Методы частиц среднего поля

Широкий класс алгоритмов Монте-Карло взаимодействующего типа.

Методы частиц среднего поля представляют собой широкий класс алгоритмов Монте-Карло взаимодействующего типа для моделирования на основе последовательности распределений вероятностей, удовлетворяющих нелинейному уравнению эволюции. ^{[1] [2] [3] [4]} Эти потоки вероятностных мер всегда можно интерпретировать как распределения случайных состояний марковского процесса, вероятности перехода которого зависят от распределений текущих случайных состояний. ^{[1] [2]} Естественный способ смоделировать эти сложные нелинейные марковские процессы — это выбрать большое количество копий процесса, заменив в уравнении эволюции неизвестные распределения случайных состояний выборочными эмпирическими показателями . В отличие от традиционных методов Монте-Карло и цепей Маркова Монте-Карло, эти методы частиц среднего поля полагаются на последовательные взаимодействующие образцы . Терминологическое среднее поле отражает тот факт, что каждый из образцов (также известный как частицы, люди, ходоки, агенты, существа или фенотипы) взаимодействует с эмпирическими показателями процесса. Когда размер системы стремится к бесконечности, эти случайные эмпирические меры сходятся к детерминированному распределению случайных состояний нелинейной цепи Маркова, так что статистическое взаимодействие между частицами исчезает. Другими словами, начиная с хаотической конфигурации, основанной на независимых копиях начального состояния модели нелинейной цепи Маркова, хаос распространяется на любом временном горизонте по мере того, как размер системы стремится к бесконечности; то есть конечные блоки частиц сводятся к независимым копиям нелинейного марковского процесса. Этот результат называется распространением свойства хаоса. ^{[5] [6] [7]} Терминология «распространение хаоса» возникла в результате работы Марка Каца в 1976 году по модели сталкивающегося среднего поля кинетического газа. ^[8]

История

Теория моделей взаимодействующих частиц среднего поля, безусловно, началась в середине 1960-х годов с работы Генри П. Маккина-младшего по марковским интерпретациям класса нелинейных параболических уравнений в частных производных, возникающих в механике жидкостей. ^{[5] [9]} Математические основы этих классов моделей были разработаны с середины 1980-х до середины 1990-х годов несколькими математиками, в том числе Вернером Брауном, Клаусом Хеппом, ^[10] Карлом Эльшлегером, ^{[11] [12] [ 13]} Жерар Бен Арус и Марк Брюно, ^[14] Дональд Доусон, Жан Вайланкур ^[15] и Юрген Гертнер, ^{[16] [17]} Кристиан Леонар, ^[18] Сильви Мелеар , Сильви Рулли , ^[6] Ален-Соль Шнитман ^{[ 7] [19]} и Хироши Танака ^[20] для моделей диффузионного типа; Ф. Альберто Грюнбаум, ^[21] Токузо Сига, Хироши Танака, ^[22] Сильви Мелеар и Карл Грэм ^{[23] [24] [25]} для общих классов взаимодействующих процессов скачко-диффузии.

Мы также цитируем более раннюю новаторскую статью Теодора Э. Харриса и Германа Кана , опубликованную в 1951 году, в которой использовались генетические методы среднего поля, но эвристические для оценки энергии передачи частиц. ^[26] Методы частиц генетического типа среднего поля также используются в качестве эвристических алгоритмов естественного поиска (также известных как метаэвристические ) в эволюционных вычислениях. Истоки этих вычислительных методов среднего поля можно проследить до 1950 и 1954 годов, когда были работы Алана Тьюринга об обучающих машинах с мутационным отбором генетического типа ^[27] и статьи Нильса Аалла Барричелли из Института перспективных исследований в Принстоне, штат Нью-Йорк. Джерси . ^{[28] [29]} Австралийский генетик Алекс Фрейзер также опубликовал в 1957 году серию статей по моделированию генетического типа искусственного отбора организмов. ^[30]

Квантовые методы Монте-Карло и, более конкретно, диффузионные методы Монте-Карло также можно интерпретировать как аппроксимацию интегралов по траекториям Фейнмана-Каца частицами среднего поля. ^{[3] [4] [31] [32] [33] [34] [35]} Истоки квантовых методов Монте-Карло часто приписывают Энрико Ферми и Роберту Рихтмайеру, которые разработали в 1948 году интерпретацию нейтронной цепочки частицами среднего поля. реакции, ^[36] , но первый алгоритм частиц эвристического и генетического типа (также известный как методы Монте-Карло с повторной выборкой или реконфигурацией) для оценки энергий основного состояния квантовых систем (в моделях с уменьшенной матрицей) принадлежит Джеку Х. Хетерингтону в 1984 году [ ^{35] ]} В молекулярной химии использование генетических эвристических методов частиц (также известных как стратегии обрезки и обогащения) можно проследить до 1955 года, когда появилась основополагающая работа Маршалла. Н. Розенблют и Арианна. В. Розенблют. ^[37]

Первыми новаторскими статьями о применении этих эвристических методов частиц в задачах нелинейной фильтрации были независимые исследования Нила Гордона, Дэвида Салмона и Адриана Смита (бутстреп-фильтр), [38] ^{Генширо} Китагавы (фильтр Монте-Карло), ^[39] и книга Химилькона Карвальо, Пьера Дель Мораля, Андре Монена и Жерара Салюта ^[40], опубликованная в 1990-х годах. Термин «взаимодействующие фильтры частиц» был впервые введен в 1996 году Дель Моралем. ^[41] Фильтры частиц были также разработаны для обработки сигналов в начале 1989-1992 годов П. Дель Моралем, Дж. К. Нойером, Г. Ригалом и Г. Салютом в LAAS-CNRS в серии ограниченных и засекреченных исследовательских отчетов с STCAN. (Service Technique des Constructions et Armes Navales), ИТ-компания DIGILOG и LAAS-CNRS (Лаборатория анализа и архитектуры систем) по проблемам обработки сигналов RADAR/SONAR и GPS. ^{[42] [43] [44 ] [45] [46] [47]}

Основы и первый строгий анализ сходимости моделей генетического типа и методов частиц Фейнмана-Каца среднего поля принадлежат Пьеру Дель Моралю ^{[48] [49]} в 1996 году. Методы частиц ветвящегося типа с различными размерами популяции были также разработаны в конец 1990-х Дэн Крисан, Джессика Гейнс и Терри Лайонс, ^{[50] [51] [52]} и Дэн Крисан, Пьер Дель Мораль и Терри Лайонс. ^[53] Первые результаты равномерной сходимости по параметру времени для моделей частиц среднего поля были развиты в конце 1990-х годов Пьером Дель Моралем и Алисой Гионне ^{[54] [55]} для взаимодействующих процессов скачкообразного типа, а также Флораном Мальрие. для процессов нелинейного диффузионного типа. ^[56]

Новые классы методов моделирования частиц среднего поля для задач интеграции путей Фейнмана-Каца включают модели на основе генеалогического дерева, ^{[2] [3] [57]} модели обратных частиц, ^{[2] [58]} адаптивные модели частиц среднего поля ^[59] модели частиц островного типа, ^{[60] [61]} и методы Монте-Карло цепочек Маркова частиц ^{[62] [63]}

Приложения

В физике и, в частности, в статистической механике , эти нелинейные эволюционные уравнения часто используются для описания статистического поведения микроскопических взаимодействующих частиц в жидкости или в каком-либо конденсированном веществе. В этом контексте случайная эволюция виртуальной жидкости или частицы газа представлена ​​диффузионными процессами Маккина-Власова , системами реакции-диффузии или процессами столкновений типа Больцмана . ^{[11] [12] [13] [25] [64]} Как следует из названия, модель частиц среднего поля представляет собой коллективное поведение микроскопических частиц, слабо взаимодействующих со своими мерами заполнения. Макроскопическое поведение этих систем многих тел заключено в предельной модели, полученной, когда размер популяции стремится к бесконечности. Уравнения Больцмана представляют макроскопическую эволюцию сталкивающихся частиц в разреженных газах, а диффузия Маккина-Власова представляет макроскопическое поведение жидких частиц и гранулированных газов.

В вычислительной физике и, более конкретно, в квантовой механике , энергии основного состояния квантовых систем связаны с вершиной спектра операторов Шрёдингера. Уравнение Шрёдингера — это квантовомеханическая версия второго закона движения Ньютона классической механики (масса, умноженная на ускорение, равна сумме сил). Это уравнение представляет собой эволюцию волновой функции (так называемого квантового состояния) некоторой физической системы, включая молекулярные, атомные или субатомные системы, а также макроскопические системы, такие как Вселенная. ^[65] Решение уравнения Шредингера во мнимом времени (также известного как уравнение теплопроводности) дается распределением Фейнмана-Каца, связанным со свободным эволюционным марковским процессом (часто представляемым броуновскими движениями) в наборе электронных или макромолекулярных конфигураций и некоторых потенциальных энергетическая функция. Поведение этих нелинейных полугрупп в длительном времени связано с верхними собственными значениями и энергиями основного состояния операторов Шредингера. ^{[3] [32] [33] [34] [35] [66]} Интерпретация среднего поля генетического типа этих моделей Фейнмана-Каца называется методами Resample Monte Carlo или Diffusion Monte Carlo. Эти эволюционные алгоритмы ветвящегося типа основаны на мутационных и селекционных переходах. Во время мутационного перехода ходоки эволюционируют случайным образом и независимо в ландшафте потенциальной энергии конфигураций частиц. Процесс выбора среднего поля (он же квантовая телепортация, реконфигурация популяции, переход с повторной выборкой) связан с функцией приспособленности, которая отражает поглощение частиц в энергетической яме. Конфигурации с низкой относительной энергией дублируются с большей вероятностью. В молекулярной химии и статистической физике методы среднего поля частиц также используются для выборки мер Больцмана-Гиббса, связанных с некоторым графиком охлаждения, и для вычисления их нормализующих констант (также известных как свободные энергии или статистические суммы). ^{[2] [67] [68] [69]}

В вычислительной биологии и, более конкретно, в популяционной генетике , пространственные ветвящиеся процессы с механизмами конкурентного отбора и миграции также могут быть представлены моделями динамики популяций генетического типа среднего поля . ^{[4] [70]} Первые моменты мер занятости пространственного ветвящегося процесса задаются потоками распределения Фейнмана-Каца. ^{[71] [72]} Аппроксимация этих потоков генетического типа среднего поля предлагает интерпретацию этих ветвящихся процессов с фиксированным размером популяции. ^{[2] [3] [73]} Вероятности вымирания можно интерпретировать как вероятности поглощения некоторого марковского процесса, развивающегося в некоторой поглощающей среде. Эти модели поглощения представлены моделями Фейнмана-Каца. ^{[74] [75] [76] [77]} Долговременное поведение этих процессов, обусловленное неугасанием, может быть выражено эквивалентным образом с помощью квазиинвариантных мер , пределов Яглома , ^[78] или инвариантных мер нелинейных нормированных фейнмановских -Кац течет. ^{[2] [3] [54] [55] [66] [79]}

В компьютерных науках , и, в частности, в искусственном интеллекте, эти генетические алгоритмы типа среднего поля используются в качестве эвристики случайного поиска, которая имитирует процесс эволюции для генерации полезных решений сложных задач оптимизации. ^{[80] [81] [82]} Эти алгоритмы стохастического поиска относятся к классу эволюционных моделей . Идея состоит в том, чтобы распространить популяцию возможных решений-кандидатов, используя механизмы мутации и отбора. Взаимодействие среднего поля между особями заключено в механизмах отбора и перекрестного взаимодействия.

В играх среднего поля и теориях многоагентных взаимодействующих систем процессы среднего поля частиц используются для представления коллективного поведения сложных систем с взаимодействующими индивидуумами. ^{[83] [84] [85] [86] [87] [88] [89] [90]} В этом контексте взаимодействие среднего поля инкапсулируется в процессе принятия решений взаимодействующими агентами. Предельную модель, когда число агентов стремится к бесконечности, иногда называют континуальной моделью агентов ^[91].

В теории информации и, более конкретно, в статистическом машинном обучении и обработке сигналов , методы средних частиц поля используются для последовательной выборки из условных распределений некоторого случайного процесса относительно последовательности наблюдений или каскада редких событий . ^{[2] [3] [73] [92]} В задачах нелинейной фильтрации с дискретным временем условные распределения случайных состояний сигнала с учетом частичных и зашумленных наблюдений удовлетворяют нелинейному уравнению эволюции прогнозирования обновления. Шаг обновления задается правилом Байеса , а шаг прогнозирования представляет собой уравнение переноса Чепмена-Колмогорова . Интерпретация этих уравнений нелинейной фильтрации частиц среднего поля представляет собой алгоритм частиц выбора-мутации генетического типа ^[48] . На этапе мутации частицы развиваются независимо друг от друга в соответствии с марковскими переходами сигнала. На этапе отбора частицы с малыми значениями относительной вероятности уничтожаются, а частицы с высокими относительными значениями умножаются. ^{[93] [94]} Эти методы среднего поля частиц также используются для решения задач отслеживания нескольких объектов, и, более конкретно, для оценки мер ассоциации ^{[2] [73] [95]}

Версия этих моделей частиц с непрерывным временем представляет собой интерпретацию частиц типа Морана в среднем поле уравнений эволюции робастных оптимальных фильтров или стохастического уравнения в частных производных Кушнера-Стратонотича. ^{[4] [31] [94]} Эти алгоритмы частиц среднего поля генетического типа, также называемые фильтрами частиц и последовательными методами Монте-Карло, широко и регулярно используются в исследованиях операций и статистических выводах. ^{[96] [97] [98]} Термин «фильтры частиц» был впервые введен в 1996 году Дель Моралем, ^[41] и термин «последовательный Монте-Карло» Лю и Ченом в 1998 году. Моделирование подмножества и расщепление Монте-Карло ^{[99] ]} методы являются частными примерами схем генетических частиц и моделей частиц Фейнмана-Каца, оснащенных мутационными переходами Монте-Карло цепи Маркова ^{[67] [100] [101]}

Иллюстрации метода моделирования среднего поля

Счётные модели пространства состояний

Чтобы мотивировать алгоритм моделирования среднего поля, мы начинаем с S , конечного или счетного пространства состояний , и позволяем P ( S ) обозначать набор всех вероятностных мер на S. Рассмотрим последовательность распределений вероятностей на S , удовлетворяющую эволюционному уравнению: ${\displaystyle (\eta _{0},\eta _{1},\cdots )}$

для некоторого, возможно, нелинейного отображения. Эти распределения задаются векторами ${\displaystyle \Phi :P(S)\to P(S).}$

${\displaystyle \eta _{n}=(\eta _{n}(x))_{x\in S},}$

которые удовлетворяют:

${\displaystyle 0\leqslant \eta _{n}(x)\leqslant 1,\qquad \sum \nolimits _{x\in S}\eta _{n}(x)=1.}$

Следовательно, является отображением -единичного симплекса в себя, где s обозначает мощность множества S . Когда s слишком велико, решение уравнения ( 1 ) затруднительно или требует очень больших вычислительных затрат. Одним из естественных способов аппроксимации этих эволюционных уравнений является последовательное сокращение пространства состояний с использованием модели частиц среднего поля. Одна из простейших схем моделирования среднего поля определяется цепью Маркова. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (s-1)}$

${\displaystyle \xi _{n}^{(N)}=\left(\xi _{n}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{n}^{(N,N)}\right)}$

на пространстве продуктов , начиная с N независимых случайных величин с распределением вероятностей и элементарными переходами ${\displaystyle S^{N}}$ ${\displaystyle \eta _{0}}$

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left.\xi _{n+1}^{(N,1)}=y^{1},\cdots ,\xi _{n+1}^{(N,N)}=y^{N}\right|\xi _{n}^{(N)}\right)=\prod _{i=1}^{N}\Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)\left(y^{i}\right),}$

с эмпирической мерой

${\displaystyle \eta _{n}^{N}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}1_{\xi _{n}^{(N,j)}}}$

где – индикаторная функция состояния x . ${\displaystyle 1_{x}}$

Другими словами, данные выборки представляют собой независимые случайные величины с распределением вероятностей . Обоснование этого метода моделирования среднего поля следующее: Мы ожидаем, что когда является хорошим приближением , то является приближением . Таким образом, поскольку является эмпирической мерой N условно независимых случайных величин с общим распределением вероятностей , мы ожидаем , что это будет хорошее приближение . ${\displaystyle \xi _{n}^{(N)}}$ ${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N)}}$ ${\displaystyle \Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)}$ ${\displaystyle \eta _{n}^{N}}$ ${\displaystyle \eta _{n}}$ ${\displaystyle \Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)}$ ${\displaystyle \Phi \left(\eta _{n}\right)=\eta _{n+1}}$ ${\displaystyle \eta _{n+1}^{N}}$ ${\displaystyle \Phi \left(\eta _{n}^{N}\right)}$ ${\displaystyle \eta _{n+1}^{N}}$ ${\displaystyle \eta _{n+1}}$

Другая стратегия — найти коллекцию

${\displaystyle K_{\eta _{n}}=\left(K_{\eta _{n}}(x,y)\right)_{x,y\in S}}$

стохастических матриц, индексированных так, что ${\displaystyle \eta _{n}\in P(S)}$

Эта формула позволяет интерпретировать последовательность как распределения вероятностей случайных состояний модели нелинейной цепи Маркова с элементарными переходами. ${\displaystyle (\eta _{0},\eta _{1},\cdots )}$ ${\displaystyle \left({\overline {X}}_{0},{\overline {X}}_{1},\cdots \right)}$

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left.{\overline {X}}_{n+1}=y\right|{\overline {X}}_{n}=x\right)=K_{\eta _{n}}(x,y),\qquad {\text{Law}}({\overline {X}}_{n})=\eta _{n}.}$

Совокупность марковских переходов , удовлетворяющих уравнению ( 1 ), называется маккиновской интерпретацией последовательности мер . Интерпретация ( 2 ) частицами среднего поля теперь определяется цепью Маркова ${\displaystyle K_{\eta _{n}}}$ ${\displaystyle \eta _{n}}$

${\displaystyle \xi _{n}^{(N)}=\left(\xi _{n}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{n}^{(N,N)}\right)}$

в пространстве произведений , начиная с N независимых случайных копий и элементарных переходов ${\displaystyle S^{N}}$ ${\displaystyle X_{0}}$

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left.\xi _{n+1}^{(N,1)}=y^{1},\cdots ,\xi _{n+1}^{(N,N)}=y^{N}\right|\xi _{n}^{(N)}\right)=\prod _{i=1}^{N}K_{n+1,\eta _{n}^{N}}\left(\xi _{n}^{(N,i)},y^{i}\right),}$

с эмпирической мерой

${\displaystyle \eta _{n}^{N}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}1_{\xi _{n}^{(N,j)}}}$

При некоторых слабых условиях регулярности ^[2] на отображении для любой функции имеет место сходимость почти наверняка ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle f:S\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}f\left(\xi _{n}^{(N,j)}\right)\to _{N\uparrow \infty }E\left(f({\overline {X}}_{n})\right)=\sum _{x\in S}\eta _{n}(x)f(x)}$

Эти нелинейные марковские процессы и их интерпретация частиц среднего поля могут быть распространены на неоднородные по времени модели в общих измеримых пространствах состояний. ^[2]

Модели Фейнмана-Каца

Чтобы проиллюстрировать абстрактные модели, представленные выше, рассмотрим стохастическую матрицу и некоторую функцию . Сопоставим этим двум объектам отображение ${\displaystyle M=(M(x,y))_{x,y\in S}}$ ${\displaystyle G:S\to (0,1)}$

${\displaystyle {\begin{cases}\Phi :P(S)\to P(S)\\(\eta _{n}(x))_{x\in S}\mapsto \left(\Phi (\eta _{n})(y)\right)_{y\in S}\end{cases}}\qquad \Phi (\eta _{n})(y)=\sum _{x\in S}\Psi _{G}(\eta _{n})(x)M(x,y)}$

и меры Больцмана-Гиббса, определенные формулой ${\displaystyle \Psi _{G}(\eta _{n})(x)}$

${\displaystyle \Psi _{G}(\eta _{n})(x)={\frac {\eta _{n}(x)G(x)}{\sum _{z\in S}\eta _{n}(z)G(z)}}.}$

Обозначим совокупность стохастических матриц, индексированных заданными как ${\displaystyle K_{\eta _{n}}=\left(K_{\eta _{n}}(x,y)\right)_{x,y\in S}}$ ${\displaystyle \eta _{n}\in P(S)}$

${\displaystyle K_{\eta _{n}}(x,y)=\epsilon G(x)M(x,y)+(1-\epsilon G(x))\Phi (\eta _{n})(y)}$

по какому-то параметру . Легко проверить, что уравнение ( 2 ) удовлетворяется. Кроме того, мы также можем показать (см., например, ^[3] ), что решение ( 1 ) дается формулой Фейнмана-Каца ${\displaystyle \epsilon \in [0,1]}$

${\displaystyle \eta _{n}(x)={\frac {E\left(1_{x}(X_{n})\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p})\right)}{E\left(\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p})\right)}},}$

с цепью Маркова с начальным распределением и марковским переходом M . ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle \eta _{0}}$

Для любой функции у нас есть ${\displaystyle f:S\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle \eta _{n}(f):=\sum _{x\in S}\eta _{n}(x)f(x)={\frac {E\left(f(X_{n})\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p})\right)}{E\left(\prod _{p=0}^{n-1}G(X_{p})\right)}}}$

Если – единичная функция и , то мы имеем ${\displaystyle G(x)=1}$ ${\displaystyle \epsilon =1}$

${\displaystyle K_{\eta _{n}}(x,y)=M(x,y)=\mathbf {P} \left(\left.X_{n+1}=y\right|X_{n}=x\right),\qquad \eta _{n}(x)=E\left(1_{x}(X_{n})\right)=\mathbf {P} (X_{n}=x).}$

И уравнение ( 2 ) сводится к уравнению Чепмена-Колмогорова

${\displaystyle \eta _{n+1}(y)=\sum _{x\in S}\eta _{n}(x)M(x,y)\qquad \Leftrightarrow \qquad \mathbf {P} \left(X_{n+1}=y\right)=\sum _{x\in S}\mathbf {P} (X_{n+1}=y|X_{n}=x)\mathbf {P} \left(X_{n}=x\right)}$

Интерпретация этой модели Фейнмана-Каца для частиц среднего поля определяется путем последовательной выборки N условно независимых случайных величин с распределением вероятностей. ${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N,i)}}$

${\displaystyle K_{n+1,\eta _{n}^{N}}\left(\xi _{n}^{(N,i)},y\right)=\epsilon G\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)M\left(\xi _{n}^{(N,i)},y\right)+\left(1-\epsilon G\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)\right)\sum _{j=1}^{N}{\frac {G\left(\xi _{n}^{(N,j)}\right)}{\sum _{k=1}^{N}G\left(\xi _{n}^{(N,k)}\right)}}M\left(\xi _{n}^{(N,j)},y\right)}$

Другими словами, с вероятностью частица переходит в новое состояние, случайно выбранное с распределением вероятностей ; в противном случае переходит в новое место, случайно выбранное с вероятностью, пропорциональной и переходит в новое состояние, случайно выбранное с распределением вероятностей. Если - единичная функция и , взаимодействие между частицей исчезает, и модель частицы сводится к последовательности независимых копий. цепи Маркова . Когда описанная выше модель частицы среднего поля сводится к простому генетическому алгоритму выбора мутации с функцией приспособленности G и переходом мутации M . Эти нелинейные модели цепей Маркова и их интерпретация частиц среднего поля могут быть расширены до неоднородных по времени моделей в общих измеримых пространствах состояний (включая переходные состояния, пространства путей и пространства случайных отклонений) и моделей с непрерывным временем. ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle \epsilon G\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)}$ ${\displaystyle \xi _{n}^{(N,i)}}$ ${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N,i)}=y}$ ${\displaystyle M\left(\xi _{n}^{(N,i)},y\right)}$ ${\displaystyle \xi _{n}^{(N,i)}}$ ${\displaystyle \xi _{n}^{(N,j)}}$ ${\displaystyle G\left(\xi _{n}^{(N,j)}\right)}$ ${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N,i)}=y}$ ${\displaystyle M\left(\xi _{n}^{(N,j)},y\right).}$ ${\displaystyle G(x)=1}$ ${\displaystyle \epsilon =1}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle \epsilon =0}$

Гауссовы нелинейные модели пространства состояний

Рассмотрим последовательность действительных случайных величин , определяемую последовательно уравнениями ${\displaystyle \left({\overline {X}}_{0},{\overline {X}}_{1},\cdots \right)}$

с набором независимых стандартных гауссовских случайных величин, положительным параметром σ , некоторыми функциями и некоторым стандартным гауссовским начальным случайным состоянием . Мы позволяем быть распределением вероятностей случайного состояния ; то есть для любой ограниченной измеримой функции f имеем ${\displaystyle W_{n}}$ ${\displaystyle a,b,c:\mathbf {R} \to \mathbf {R} ,}$ ${\displaystyle {\overline {X}}_{0}}$ ${\displaystyle \eta _{n}}$ ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$

${\displaystyle E\left(f({\overline {X}}_{n})\right)=\int _{\mathbf {R} }f(x)\eta _{n}(dx),}$

с

${\displaystyle \mathbf {P} \left({\overline {X}}_{n}\in dx\right)=\eta _{n}(dx)}$

Интеграл является интегралом Лебега , а dx обозначает бесконечно малую окрестность состояния x . Марковский переход цепи задается для любых ограниченных измеримых функций f формулой

${\displaystyle E\left(\left.f\left({\overline {X}}_{n+1}\right)\right|{\overline {X}}_{n}=x\right)=\int _{\mathbf {R} }K_{\eta _{n}}(x,dy)f(y),}$

с

${\displaystyle K_{\eta _{n}}(x,dy)=\mathbf {P} \left(\left.{\overline {X}}_{n+1}\in dy\right|{\overline {X}}_{n}=x\right)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp {\left\{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}\left(y-\left[b(x)\int _{\mathbf {R} }a(z)\eta _{n}(dz)+c(x)\right]\right)^{2}\right\}}dy}$

Используя свойство башни условных ожиданий , мы доказываем, что распределения вероятностей удовлетворяют нелинейному уравнению ${\displaystyle \eta _{n}}$

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} }\eta _{n+1}(dy)f(y)=\int _{\mathbf {R} }\left[\int _{\mathbf {R} }\eta _{n}(dx)K_{\eta _{n}}(x,dy)\right]f(y)}$

для любых ограниченных измеримых функций f . Иногда это уравнение записывают в более синтетической форме

${\displaystyle \eta _{n+1}=\Phi \left(\eta _{n}\right)=\eta _{n}K_{\eta _{n}}\quad \Leftrightarrow \quad \eta _{n+1}(dy)=\left(\eta _{n}K_{\eta _{n}}\right)(dy)=\int _{x\in \mathbf {R} }\eta _{n}(dx)K_{\eta _{n}}(x,dy)}$

Интерпретация этой модели частицами среднего поля определяется цепью Маркова.

${\displaystyle \xi _{n}^{(N)}=\left(\xi _{n}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{n}^{(N,N)}\right)}$

на пространстве продукта с помощью ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$

${\displaystyle \xi _{n+1}^{(N,i)}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}a\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)\right)b\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)+c\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)+\sigma W_{n}^{i}\qquad 1\leqslant i\leqslant N}$

где

${\displaystyle \xi _{0}^{(N)}=\left(\xi _{0}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{0}^{(N,N)}\right),\qquad \left(W_{n}^{1},\cdots ,W_{n}^{N}\right)}$

обозначают N независимых копий и соответственно. Для регулярных моделей (например, для ограниченных липшицевых функций a , b , c ) мы имеем сходимость почти наверняка ${\displaystyle {\overline {X}}_{0}}$ ${\displaystyle W_{n};n\geqslant 1,}$

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}f\left(\xi _{n}^{(N,i)}\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{n}^{N}(dy)\to _{N\uparrow \infty }E\left(f({\overline {X}}_{n})\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{n}(dy),}$

с эмпирической мерой

${\displaystyle \eta _{n}^{N}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}\delta _{\xi _{n}^{(N,i)}}}$

для любых ограниченных измеримых функций f (см., например, ^[2] ). На приведенном выше изображении обозначает меру Дирака в состоянии x . ${\displaystyle \delta _{x}}$

Модели среднего поля в непрерывном времени

Мы рассматриваем стандартное броуновское движение (также известное как винеровский процесс ), оцениваемое на последовательности временной сетки с заданным шагом по времени . Выбираем в уравнении ( 1 ), заменяем и σ на и и пишем вместо значений случайных состояний, оцененных на временном шаге. Вспоминая, что это независимые центрированные гауссовские случайные величины с дисперсией, полученное уравнение можно переписать в следующем виде форма ${\displaystyle {\overline {W}}_{t_{n}}}$ ${\displaystyle t_{0}=0<t_{1}<\cdots <t_{n}<\cdots }$ ${\displaystyle t_{n}-t_{n-1}=h}$ ${\displaystyle c(x)=x}$ ${\displaystyle b(x)}$ ${\displaystyle b(x)\times h}$ ${\displaystyle \sigma \times {\sqrt {h}}}$ ${\displaystyle {\overline {X}}_{t_{n}}}$ ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$ ${\displaystyle t_{n}.}$ ${\displaystyle \left({\overline {W}}_{t_{n+1}}-{\overline {W}}_{t_{n}}\right)}$ ${\displaystyle t_{n}-t_{n-1}=h,}$

Когда h → 0, приведенное выше уравнение сходится к нелинейному процессу диффузии

${\displaystyle d{\overline {X}}_{t}=E\left(a\left({\overline {X}}_{t}\right)\right)b({\overline {X}}_{t})dt+\sigma d{\overline {W}}_{t}}$

Модель среднего поля с непрерывным временем, связанная с этими нелинейными диффузиями, представляет собой (взаимодействующий) процесс диффузии в пространстве продукта, определяемый формулой ${\displaystyle \xi _{t}^{(N)}=\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)_{1\leqslant i\leqslant N}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{N}}$

${\displaystyle d\xi _{t}^{(N,i)}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}a\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)\right)b\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)+\sigma d{\overline {W}}_{t}^{i}\qquad 1\leqslant i\leqslant N}$

где

${\displaystyle \xi _{0}^{(N)}=\left(\xi _{0}^{(N,1)},\cdots ,\xi _{0}^{(N,N)}\right),\qquad \left({\overline {W}}_{t}^{1},\cdots ,{\overline {W}}_{t}^{N}\right)}$

являются N независимыми копиями и Для регулярных моделей (например, для ограниченных липшицевых функций a , b ) мы имеем сходимость почти наверняка ${\displaystyle {\overline {X}}_{0}}$ ${\displaystyle {\overline {W}}_{t}.}$

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}f\left(\xi _{t}^{(N,i)}\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{t}^{N}(dy)\to _{N\uparrow \infty }E\left(f({\overline {X}}_{t})\right)=\int _{\mathbf {R} }f(y)\eta _{t}(dy)}$,

с и эмпирическая мера ${\displaystyle \eta _{t}={\text{Law}}\left({\overline {X}}_{t}\right),}$

${\displaystyle \eta _{t}^{N}={\frac {1}{N}}\sum _{j=1}^{N}\delta _{\xi _{t}^{(N,i)}}}$

для любых ограниченных измеримых функций f (см., например, ^[7] ). Эти нелинейные марковские процессы и их интерпретация частиц среднего поля могут быть распространены на взаимодействующие процессы скачко-диффузии ^{[1] [2] [23] [25]}

Рекомендации

1. Колокольцов, Василий (2010). Нелинейные марковские процессы . Кембриджский университет. Нажимать. п. 375.
2. Дель Мораль, Пьер (2013). Моделирование среднего поля для интегрирования Монте-Карло. Монографии по статистике и прикладной теории вероятности. Том. 126. ИСБН 9781466504059.
3. Дель Мораль, Пьер (2004). Формулы Фейнмана-Каца. Генеалогические аппроксимации и взаимодействующие частицы. Вероятность и ее приложения. Спрингер. п. 575. ИСБН 9780387202686. Серия: Вероятность и приложения
4. Дель Мораль, Пьер; Микло, Лоран (2000). «Аппроксимация формул Фейнмана-Каца ветвящимися и взаимодействующими системами частиц с применением к нелинейной фильтрации». Семинар вероятностей XXXIV (PDF) . Конспект лекций по математике. Том. 1729. стр. 1–145. дои : 10.1007/bfb0103798. ISBN 978-3-540-67314-9.
5. Маккин, Генри, П. (1967). «Распространение хаоса для класса нелинейных параболических уравнений». Серия лекций по дифференциальным уравнениям, Католический университет . 7 : 41–57.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
6. Мелеар, Сильви ; Рулли, Сильви (1987). «Результат распространения хаоса для системы частиц с умеренным взаимодействием». Стох. Учеб. И аппл . 26 : 317–332. дои : 10.1016/0304-4149(87)90184-0 .
7. Шнитман, Ален-Соль (1991). Темы распространения хаоса . Шпрингер, Берлин. стр. 164–251. Летняя школа вероятностей Сен-Флур, 1989 г.
8. Кац, Марк (1976). Вероятность и смежные темы в физических науках . Темы физических наук. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд.
9. Маккин, Генри, П. (1966). «Класс марковских процессов, связанных с нелинейными параболическими уравнениями». Учеб. Натл. акад. наук. США . 56 (6): 1907–1911. Бибкод : 1966ПНАС...56.1907М. дои : 10.1073/pnas.56.6.1907 . ПМК 220210 . ПМИД  16591437. {{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
10. Браун, Вернер; Хепп, Клаус (1977). «Власовская динамика и ее флуктуации в первом пределе взаимодействующих классических частиц». Связь в математической физике . 56 (2): 101–113. Бибкод : 1977CMaPh..56..101B. дои : 10.1007/bf01611497. S2CID  55238868.
11. Ольшлегер, Карл (1984). «Мартингальный подход к закону больших чисел для слабо взаимодействующих случайных процессов». Анна. Вероятно . 12 (2): 458–479. дои : 10.1214/aop/1176993301 .
12. Ольшлегер, Карл (1989). «О выводе уравнений реакции-диффузии как предела динамики систем умеренно взаимодействующих случайных процессов». Проб. Т.е. Отн. Поля . 82 (4): 565–586. дои : 10.1007/BF00341284 . S2CID  115773110.
13. Ольшлегер, Карл (1990). «Большие системы взаимодействующих частиц и уравнение пористой среды». Дж. Дифференциальные уравнения . 88 (2): 294–346. Бибкод : 1990JDE....88..294O. дои : 10.1016/0022-0396(90)90101-т .
14. Бен Арус, Жерар; Брюно, Марк (1990). «Метод Лапласа: вариационный этюд колебаний диффузии типа «чемпион мой».". Стохастика . 31 : 79–144. doi : 10.1080/03610919008833649.
15. Доусон, Дональд; Вайанкур, Жан (1995). «Стохастические уравнения Маккина-Власова». Нелинейные дифференциальные уравнения и их приложения . 2 (2): 199–229. дои : 10.1007/bf01295311. S2CID  121652411.
16. Доусон, Дональд; Гартнер, Юрген (1987). «Большие отклонения от предела Маккина-Власова для слабо взаимодействующих диффузий». Стохастика . 20 (4): 247–308. дои : 10.1080/17442508708833446. S2CID  122536900.
17. Гартнер, Юрген (1988). «Й. ГЭРТНЕР, О пределе Маккина-Власова для взаимодействующих диффузий». Математика. Нахр . 137 : 197–248. дои : 10.1002/мана.19881370116.
18. Леонар, Кристиан (1986). «Une loi des grands nombres pour des systèmes de диффузии с взаимодействием и не имеющими коэффициентов». Анналы Института Анри Пуанкаре . 22 : 237–262.
19. Шнитман, Ален-Соль (1984). «Нелинейный отражающий диффузионный процесс и распространение хаоса и связанных с ним колебаний». Дж. Функц. Анал . 36 (3): 311–336. дои : 10.1016/0022-1236(84)90080-6.
20. Танака, Хироши (1984). «Танака, Х.: Предельные теоремы для некоторых диффузионных процессов с взаимодействием». Труды Международного симпозиума Танигучи по стохастическому анализу : 469–488. дои : 10.1016/S0924-6509(08)70405-7.
21. Грюнбаум., Ф. Альберто (1971). «Распространение хаоса для уравнения Больцмана». Архив рациональной механики и анализа . 42 (5): 323–345. Бибкод : 1971ArRMA..42..323G. дои : 10.1007/BF00250440. S2CID  118165282.
22. Сига, Токузо; Танака, Хироши (1985). «Центральная предельная теорема для системы марковских частиц со средним полем взаимодействия». Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete . 69 (3): 439–459. дои : 10.1007/BF00532743 . S2CID  121905550.
23. Грэм, Карл (1992). «Нелинейные диффузии со скачками». Анна. ИГП . 28 (3): 393–402.
24. Мелеар, Сильви (1996). «Асимптотическое поведение некоторых взаимодействующих систем частиц; модели Маккина-Власова и Больцмана». Вероятностные модели для нелинейных уравнений в частных производных (Монтекатини Терме, 1995) . Конспект лекций по математике. Том. 1627. стр. 42–95. дои : 10.1007/bfb0093177. ISBN 978-3-540-61397-8.
25. Грэм, Карл; Мелеар, Сильви (1997). «Приближения стохастических частиц для обобщенных моделей Больцмана и оценки сходимости». Анналы вероятности . 25 (1): 115–132. дои : 10.1214/аоп/1024404281 .
26. Герман, Кан; Харрис, Теодор, Э. (1951). «Оценка пропускания частиц методом случайной выборки» (PDF) . Натл. Бур. Стоять. Прил. Математика. Сер . 12 :27–30.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
27. Тьюринг, Алан М. (октябрь 1950 г.). «Вычислительная техника и интеллект». Разум . ЛИКС (238): 433–460. дои : 10.1093/mind/LIX.236.433.
28. Барричелли, Нильс Аалл (1954). «Числовые примеры процесса эволюции». Методы : 45–68.
29. Барричелли, Нильс Аалл (1957). «Процессы симбиогенной эволюции, реализуемые искусственными методами». Методы : 143–182.
30. Фрейзер, Алекс (1957). «Моделирование генетических систем на автоматических цифровых вычислительных машинах. I. Введение». Ауст. Ж. Биол. Наука . 10 : 484–491. дои : 10.1071/BI9570484 .
31. Дель Мораль, Пьер; Микло, Лоран (2000). «Аппроксимация системы частиц Морана формул Фейнмана-Каца». Случайные процессы и их приложения . 86 (2): 193–216. дои : 10.1016/S0304-4149(99)00094-0.
32. Дель Мораль, Пьер (2003). «Частичные аппроксимации показателей Ляпунова, связанные с операторами Шредингера и полугруппами Фейнмана-Каца». ESAIM Вероятность и статистика . 7 : 171–208. дои : 10.1051/ps:2003001 .
33. Ассараф, Роланд; Каффарель, Мишель; Хелиф, Анатоль (2000). «Диффузионные методы Монте-Карло с фиксированным количеством ходоков» (PDF) . Физ. Преподобный Е. 61 (4): 4566–4575. Бибкод : 2000PhRvE..61.4566A. doi : 10.1103/physreve.61.4566. PMID  11088257. Архивировано из оригинала (PDF) 7 ноября 2014 г.
34. Каффарель, Мишель; Сеперли, Дэвид; Калос, Мальвин (1993). «Комментарий к расчету интегральных путей Фейнмана-Каца энергий основного состояния атомов». Физ. Преподобный Летт . 71 (13): 2159. Бибкод : 1993PhRvL..71.2159C. doi : 10.1103/physrevlett.71.2159. ПМИД  10054598.
35. Хетерингтон, Джек, Х. (1984). «Наблюдения за статистической итерацией матриц». Физ. Преподобный А. 30 (2713): 2713–2719. Бибкод : 1984PhRvA..30.2713H. doi : 10.1103/PhysRevA.30.2713.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
36. Ферми, Энрике; Рихтмайер, Роберт, Д. (1948). «Примечание о проведении переписи населения в расчетах Монте-Карло» (PDF) . ЛАМ . 805 (А). Рассекреченный отчет Лос-Аламосского архива{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
37. Розенблут, Маршалл, Н.; Розенблут, Арианна, В. (1955). «Расчеты Монте-Карло среднего удлинения макромолекулярных цепей». Дж. Хим. Физ . 23 (2): 356–359. Бибкод : 1955JChPh..23..356R. дои : 10.1063/1.1741967 . S2CID  89611599.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
38. Гордон, Нью-Джерси; Салмонд, диджей; Смит, AFM (1993). «Новый подход к оценке нелинейного/негауссовского байесовского состояния». Труды IEE F-радар и обработка сигналов . 140 (2): 107–113. дои : 10.1049/ip-f-2.1993.0015 . Проверено 19 сентября 2009 г.
39. Китагава, Г. (1996). «Фильтр Монте-Карло и сглаживатель для негауссовских нелинейных моделей в пространстве состояний». Журнал вычислительной и графической статистики . 5 (1): 1–25. дои : 10.2307/1390750. JSTOR  1390750.
40. Карвалью, Химилькон; Дель Мораль, Пьер; Монен, Андре; Салют, Жерар (июль 1997 г.). «Оптимальная нелинейная фильтрация при интеграции GPS/INS» (PDF) . Транзакции IEEE по аэрокосмическим и электронным системам . 33 (3): 835. Бибкод : 1997ITAES..33..835C. дои : 10.1109/7.599254. S2CID  27966240. Архивировано из оригинала (PDF) 10 ноября 2022 г. Проверено 3 сентября 2014 г.
41. Дель Мораль, Пьер (1996). «Нелинейная фильтрация: решение взаимодействующих частиц» (PDF) . Марковские процессы и связанные с ними области . 2 (4): 555–580. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 29 августа 2014 г.
42. П. Дель Мораль, Г. Ригал и Г. Салют. Оценка и нелинейное оптимальное управление: унифицированная основа для растворов частиц
    LAAS-CNRS, Тулуза, отчет об исследованиях №. 91137, контракт DRET-DIGILOG-LAAS/CNRS, апрель (1991 г.).
43. П. Дель Мораль, Г. Ригал и Г. Салют. Нелинейные и негауссовы фильтры частиц, применяемые для перемещения инерциальной платформы.
    LAAS-CNRS, Тулуза, отчет об исследовании №. 92207, STCAN/DIGILOG-LAAS/CNRS Конвенция STCAN №. А.91.77.013, (94с.) сентябрь (1991).
44. П. Дель Мораль, Г. Ригал и Г. Салют. Оценка и нелинейное оптимальное управление: Разрешение частиц при фильтрации и оценке. Результаты эксперимента.
    Конвенция DRET №. 89.34.553.00.470.75.01, Отчет об исследовании № 2 (54 стр.), январь (1992 г.).
45. П. Дель Мораль, Г. Ригал и Г. Салют. Оценка и нелинейное оптимальное управление: Разрешение частиц при фильтрации и оценке. Теоретические результаты
    . Конвенция DRET №. 89.34.553.00.470.75.01, Отчет об исследовании № 3 (123 стр.), октябрь (1992 г.).
46. П. Дель Мораль, Ж.-Ч. Нойер, Г. Ригаль и Г. Салют. Фильтры частиц в обработке радиолокационных сигналов: обнаружение, оценка и распознавание воздушных целей.
    LAAS-CNRS, Тулуза, отчет об исследовании №. 92495, декабрь (1992 г.).
47. П. Дель Мораль, Г. Ригал и Г. Салют. Оценка и нелинейное оптимальное управление: Разрешение частиц при фильтрации и оценке.
    Исследования по теме: Фильтрация, оптимальное управление и оценка максимального правдоподобия. Конвенция DRET №. 89.34.553.00.470.75.01. Отчет об исследовании № 4 (210 стр.), январь (1993 г.).
48. Дель Мораль, Пьер (1996). «Нелинейная фильтрация: решение взаимодействующих частиц» (PDF) . Марковские процессы и связанные с ними области . 2 (4): 555–580. Архивировано из оригинала (PDF) 4 марта 2016 г. Проверено 29 августа 2014 г.
49. Дель Мораль, Пьер (1998). «Мерные процессы и взаимодействующие системы частиц. Применение к задачам нелинейной фильтрации». Анналы прикладной вероятности (Publications du Laboratoire de Statistique et Probabilités, 96-15 (1996) изд.). 8 (2): 438–495. дои : 10.1214/aoap/1028903535 .
50. Крисан, Дэн; Гейнс, Джессика; Лайонс, Терри (1998). «Сходимость метода ветвящихся частиц к решению Закая». SIAM Journal по прикладной математике . 58 (5): 1568–1590. дои : 10.1137/s0036139996307371. S2CID  39982562.
51. Крисан, Дэн; Лайонс, Терри (1997). «Нелинейная фильтрация и измерительные процессы». Теория вероятностей и смежные области . 109 (2): 217–244. дои : 10.1007/s004400050131 . S2CID  119809371.
52. Крисан, Дэн; Лайонс, Терри (1999). «Частичная аппроксимация решения уравнения Кушнера – Стратоновича». Теория вероятностей и смежные области . 115 (4): 549–578. дои : 10.1007/s004400050249 . S2CID  117725141.
53. Крисан, Дэн; Дель Мораль, Пьер; Лайонс, Терри (1999). «Дискретная фильтрация с использованием ветвящихся и взаимодействующих систем частиц» (PDF) . Марковские процессы и связанные с ними области . 5 (3): 293–318.
54. Дель Мораль, Пьер; Гионне, Алиса (2001). «Об устойчивости взаимодействующих процессов с приложениями к фильтрующим и генетическим алгоритмам». Анналы Института Анри Пуанкаре . 37 (2): 155–194. Бибкод : 2001AIHPB..37..155D. дои : 10.1016/s0246-0203(00)01064-5.
55. Дель Мораль, Пьер; Гионне, Алиса (1999). «Об устойчивости мерозначных процессов с приложениями к фильтрации». ЧР акад. наук. Париж . 39 (1): 429–434.
56. Мальрье, Флоран (2001). «Логарифмические неравенства Соболева для некоторых нелинейных УЧП». Стохастический процесс. Приложение . 95 (1): 109–132. дои : 10.1016/s0304-4149(01)00095-3. S2CID  13915974.
57. Дель Мораль, Пьер; Микло, Лоран (2001). «Генеалогии и растущее распространение хаоса для Фейнмана-Каца и генетических моделей». Анналы прикладной теории вероятности . 11 (4): 1166–1198.
58. Дель Мораль, Пьер; Дусе, Арно; Сингх, Сумитпал, С. (2010). «Интерпретация формул Фейнмана-Каца обратными частицами» (PDF) . М2АН . 44 (5): 947–976. arXiv : 0908.2556 . дои : 10.1051/м2ан/2010048. S2CID  14758161.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
59. Дель Мораль, Пьер; Дусе, Арно; Ясра, Аджай (2012). «О процедурах адаптивной повторной выборки для последовательных методов Монте-Карло» (PDF) . Бернулли . 18 (1): 252–278. arXiv : 1203.0464 . дои : 10.3150/10-bej335. S2CID  4506682.
60. Верже, Кристель; Дюбарри, Сирил; Дель Мораль, Пьер; Мулен, Эрик (2013). «О параллельной реализации последовательных методов Монте-Карло: модель островных частиц». Статистика и вычисления . 25 (2): 243–260. arXiv : 1306.3911 . Бибкод : 2013arXiv1306.3911V. doi : 10.1007/s11222-013-9429-x. S2CID  39379264.
61. Шопен, Николя; Джейкоб, Пьер, Э.; Папаспилиопулос, Омирос (2011). «SMC^2: эффективный алгоритм последовательного анализа моделей в пространстве состояний». arXiv : 1101.1528v3 [stat.CO].{{cite arXiv}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
62. Андрие, Кристоф; Дусе, Арно; Холенштейн, Роман (2010). «Методы Монте-Карло для цепей Маркова». Журнал Королевского статистического общества, серия B. 72 (3): 269–342. дои : 10.1111/j.1467-9868.2009.00736.x .
63. Дель Мораль, Пьер; Патры, Фредерик; Кон, Роберт (2014). «О моделях Монте-Карло Фейнмана-Каца и частиц Марковской цепи». arXiv : 1404,5733 [мат.PR].
64. Черчиньяни, Карло; Иллнер, Рейнхард; Пульвиренти, Марио (1994). Математическая теория разбавленных газов . Спрингер.
65. Шрёдингер, Эрвин (1926). «Волновая теория механики атомов и молекул». Физический обзор . 28 (6): 1049–1070. Бибкод : 1926PhRv...28.1049S. doi : 10.1103/physrev.28.1049.
66. Дель Мораль, Пьер; Дусе, Арно (2004). «Движение частиц в поглощающей среде с твердыми и мягкими препятствиями». Стохастический анализ и его приложения . 22 (5): 1175–1207. doi : 10.1081/SAP-200026444. S2CID  4494495.
67. Дель Мораль, Пьер; Дусе, Арно; Ясра, Аджай (2006). «Последовательные пробоотборники Монте-Карло» (PDF) . Журнал Королевского статистического общества, серия B (статистическая методология) . 68 (3): 411–436. arXiv : cond-mat/0212648 . дои : 10.1111/j.1467-9868.2006.00553.x. S2CID  12074789.
68. Лельевр, Тони; Руссе, Матиас; Штольц, Габриэль (2007). «Вычисление разностей свободной энергии посредством неравновесной стохастической динамики: случай координат реакции». Дж. Компьютер. Физ . 222 (2): 624–643. arXiv : cond-mat/0603426 . Бибкод : 2007JCoPh.222..624L. дои :10.1016/j.jcp.2006.08.003. S2CID  27265236.
69. Лельевр, Тони; Руссе, Матиас; Штольц, Габриэль (2010). «Вычисления свободной энергии: математическая перспектива». Издательство Имперского колледжа : 472.
70. Кэрон, Ф.; Дель Мораль, П.; Пейс, М.; Во, Б.-Н. (2011). «Об устойчивости и аппроксимации ветвящихся потоков распределения с приложениями к нелинейной множественной фильтрации». Стохастический анализ и его приложения . 29 (6): 951–997. arXiv : 1009.1845 . дои : 10.1080/07362994.2011.598797. ISSN  0736-2994. S2CID  303252.
71. Дынкин, Эжен, Б. (1994). Введение в ветвящиеся мерозначные процессы . Серия монографий по CRM. п. 134. ИСБН 978-0-8218-0269-4.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
72. Зоя, Андреа; Дюмонтей, Эрик; Маццоло, Ален (2012). «Дискретные формулы Фейнмана-Каца для ветвящихся случайных блужданий». ЭПЛ . 98 (40012): 40012. arXiv : 1202.2811 . Бибкод : 2012EL.....9840012Z. дои : 10.1209/0295-5075/98/40012. S2CID  119125770.
73. Карон, Франсуа; Дель Мораль, Пьер; Дусе, Арно; Пейс, Мишель (2011). «Аппроксимации частиц класса ветвящихся потоков распределения, возникающих при отслеживании нескольких целей» (PDF) . СИАМ Дж. Оптимальное управление. : 1766–1792. arXiv : 1012.5360 . дои : 10.1137/100788987. S2CID  6899555.
74. Питман, Джим; Фицсиммонс, Патрик, Дж. (1999). «Формула момента Каца и формула Фейнмана – Каца для аддитивных функционалов марковского процесса». Случайные процессы и их приложения . 79 (1): 117–134. дои : 10.1016/S0304-4149(98)00081-7 .{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
75. Арендт, Вольфганг; Бэтти, Чарльз, Дж. К. (1993). «Полугруппы поглощения и граничные условия Дирихле» (PDF) . Математика. Анна . 295 : 427–448. дои : 10.1007/bf01444895. S2CID  14021993.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
76. Лант, Тимоти; Тиме, Хорст (2007). «Возмущение переходных функций и формула Фейнмана-Каца для учета смертности». Позитивность . 11 (2): 299–318. дои : 10.1007/s11117-006-2044-8. S2CID  54520042.
77. Такеда, Масаеши (2008). «Некоторые темы, связанные с измеряемостью функционалов Фейнмана-Каца» (PDF) . РИМС Кокюроку Бессацу . Б6 : 221–236.
78. Яглом, Исаак (1947). «Некоторые предельные теоремы теории ветвящихся процессов». Докл. Акад. Наук СССР . 56 : 795–798.
79. Дель Мораль, Пьер; Микло, Лоран (2002). «Об устойчивости нелинейной полугруппы типа Фейнмана-Каца» (PDF) . Анналы факультета наук Тулузы . 11 (2): 135–175. дои : 10.5802/afst.1021.
80. Калель, Лейла; Наудтс, Барт; Роджерс, Алекс (8 мая 2001 г.). Теоретические аспекты эволюционных вычислений . Спрингер, Берлин, Нью-Йорк; Серия естественных вычислений. п. 497. ИСБН 978-3540673965.
81. Дель Мораль, Пьер; Калель, Лейла; Роу, Джон (2001). «Моделирование генетических алгоритмов с взаимодействующими системами частиц». Revista de Matematica: Teoria y Aplicaciones . 8 (2): 19–77. CiteSeerX 10.1.1.87.7330 . doi : 10.15517/rmta.v8i2.201. 
82. Дель Мораль, Пьер; Гионне, Алиса (2001). «Об устойчивости взаимодействующих процессов с приложениями к фильтрующим и генетическим алгоритмам». Анналы Института Анри Пуанкаре . 37 (2): 155–194. Бибкод : 2001AIHPB..37..155D. дои : 10.1016/S0246-0203(00)01064-5.
83. Ауманн, Роберт Джон (1964). «Рынки с континуумом трейдеров». Эконометрика . 32 (1–2): 39–50. дои : 10.2307/1913732. JSTOR  1913732.
84. Йованович, Боян; Розенталь, Роберт В. (1988). «Анонимные последовательные игры». Журнал математической экономики . 17 (1): 77–87. дои : 10.1016/0304-4068(88)90029-8.
85. Хуан, Миньи.Ю; Малхэм, Роланд П.; Кейнс, Питер Э. (2006). «Стохастические динамические игры с большой популяцией: замкнутые системы Маккина – Власова и принцип эквивалентности достоверности Нэша». Коммуникации в информации и системах . 6 (3): 221–252. дои : 10.4310/CIS.2006.v6.n3.a5 .
86. Мейнард Смит, Джон (1982). Эволюция и теория игр . Издательство Кембриджского университета, Кембридж.
87. Колокольцов, Василий; Ли, Цзяцзе; Ян, Вэй (2011). «Игры среднего поля и нелинейные марковские процессы». arXiv : 1112.3744v2 [math.PR].
88. Ласри, Жан Мишель; Львы, Пьер Луи (2007). «Скупые полевые игры». Японский Дж. Математика . 2 (1): 229–260. дои : 10.1007/s11537-007-0657-8. S2CID  1963678.
89. Кармона, Рене; Фуке, Жан Пьер; Сунь, Ли-Сянь (2014). «Игры среднего поля и системный риск». Связь в математических науках . arXiv : 1308.2172 . Бибкод : 2013arXiv1308.2172C.
90. Будхираджа, Амарджит; Дель Мораль, Пьер; Рубенталер, Сильвен (2013). «Марковские агенты дискретного времени, взаимодействующие через потенциал». ESAIM Вероятность и статистика . 17 : 614–634. arXiv : 1106.3306 . дои : 10.1051/ps/2012014. S2CID  28058111.
91. Ауманн, Роберт (1964). «Рынки с континуумом трейдеров» (PDF) . Эконометрика . 32 (1–2): 39–50. дои : 10.2307/1913732. JSTOR  1913732.
92. Дель Мораль, Пьер; Лезо, Паскаль (2006). Интерпретация вероятностей редких событий ветвлениями и взаимодействующими частицами (PDF) (стохастические гибридные системы: теория и критические приложения безопасности, под ред. Х. Блома и Дж. Лигероса. Под ред.). Шпрингер, Берлин. стр. 277–323.
93. Крисан, Дэн; Дель Мораль, Пьер; Лайонс, Терри (1998). «Дискретная фильтрация с использованием разветвляющихся и взаимодействующих систем частиц» (PDF) . Марковские процессы и связанные с ними области . 5 (3): 293–318.
94. Крисан, Дэн; Дель Мораль, Пьер; Лайонс, Терри (1998). «Аппроксимации взаимодействующих систем частиц уравнения Кушнера Стратоновича» (PDF) . Достижения в области прикладной теории вероятности . 31 (3): 819–838. дои : 10.1239/aap/1029955206. hdl : 10068/56073. S2CID  121888859.
95. Пейс, Мишель; Дель Мораль, Пьер (2013). «Фильтры среднего поля PHD на основе обобщенного потока Фейнмана-Каца». Журнал IEEE по избранным темам обработки сигналов . 7 (3): 484–495. Бибкод : 2013ISTSP...7..484P. дои : 10.1109/JSTSP.2013.2250909. S2CID  15906417.
96. Каппе, О.; Мулен, Э.; Райден, Т. (2005). Вывод в скрытых марковских моделях . Спрингер.
97. Лю, Дж. (2001). Стратегии Монте-Карло в научных вычислениях . Спрингер.
98. Дусе, А. (2001). де Фрейтас, JFG; Гордон, Дж. (ред.). Последовательные методы Монте-Карло на практике . Спрингер.
99. Ботев, З.И.; Крозе, Д.П. (2008). «Эффективное моделирование Монте-Карло с помощью обобщенного метода расщепления». Методология и вычисления в прикладной теории вероятности . 10 (4): 471–505. CiteSeerX 10.1.1.399.7912 . дои : 10.1007/s11009-008-9073-7. S2CID  1147040. 
100. Ботев, З.И.; Крозе, Д.П. (2012). «Эффективное моделирование Монте-Карло с помощью обобщенного метода расщепления». Статистика и вычисления . 22 (1): 1–16. дои : 10.1007/s11222-010-9201-4. S2CID  14970946.
101. Серу, Фредерик; Дель Мораль, Пьер; Фурон, Тедди; Гаядер, Арно (2012). «Последовательный метод Монте-Карло для оценки редких событий» (PDF) . Статистика и вычисления . 22 (3): 795–808. doi : 10.1007/s11222-011-9231-6. S2CID  16097360.

Внешние ссылки

• Модели Фейнмана-Каца и взаимодействующие системы частиц, теоретические аспекты и список областей применения методов частиц Фейнмана-Каца
• Ресурсы о последовательном методе Монте-Карло и фильтрах частиц
• Ресурсы «Взаимодействующие системы частиц»
• QMC в Кембридже и по всему миру, общая информация о Quantum Monte Carlo
• Программный комплекс EVOLVER для стохастической оптимизации с использованием генетических алгоритмов
• Программа CASINO Quantum Monte Carlo, разработанная группой теории конденсированного состояния Кавендишской лаборатории в Кембридже.
• Biips — это программное обеспечение для вероятностного программирования для байесовского вывода с взаимодействующими системами частиц.