Циссоида Диокла

В геометрии циссоида Диокла (от древнегреческого κισσοειδής (kissoeidēs) « имеющий форму плюща »; названа в честь Диокла ) — это кубическая плоская кривая , примечательная тем свойством, что ее можно использовать для построения двух средних пропорциональных заданному отношению . В частности, ее можно использовать для удвоения куба . Ее можно определить как циссоиду окружности и касательной к ней относительно точки на окружности, противоположной точке касания. Фактически, семейство кривых циссоид названо в честь этого примера , и некоторые авторы называют ее просто циссоидой . Она имеет одну точку возврата на полюсе и симметрична относительно диаметра окружности, который является линией касания точки возврата. Эта линия является асимптотой . Он является членом семейства конхоидов де Слюза и по форме напоминает трактрису .

Построение и уравнения

Пусть радиус $C$ будет $a$ . С помощью переноса и вращения мы можем взять $O$ за начало координат, а центр окружности — за ( a , 0), так что $A$ — это $(2a, 0)$ . Тогда полярные уравнения $L$ и $C$ будут такими:

{\begin{aligned}&r=2a\sec \theta \\&r=2a\cos \theta .\end{aligned}}

По построению расстояние от начала координат до точки на циссоиде равно разности расстояний между началом координат и соответствующими точками на $L$ и $C.$ Другими словами, полярное уравнение циссоиды имеет вид

r=2a\sec \theta -2a\cos \theta =2a(\sec \theta -\cos \theta ).

Применяя некоторые тригонометрические тождества, это эквивалентно

r=2a\sin ^{2}\!\theta \mathbin {/} \cos \theta =2a\sin \theta \tan \theta .

Пусть $t = tan θ$ в приведенном выше уравнении. Тогда

{\begin{aligned}&x=r\cos \theta =2a\sin ^{2}\!\theta ={\frac {2a\tan ^{2}\!\theta }{\sec ^{2}\!\theta }}={\frac {2at^{2}}{1+t^{2}}}\\&y=tx={\frac {2at^{3}}{1+t^{2}}}\end{aligned}}

являются параметрическими уравнениями для циссоиды.

Преобразование полярной формы в декартовы координаты дает

(x^{2}+y^{2})x=2ay^{2}

Конструкция методом двойной проекции

Построение различных точек на циссоиде с помощью циркуля и линейки происходит следующим образом. Даны прямая $L$ и точка $O$ , не лежащая на $L$ , постройте прямую $L'$ через $O,$ параллельную $L.$ Выберем переменную точку $P$ на $L$ и построим $Q$ , ортогональную проекцию $P$ на $L'$ , затем $R$ , ортогональную проекцию $Q$ на $OP$ . Тогда циссоида является геометрическим местом точек $R.$

Чтобы увидеть это, пусть $O$ будет началом координат, а $L —$ линией $x = 2 a,$ как указано выше. Пусть $P$ будет точкой $(2 a, 2 at)$ ; тогда $Q$ — это $(0, 2 at)$ , а уравнение линии $OP$ — $y = tx$ . Прямая, проходящая через $Q$ и перпендикулярная $OP$ , — это

t(y-2at)+x=0.

Чтобы найти точку пересечения $R$ , положим $y = tx$ в этом уравнении, получим

{\begin{aligned}&t(tx-2at)+x=0,\ x(t^{2}+1)=2at^{2},\ x={\frac {2at^{2}}{t^{2}+1}}\\&y=tx={\frac {2at^{3}}{t^{2}+1}}\end{aligned}}

которые представляют собой параметрические уравнения, приведенные выше.

Хотя эта конструкция создает произвольное количество точек на циссоиде, она не может очертить ни одного непрерывного сегмента кривой.

Конструкция Ньютона

Следующее построение было дано Исааком Ньютоном . Пусть $J$ — прямая, а $B$ — точка, не лежащая на $J.$ Пусть $∠ BST$ — прямой угол, который перемещается так, что $ST$ равен расстоянию от $B$ до $J$ $,$ а $T$ остается на $J$ , в то время как другая сторона $BS$ скользит вдоль $B.$ Тогда середина $P$ ST описывает кривую.

Чтобы увидеть это, ^[1] пусть расстояние между $B$ и $J$ будет $2 a$ . С помощью переноса и вращения возьмем $B = (-a, 0)$ и $J$ линию $x = a$ . Пусть $P = (x, y)$ и пусть $ψ$ будет углом между $SB$ и осью $x$ ; он равен углу между $ST$ и $J$ . По построению, $PT = a$ , поэтому расстояние от $P$ до $J$ равно $a sin ψ$ . Другими словами , $a - x = a sin ψ$ . Кроме того, $SP = a$ является $y$ -координатой $(x, y),$ если она повернута на угол $ψ$ , поэтому $a = (x + a) sin ψ + y cos ψ$ . После упрощения это дает параметрические уравнения

x=a(1-\sin \psi ),\,y=a{\frac {(1-\sin \psi )^{2}}{\cos \psi }}.

Измените параметры, заменив $ψ$ его дополнением, чтобы получить

x=a(1-\cos \psi ),\,y=a{\frac {(1-\cos \psi )^{2}}{\sin \psi }}

или, применяя формулы двойного угла,

x=2a\sin ^{2}{\psi \over 2},\,y=a{\frac {4\sin ^{4}{\psi \over 2}}{2\sin {\psi \over 2}\cos {\psi \over 2}}}=2a{\frac {\sin ^{3}{\psi \over 2}}{\cos {\psi \over 2}}}.

Но это полярное уравнение.

r=2a{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos \theta }}

приведено выше при $θ = ψ /2$ .

Обратите внимание, что, как и в случае с конструкцией с двойным выступом, ее можно адаптировать для создания механического устройства, генерирующего кривую.

Проблема Делиана

Греческий геометр Диокл использовал циссоиду для получения двух средних пропорциональных к данному отношению . Это означает, что заданные длины $a$ и $b$ могут быть использованы для нахождения $u$ и $v$ так, что $a$ относится к $u$ так же, как $u$ относится к $v$ так же, как $v$ относится к $b$ , т. е . $a / u = u / v = v / b$ , как открыл Гиппократ Хиосский . В качестве особого случая это можно использовать для решения Делосской задачи: насколько нужно увеличить длину куба , чтобы удвоить его объем ? В частности, если $a$ — сторона куба, а $b = 2 a$ , то объем куба со стороной $u$ равен

u^{3}=a^{3}\left({\frac {u}{a}}\right)^{3}=a^{3}\left({\frac {u}{a}}\right)\left({\frac {v}{u}}\right)\left({\frac {b}{v}}\right)=a^{3}\left({\frac {b}{a}}\right)=2a^{3}

так что $u$ — сторона куба с объемом в два раза больше исходного куба. Однако следует отметить, что это решение не подпадает под правила построения циркуля и линейки, поскольку оно опирается на существование циссоиды.

Пусть даны $a$ и $b$ . Требуется найти $u$ так, чтобы $u 3 = a 2 b$ , что даст $u$ и $v = u 2 / a$ как средние пропорциональные. Пусть циссоида

(x^{2}+y^{2})x=2ay^{2}

быть построена, как указано выше, с $O$ в качестве начала координат, $A$ в качестве точки $(2 a, 0)$ и $J$ в качестве прямой $x = a$ , также как указано выше. Пусть $C$ будет точкой пересечения $J$ с $OA$ . Из данной длины $b$ отметьте $B$ на $J$ так, чтобы $CB = b$ . Проведите $BA$ и пусть $P = (x, y)$ будет точкой, в которой она пересекает циссоиду. Проведите $OP$ и пусть она пересечет $J$ в точке $U$ . Тогда $u = CU$ будет искомой длиной.

Чтобы увидеть это, ^[2] перепишем уравнение кривой как

y^{2}={\frac {x^{3}}{2a-x}}

и пусть $N = (x, 0)$ , так что $PN$ — перпендикуляр к $OA$ через $P.$ Из уравнения кривой,

{\overline {PN}}^{2}={\frac {{\overline {ON}}^{3}}{\overline {NA}}}.

Из этого следует,

{\frac {{\overline {PN}}^{3}}{{\overline {ON}}^{3}}}={\frac {\overline {PN}}{\overline {NA}}}.

Подобными треугольниками $PN / ON = UC / OC$ и $PN / NA = BC / CA.$ Таким образом, уравнение становится

{\frac {{\overline {UC}}^{3}}{{\overline {OC}}^{3}}}={\frac {\overline {BC}}{\overline {CA}}},

так

{\frac {u^{3}}{a^{3}}}={\frac {b}{a}},\,u^{3}=a^{2}b

по мере необходимости.

Анимация точечного построения циссоиды Диоклом с использованием 500 случайно выбранных точек.

Диокл на самом деле не решил Делосскую задачу. Причина в том, что циссоиду Диокла невозможно построить идеально, по крайней мере, с помощью циркуля и линейки. Чтобы построить циссоиду Диокла, нужно построить конечное число ее отдельных точек, а затем соединить все эти точки, чтобы образовать кривую. (Пример этого построения показан справа.) Проблема в том, что не существует четко определенного способа соединить точки. Если они соединены отрезками прямых, то построение будет четко определенным, но это будет не точная циссоида Диокла, а лишь приближение. Аналогично, если точки соединены дугами окружностей, построение будет четко определенным, но неверным. Или можно просто нарисовать кривую напрямую, пытаясь на глаз определить форму кривой, но результатом будут лишь неточные догадки.

После того, как конечное множество точек на циссоиде будет нарисовано, то линия $PC$ , вероятно, не пересечет одну из этих точек точно, но пройдет между ними, пересекая циссоиду Диокла в некоторой точке, точное местоположение которой не было построено, а было только приближено. Альтернативой является продолжение добавления построенных точек к циссоиде, которые становятся все ближе и ближе к пересечению с линией $PC$ , но количество шагов вполне может быть бесконечным, и греки не признавали приближения как пределы бесконечных шагов (поэтому они были очень озадачены парадоксами Зенона ).

Можно также построить циссоиду Диокла с помощью механического инструмента, специально разработанного для этой цели, но это нарушает правило использования только циркуля и линейки. Это правило было установлено по причинам логической — аксиоматической — последовательности. Допускать построение новыми инструментами было бы похоже на добавление новых аксиом , но аксиомы должны быть простыми и самоочевидными, но такие инструменты таковыми не являются. Таким образом, по правилам классической, синтетической геометрии , Диокл не решил Делосскую задачу, которая на самом деле не может быть решена такими средствами.

Как педальный изгиб

Пара парабол симметрично обращены друг к другу: одна сверху и одна снизу. Затем верхняя парабола катится без скольжения по нижней, и ее последовательные положения показаны в анимации. Затем путь, прочерченный вершиной верхней параболы при ее катящемся движении, представляет собой рулетку, показанную красным цветом, которая является циссоидой Диокла.

Педальная кривая параболы относительно ее вершины является циссоидой Диокла. ^[3] Геометрические свойства педальных кривых в целом создают несколько альтернативных методов построения циссоиды. Это огибающие окружностей, центры которых лежат на параболе и которые проходят через вершину параболы. Кроме того, если две конгруэнтные параболы установлены вершина к вершине и одна катится по другой; вершина катящейся параболы будет описывать циссоиду.

Инверсия

Циссоиду Диокла можно также определить как обратную кривую параболы с центром инверсии в вершине. Чтобы увидеть это, возьмем параболу x = y ² в полярных координатах или: $r\cos \theta =(r\sin \theta )^{2}$

r={\frac {\cos \theta }{\sin ^{2}\!\theta }}\,.

Обратная кривая имеет вид:

r={\frac {\sin ^{2}\!\theta }{\cos \theta }}=\sin \theta \tan \theta ,

что согласуется с полярным уравнением циссоиды, приведенным выше.

Ссылки

^ См. Basset для получения информации о происхождении слова, многие другие источники приводят эту конструкцию.
^ Доказательство представляет собой слегка измененную версию того, что приведено в Бассете.
^ Дж. Эдвардс (1892). Дифференциальное исчисление. Лондон: MacMillan and Co. стр. 166, пример 3.

В Wikisource есть текст статьи « Циссоид » из Британской энциклопедии 1911 года .

J. Dennis Lawrence (1972). Каталог специальных плоских кривых . Dover Publications. стр. 95, 98–100. ISBN 0-486-60288-5.
Вайсштейн, Эрик В. «Циссоида Диокла». MathWorld .
"Циссоида Диокла" в Visual Dictionary Of Special Plane Curves
«Циссоида Диокла» в MacTutor's Famous Curves Index
«Циссоид» на 2dcurves.com
"Cissoide de Dioclès ou Cissoide Droite" в Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (на французском языке)
«Циссоида». Элементарный трактат о кубических и четвертых кривых. Альфред Барнард Бассет (1901) Кембридж, стр. 85 и далее.