Циссоид

Плоская кривая, построенная с помощью двух других кривых и фиксированной точки

  Циссоид

  Кривая С ₁

  Кривая С ₂

  Полюс О

В геометрии циссоида (от древнегреческого κισσοειδής (kissoeidēs)  « в форме плюща ») — это плоская кривая, образованная двумя заданными кривыми C 1 _, C 2 _и точкой O ( полюсом ). Пусть L — переменная прямая, проходящая через O и пересекающая C ₁ в точке P ₁ и C ₂ в точке P ₂ . Пусть P — точка на L , такая что (на самом деле таких точек две, но P выбрана так, что P находится в том же направлении от O , что и P ₂ от P ₁ .) Тогда геометрическое место таких точек P определяется как циссоида кривых C ₁ , C ₂ относительно O . ${\displaystyle {\overline {OP}}={\overline {P_{1}P_{2}}}.}$

Немного отличающиеся, но по сути эквивалентные определения используются разными авторами. Например, P может быть определена как точка, так что Это эквивалентно другому определению, если C ₁ заменить ее отражением относительно O . Или P может быть определена как середина P ₁ и P ₂ ; это создает кривую, сгенерированную предыдущей кривой, масштабированной с коэффициентом 1/2. ${\displaystyle {\overline {OP}}={\overline {OP_{1}}}+{\overline {OP_{2}}}.}$

Уравнения

Если C ₁ и C ₂ заданы в полярных координатах как и соответственно, то уравнение описывает циссоиду C ₁ и C ₂ относительно начала координат. Однако, поскольку точка может быть представлена ​​несколькими способами в полярных координатах, могут быть и другие ветви циссоиды, которые имеют другое уравнение. В частности, C ₁ также задан как ${\displaystyle r=f_{1}(\theta )}$ ${\displaystyle r=f_{2}(\theta )}$ ${\displaystyle r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&r=-f_{1}(\theta +\pi )\\&r=-f_{1}(\theta -\pi )\\&r=f_{1}(\theta +2\pi )\\&r=f_{1}(\theta -2\pi )\\&\qquad \qquad \vdots \end{aligned}}}$

Таким образом, циссоида на самом деле является объединением кривых, заданных уравнениями

${\displaystyle {\begin{aligned}&r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta )\\&r=f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta +\pi )\\&r=f_{2}(\theta )+f_{1}(\theta -\pi )\\&r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta +2\pi )\\&r=f_{2}(\theta )-f_{1}(\theta -2\pi )\\&\qquad \qquad \vdots \end{aligned}}}$

В зависимости от периодов f ₁ и f ₂ можно индивидуально определить , какое из этих уравнений можно исключить за счет дублирования.

Эллипс красного цвета с двумя циссоидальными ветвями черного и синего цветов (источник) ${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}}$

Например, пусть C ₁ и C ₂ оба являются эллипсом.

${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}.}$

Первая ветвь циссоиды задается формулой

${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}-{\frac {1}{2-\cos \theta }}=0,}$

что является просто началом координат. Эллипс также задается

${\displaystyle r={\frac {-1}{2+\cos \theta }},}$

поэтому вторая ветвь циссоиды задается формулой

${\displaystyle r={\frac {1}{2-\cos \theta }}+{\frac {1}{2+\cos \theta }}}$

представляющая собой овальную кривую.

Если каждый C ₁ и C ₂ задан параметрическими уравнениями

${\displaystyle x=f_{1}(p),\ y=px}$

и

${\displaystyle x=f_{2}(p),\ y=px,}$

тогда циссоида относительно начала координат задается выражением

${\displaystyle x=f_{2}(p)-f_{1}(p),\ y=px.}$

Конкретные случаи

Если C ₁ — круг с центром O , то циссоида является конхоидой C ₂ .

Если C ₁ и C ₂ — параллельные прямые, то циссоида является третьей прямой, параллельной данным прямым.

Гиперболы

Пусть C ₁ и C ₂ — две непараллельные прямые, а начало координат — O. Пусть полярные уравнения C ₁ и C ₂ будут иметь вид

${\displaystyle r={\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha _{1})}}}$

и

${\displaystyle r={\frac {a_{2}}{\cos(\theta -\alpha _{2})}}.}$

При повороте на угол мы можем предположить, что тогда циссоида C ₁ и C ₂ относительно начала координат задается выражением ${\displaystyle {\tfrac {\alpha _{1}-\alpha _{2}}{2}},}$ ${\displaystyle \alpha _{1}=\alpha ,\ \alpha _{2}=-\alpha .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\frac {a_{2}}{\cos(\theta +\alpha )}}-{\frac {a_{1}}{\cos(\theta -\alpha )}}\\&={\frac {a_{2}\cos(\theta -\alpha )-a_{1}\cos(\theta +\alpha )}{\cos(\theta +\alpha )\cos(\theta -\alpha )}}\\&={\frac {(a_{2}\cos \alpha -a_{1}\cos \alpha )\cos \theta -(a_{2}\sin \alpha +a_{1}\sin \alpha )\sin \theta }{\cos ^{2}\alpha \ \cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\alpha \ \sin ^{2}\theta }}.\end{aligned}}}$

Объединение констант дает

${\displaystyle r={\frac {b\cos \theta +c\sin \theta }{\cos ^{2}\theta -m^{2}\sin ^{2}\theta }}}$

что в декартовых координатах равно

${\displaystyle x^{2}-m^{2}y^{2}=bx+cy.}$

Это гипербола, проходящая через начало координат. Таким образом, циссоида двух непараллельных прямых является гиперболой, содержащей полюс. Аналогичный вывод показывает, что, наоборот, любая гипербола является циссоидой двух непараллельных прямых относительно любой ее точки.

Циссоиды Заградника

Циссоида Заградника (названная в честь Карела Заградника ) определяется как циссоида конического сечения и прямой относительно любой точки на конике. Это широкое семейство рациональных кубических кривых, содержащее несколько известных примеров. А именно:

• Трисектриса Маклорена дана

${\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})}$

является циссоидой окружности и прямой относительно начала координат. ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {a}{2}}}$

• Правый строфоид

${\displaystyle y^{2}(a+x)=x^{2}(a-x)}$

является циссоидой окружности и прямой относительно начала координат. ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ ${\displaystyle x=-a}$

Анимация, визуализирующая циссоиду Диокла

• Циссоида Диокла

${\displaystyle x(x^{2}+y^{2})+2ay^{2}=0}$

является циссоидой окружности и прямой относительно начала координат. Это, по сути, кривая, по которой названо семейство, и некоторые авторы называют ее просто циссоидой. ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ ${\displaystyle x=-2a}$

• Циссоида окружности и прямой , где k — параметр, называется конхоидой де Слюза . (Эти кривые на самом деле не являются конхоидами.) Это семейство включает в себя предыдущие примеры. ${\displaystyle (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2}}$ ${\displaystyle x=ka,}$
• Лист Декарта

${\displaystyle x^{3}+y^{3}=3axy}$

является циссоидой эллипса и прямой относительно начала координат. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что прямая может быть записана ${\displaystyle x^{2}-xy+y^{2}=-a(x+y)}$ ${\displaystyle x+y=-a}$

${\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p}},\ y=px}$

и эллипс можно записать

${\displaystyle x=-{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}},\ y=px.}$

Итак, циссоида задается выражением

${\displaystyle x=-{\frac {a}{1+p}}+{\frac {a(1+p)}{1-p+p^{2}}}={\frac {3ap}{1+p^{3}}},\ y=px}$

который является параметрической формой листа.

Смотрите также

• Раковинный
• Строфоид

Ссылки

• J. Dennis Lawrence (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications. стр. 53–56. ISBN 0-486-60288-5.
• CA Nelson "Заметка о рациональных плоских кубиках" Bull. Amer. Math. Soc. Том 32, Номер 1 (1926), 71-76.

Внешние ссылки

• «Циссоид», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. "Циссоид". MathWorld .
• 2D кривые