность — это циркуляция на единицу площади, взятая вокруг локальной бесконечно малой петли.

В потенциальном течении жидкости с областью завихренности все замкнутые кривые, охватывающие завихрение, имеют одно и то же значение для циркуляции. ^[3]

Использование

Теорема Кутты – Жуковского в динамике жидкости.

В гидродинамике подъемная сила на единицу пролета (L'), действующая на тело в двумерном поле потока, прямо пропорциональна циркуляции, т. е. ее можно выразить как произведение циркуляции Γ вокруг тела на плотность жидкости. , и скорость тела относительно набегающего потока : ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle v_{\infty }}$

$${\displaystyle L'=\rho v_{\infty }\Gamma }$$

Это известно как теорема Кутты-Жуковского. ^[4]

Это уравнение применимо к профилям, где циркуляция создается действием профиля ; и вокруг вращающихся объектов, испытывающих эффект Магнуса , когда циркуляция вызывается механически. При действии профиля величина циркуляции определяется условием Кутты . ^[4]

Циркуляция на каждой замкнутой кривой вокруг профиля имеет одинаковую величину и связана с подъемной силой, создаваемой каждой единицей длины пролета. При условии, что замкнутая кривая охватывает профиль крыла, выбор кривой произволен. ^[3]

Циркуляция часто используется в вычислительной гидродинамике в качестве промежуточной переменной для расчета сил, действующих на крыло или другое тело.

Фундаментальные уравнения электромагнетизма

В электродинамике закон индукции Максвелла-Фарадея можно сформулировать в двух эквивалентных формах: ^[5] что ротор электрического поля равен отрицательной скорости изменения магнитного поля,

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$$

или что циркуляция электрического поля вокруг петли равна отрицательной скорости изменения потока магнитного поля через любую поверхность, охватываемую петлей, по теореме Стокса.

$${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\iint _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} .}$$

Циркуляция статического магнитного поля по закону Ампера пропорциональна общему току, заключенному в контуре.

$${\displaystyle \oint _{\partial S}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} =\mu _{0}\iint _{S}\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\mu _{0}I_{\text{enc}}.}$$

Для систем с электрическими полями, которые изменяются со временем, закон необходимо изменить, включив в него термин, известный как поправка Максвелла.

Смотрите также

• Уравнения Максвелла
• Закон Био – Савара в аэродинамике
• Теорема Кельвина о циркуляции

Рекомендации

1. Роберт В. Фокс; Алан Т. Макдональд; Филип Дж. Причард (2003). Введение в механику жидкости (6-е изд.). Уайли . ISBN 978-0-471-20231-8.
2. «Лекции Фейнмана по физике, том II, глава 3: векторное интегральное исчисление». feynmanlectures.caltech.edu . Проверено 2 ноября 2020 г.
3. Андерсон, Джон Д. (1984), Основы аэродинамики , раздел 3.16. МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-001656-9 
4. А. М. Кете; Дж. Д. Шетцер (1959). Основы аэродинамики (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья . §4.11. ISBN 978-0-471-50952-3.
5. "Лекции Фейнмана по физике, том II, глава 17: Законы индукции" . feynmanlectures.caltech.edu . Проверено 2 ноября 2020 г.