Частица в коробке

Физическая модель в квантовой механике, решаемая аналитически

Некоторые траектории частицы в ящике по законам Ньютона классической механики (А) и по уравнению Шрёдингера квантовой механики (Б–F). В (B–F) горизонтальная ось — это положение, а вертикальная ось — действительная (синяя) и мнимая часть (красная) волновой функции . Состояния (B,C,D) являются собственными энергетическими состояниями , а (E,F) — нет.

В квантовой механике модель частицы в ящике (также известная как бесконечная потенциальная яма или бесконечная квадратная яма ) описывает частицу, которая может свободно двигаться в небольшом пространстве, окруженном непроницаемыми барьерами. Модель в основном используется как гипотетический пример для иллюстрации различий между классическими и квантовыми системами. Например, в классических системах частица, запертая внутри большого ящика, может двигаться внутри него с любой скоростью, и вероятность ее обнаружения в одном положении не выше, чем в другом. Однако когда яма становится очень узкой (в масштабе нескольких нанометров), квантовые эффекты становятся важными. Частица может занимать только определенные положительные энергетические уровни . Точно так же она никогда не может иметь нулевую энергию, а это означает, что частица никогда не может «сидеть на месте». Кроме того, его с большей вероятностью можно найти в определенных положениях, чем в других, в зависимости от его энергетического уровня. Частица никогда не может быть обнаружена в определенных положениях, известных как пространственные узлы.

Модель «частица в ящике» — одна из очень немногих задач квантовой механики, которую можно решить аналитически, без приближений. Благодаря своей простоте модель позволяет понять квантовые эффекты без необходимости использования сложной математики. Он служит простой иллюстрацией того, как возникают квантования энергии (энергетические уровни), которые встречаются в более сложных квантовых системах, таких как атомы и молекулы. Это одна из первых задач квантовой механики, изучаемая на курсах физики для студентов бакалавриата, и она обычно используется в качестве приближения для более сложных квантовых систем.

Одномерное решение

Барьеры снаружи одномерного ящика имеют бесконечно большой потенциал, а внутри ящика — постоянный нулевой потенциал. Показана смещённая скважина с ${\textstyle x_{c}=L/2}$

Простейшая форма частицы в коробчатой ​​модели рассматривает одномерную систему. Здесь частица может двигаться только вперед и назад по прямой линии с непроницаемыми барьерами на обоих концах. ^[1] Стенки одномерного ящика можно рассматривать как области пространства с бесконечно большой потенциальной энергией . И наоборот, внутренняя часть коробки имеет постоянную нулевую потенциальную энергию. ^[2] Это означает, что на частицу внутри ящика не действуют никакие силы, и она может свободно перемещаться в этой области. Однако бесконечно большие силы отталкивают частицу, если она касается стенок ящика, не давая ей улететь. Потенциальная энергия в этой модели определяется как

$${\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}},\\\infty ,&{\text{otherwise,}}\end{cases}},}$$

Lx _cxx _cx _cL

Волновая функция положения

В квантовой механике волновая функция дает наиболее фундаментальное описание поведения частицы; все измеримые свойства частицы (такие как ее положение, импульс и энергия) могут быть получены из волновой функции. ^[3] Волновую функцию можно найти, решив уравнение Шрёдингера для системы ${\displaystyle \psi (x,t)}$

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)+V(x)\psi (x,t),}$$

приведенная постоянная Планкамассамнимая единица измерения ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle t}$

Внутри ящика на частицу не действуют никакие силы, а это означает, что часть волновой функции внутри ящика колеблется в пространстве и времени с той же формой, что и свободная частица : ^{[1] [4]}

где и – произвольные комплексные числа . Частота колебаний в пространстве и времени определяется волновым числом и угловой частотой соответственно. Оба они связаны с полной энергией частицы выражением ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle E=\hbar \omega ={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}},}$$

дисперсионное соотношение^[1]Vpk,kkVTV ${\displaystyle {\frac {p^{2}}{2m}}}$ ${\displaystyle p=\hbar k}$ ${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$ ${\displaystyle E=T+V}$

Начальные волновые функции для первых четырех состояний одномерной частицы в ящике

Амплитуда волновой функции в данной позиции связана с вероятностью обнаружения там частицы соотношением . Поэтому волновая функция должна исчезать всюду за краями ящика. ^{[1] [4]} Кроме того, амплитуда волновой функции не может «скачать» резко из одной точки в другую. ^[1] Этим двум условиям удовлетворяют только волновые функции вида ${\displaystyle P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}}$

$${\displaystyle \psi _{n}(x,t)={\begin{cases}A\sin \left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right)\right)e^{-i\omega _{n}t}\quad &x_{c}-{\tfrac {L}{2}}<x<x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}},}$$

^[5]

$${\displaystyle k_{n}={\frac {n\pi }{L}},}$$

$${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega _{n}={\frac {n^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}},}$$

nx _cL^[6][6]k ${\displaystyle k_{n}=0}$ ${\displaystyle A=0}$ ${\displaystyle \psi (x)=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=L}$

Наконец, неизвестную константу можно найти, нормировав волновую функцию так, чтобы общая плотность вероятности обнаружения частицы в системе была равна 1. ${\displaystyle A}$

Математически,

$${\displaystyle \int _{0}^{L}\left\vert \psi (x)\right\vert ^{2}dx=1}$$

где-то

Следует, что

$${\displaystyle \left|A\right|={\sqrt {\frac {2}{L}}}.}$$

Таким образом, A может быть любым комплексным числом с абсолютным значением √ 2/ L ; эти разные значения A приводят к одному и тому же физическому состоянию, поэтому для упрощения можно выбрать A = √ 2/ L .

Ожидается, что собственные значения , т. е. энергия ящика, должны быть одинаковыми независимо от его положения в пространстве, но изменяются. Обратите внимание, что это представляет собой фазовый сдвиг волновой функции. Этот фазовый сдвиг не влияет на решение уравнения Шредингера и, следовательно, не влияет на собственное значение . ${\displaystyle E_{n}}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x,t)}$ ${\displaystyle x_{c}-{\tfrac {L}{2}}}$

Если мы установим начало координат в центр прямоугольника, мы можем кратко переписать пространственную часть волновой функции как:

$${\displaystyle \psi _{n}(x)={\begin{cases}{\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin(k_{n}x)\quad {}{\text{for }}n{\text{ even}}\\{\sqrt {\frac {2}{L}}}\cos(k_{n}x)\quad {}{\text{for }}n{\text{ odd}}.\end{cases}}}$$

Волновая функция импульса

Волновая функция импульса пропорциональна преобразованию Фурье волновой функции положения. При этом (обратите внимание, что параметр k , описывающий волновую функцию импульса ниже, не совсем тот специальный k _n , указанный выше, связанный с собственными значениями энергии), волновая функция импульса определяется выражением ${\displaystyle k=p/\hbar }$

$${\displaystyle \phi _{n}(p,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \hbar }}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{n}(x,t)e^{-ikx}\,dx={\sqrt {\frac {L}{\pi \hbar }}}\left({\frac {n\pi }{n\pi +kL}}\right)\,\operatorname {sinc} \left({\tfrac {1}{2}}(n\pi -kL)\right)e^{-ikx_{c}}e^{i(n-1){\tfrac {\pi }{2}}}e^{-i\omega _{n}t},}$$

функция sincsinc( x ) = sin( x )/ xx _c = 0p

Видно, что спектр импульса в этом волновом пакете непрерывен, и можно заключить, что для энергетического состояния, описываемого волновым числом k _n , импульс при измерении может достигать и других значений, выходящих за пределы . ${\displaystyle p=\pm \hbar k_{n}}$

Следовательно, также оказывается, что, поскольку энергия относится к n- му собственному состоянию, соотношение не выполняется строго для измеренного импульса p ; собственное состояние энергии не является собственным состоянием импульса и, по сути, даже не суперпозицией двух собственных состояний импульса, как можно было бы предположить из приведенного выше уравнения ( 1 ): странно, что оно не имеет четко определенного импульса до измерения! ${\textstyle E_{n}={\frac {\hbar ^{2}k_{n}^{2}}{2m}}}$ ${\textstyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$ ${\displaystyle \psi _{n}}$

Распределения вероятностей положения и импульса

В классической физике частицу можно обнаружить в любом месте ящика с равной вероятностью. Однако в квантовой механике плотность вероятности обнаружения частицы в заданном положении получается из волновой функции: Для частицы в ящике плотность вероятности обнаружения частицы в заданном положении зависит от ее состояния и определяется выражением ${\displaystyle P(x)=|\psi (x)|^{2}.}$

$${\displaystyle P_{n}(x,t)={\begin{cases}{\frac {2}{L}}\sin ^{2}\left(k_{n}\left(x-x_{c}+{\tfrac {L}{2}}\right)\right),&x_{c}-{\frac {L}{2}}<x<x_{c}+{\frac {L}{2}},\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}}$$

Таким образом, для любого значения n, большего единицы, внутри рамки есть области, для которых , что указывает на существование пространственных узлов , в которых частица не может быть найдена. ${\displaystyle P(x)=0}$

В квантовой механике среднее или математическое ожидание положения частицы определяется выражением

$${\displaystyle \langle x\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }xP_{n}(x)\,\mathrm {d} x.}$$

Для стационарной частицы в ящике можно показать, что среднее положение всегда равно , независимо от состояния частицы. Для суперпозиции состояний математическое ожидание позиции будет меняться в зависимости от перекрестного члена, пропорционального . ${\displaystyle \langle x\rangle =x_{c}}$ ${\displaystyle \cos(\omega t)}$

Дисперсия положения является мерой неопределенности положения частицы:

$${\displaystyle \mathrm {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\langle x\rangle )^{2}P_{n}(x)\,dx={\frac {L^{2}}{12}}\left(1-{\frac {6}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)}$$

Плотность вероятности обнаружения частицы с заданным импульсом получается из волновой функции как . Как и в случае с положением, плотность вероятности обнаружения частицы с заданным импульсом зависит от ее состояния и определяется выражением ${\displaystyle P(x)=|\phi (x)|^{2}}$

$${\displaystyle P_{n}(p)={\frac {L}{\pi \hbar }}\left({\frac {n\pi }{n\pi +kL}}\right)^{2}\,{\textrm {sinc}}^{2}\left({\tfrac {1}{2}}(n\pi -kL)\right)}$$

${\displaystyle k=p/\hbar }$

$${\displaystyle \mathrm {Var} (p)=\left({\frac {\hbar n\pi }{L}}\right)^{2}}$$

Неопределенности положения и импульса ( и ) определяются как равные квадратному корню из их соответствующих дисперсий, так что: ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta p}$

$${\displaystyle \Delta x\Delta p={\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}\pi ^{2}}{3}}-2}}}$$

Это произведение увеличивается с увеличением n , имея минимальное значение при n =1. Значение этого произведения для n = 1 примерно равно 0,568 , что подчиняется принципу неопределенности Гейзенберга , который гласит, что произведение будет больше или равно ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle \hbar /2}$

Другой мерой неопределенности положения является информационная энтропия распределения вероятностей H _x : ^[7]

$${\displaystyle H_{x}=\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}(x)\log(P_{n}(x)x_{0})\,dx=\log \left({\frac {2L}{e\,x_{0}}}\right)}$$

x ₀

Другой мерой неопределенности импульса является информационная энтропия распределения вероятностей H _p :

$${\displaystyle H_{p}(n)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{n}(p)\log(P_{n}(p)p_{0})\,dp}$$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{p}(n)=\log \left({\frac {4\pi \hbar \,e^{2(1-\gamma )}}{L\,p_{0}}}\right)}$$

γпостоянная Эйлерапринцип энтропийной неопределенности ${\displaystyle x_{0}\,p_{0}=\hbar }$

$${\displaystyle H_{x}+H_{p}(n)\geq \log(e\,\pi )\approx 2.14473...}$$

натс

Для сумма энтропии положения и импульса дает: ${\displaystyle x_{0}\,p_{0}=\hbar }$

$${\displaystyle H_{x}+H_{p}(\infty )=\log \left(8\pi \,e^{1-2\gamma }\right)\approx 3.06974...}$$

натс

который удовлетворяет квантовому принципу энтропийной неопределенности.

Уровни энергии

Энергия частицы в ящике (черные кружки) и свободной частицы (серая линия) одинаково зависят от волнового числа. Однако частица в ящике может иметь только определенные дискретные уровни энергии.

Энергии, соответствующие каждому из разрешенных волновых чисел, можно записать как ^[5]

$${\displaystyle E_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {n^{2}h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$

нулевая энергия^[8] ${\displaystyle n^{2}}$

$${\displaystyle E_{1}={\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}={\frac {h^{2}}{8mL^{2}}}.}$$

принципа неопределенности

$${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}$$

^[9][8][8] ${\displaystyle E=p^{2}/(2m)}$

Ящики большего размера

(Гипер)прямоугольные стены

Волновая функция двумерной скважины с n _x =4 и n _y =4

Если частица заперта в двумерном ящике, она может свободно перемещаться в направлениях и - между барьерами, разделенными длинами и соответственно. Для центрированного прямоугольника волновую функцию положения можно записать, включая длину прямоугольника, как . Используя подход, аналогичный подходу к одномерному ящику, можно показать, что волновые функции и энергии для центрированного ящика задаются соответственно выражением ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle L_{x}}$ ${\displaystyle L_{y}}$ ${\displaystyle \psi _{n}(x,t,L)}$

$${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t,L_{y}),}$$

$${\displaystyle E_{n_{x},n_{y}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y}}^{2}}{2m}},}$$

волновой вектор

$${\displaystyle \mathbf {k} _{n_{x},n_{y}}=k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} .}$$

Для трехмерного ящика решения таковы:

$${\displaystyle \psi _{n_{x},n_{y},n_{z}}=\psi _{n_{x}}(x,t,L_{x})\psi _{n_{y}}(y,t,L_{y})\psi _{n_{z}}(z,t,L_{z}),}$$

$${\displaystyle E_{n_{x},n_{y},n_{z}}={\frac {\hbar ^{2}k_{n_{x},n_{y},n_{z}}^{2}}{2m}},}$$

$${\displaystyle \mathbf {k} _{n_{x},n_{y},n_{z}}=k_{n_{x}}\mathbf {\hat {x}} +k_{n_{y}}\mathbf {\hat {y}} +k_{n_{z}}\mathbf {\hat {z}} ={\frac {n_{x}\pi }{L_{x}}}\mathbf {\hat {x}} +{\frac {n_{y}\pi }{L_{y}}}\mathbf {\hat {y}} +{\frac {n_{z}\pi }{L_{z}}}\mathbf {\hat {z}} .}$$

В общем случае для n -мерного ящика решения таковы:

$${\displaystyle \psi =\prod _{i}\psi _{n_{i}}(x_{i},t,L_{i})}$$

n-мерные волновые функции импульса также могут быть представлены как, и тогда волновая функция импульса для n-мерного центрированного ящика будет равна: ${\displaystyle \phi _{n}(x,t,L_{x})}$

$${\displaystyle \phi =\prod _{i}\phi _{n_{i}}(k_{i},t,L_{i})}$$

Интересной особенностью приведенных выше решений является то, что когда две или более длины одинаковы (например, ), существует несколько волновых функций, соответствующих одной и той же полной энергии. Например, волновая функция с имеет ту же энергию, что и волновая функция с . Эта ситуация называется вырождением , а в случае, когда ровно две вырожденные волновые функции имеют одинаковую энергию, уровень энергии называется дважды вырожденным . Вырождение является результатом симметрии системы. В приведенном выше случае две длины равны, поэтому система симметрична относительно поворота на 90 °. ${\displaystyle L_{x}=L_{y}}$ ${\displaystyle n_{x}=2,n_{y}=1}$ ${\displaystyle n_{x}=1,n_{y}=2}$

Более сложные формы стен.

Волновая функция квантово-механической частицы в ящике со стенками произвольной формы задается уравнением Гельмгольца с учетом граничного условия, согласно которому волновая функция обращается в нуль на стенках. Эти системы изучаются в области квантового хаоса для форм стенок, соответствующие динамические бильярдные столы которых неинтегрируемы.

Приложения

Из-за своей математической простоты модель «частица в ящике» используется для поиска приближенных решений для более сложных физических систем, в которых частица заперта в узкой области низкого электрического потенциала между двумя барьерами с высоким потенциалом. Эти системы с квантовыми ямами особенно важны в оптоэлектронике и используются в таких устройствах, как лазер с квантовыми ямами , инфракрасный фотодетектор с квантовыми ямами и модулятор эффекта Штарка с квантовыми ограничениями . Он также используется для моделирования решетки в модели Кронига-Пенни и для конечного металла в приближении свободных электронов.

Конъюгированные полиены

β-каротин – конъюгированный полиен.

Системы сопряженных полиенов можно смоделировать с помощью частицы в ящике. ^[10] Сопряженную систему электронов можно смоделировать как одномерный ящик с длиной, равной общему расстоянию связи от одного конца полиена до другого. В этом случае каждая пара электронов в каждой π-связи соответствует своему энергетическому уровню. Разность энергий между двумя энергетическими уровнями n _f и n _i равна:

$${\displaystyle \Delta E={\frac {(n_{f}^{2}-n_{i}^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}}$$

Разница между энергией основного состояния n и первого возбужденного состояния n+1 соответствует энергии, необходимой для возбуждения системы. Эта энергия имеет определенную длину волны и, следовательно, цвет света, связанный следующим соотношением:

$${\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}}$$

Типичным примером этого явления является β-каротин . ^{[ нужна ссылка ]} β-каротин (C ₄₀ H ₅₆ ) ^[11] представляет собой конъюгированный полиен оранжевого цвета с длиной молекулы примерно 3,8 нм (хотя длина его цепи составляет всего лишь примерно 2,4 нм). ^[12] Из-за высокого уровня сопряжения β-каротина электроны рассредоточены по всей длине молекулы, что позволяет моделировать ее как одномерную частицу в ящике. β-каротин имеет 11 двойных углерод -углеродных связей в сопряжении; ^[11] каждая из этих двойных связей содержит два π-электрона, следовательно, β-каротин имеет 22 π-электрона. Имея два электрона на энергетическом уровне, β-каротин можно рассматривать как частицу в ящике на энергетическом уровне n = 11. ^[12] Следовательно, минимальную энергию, необходимую для возбуждения электрона на следующий энергетический уровень, можно рассчитать, n =12, следующим образом ^[12] (напоминая, что масса электрона равна 9,109 × 10 ⁻³¹ кг ^[13] ) :

$${\displaystyle \Delta E={\frac {(n_{f}^{2}-n_{i}^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}={\frac {(12^{2}-11^{2})h^{2}}{8mL^{2}}}=2.3658\times 10^{-19}{\text{ J}}}$$

Используя предыдущее соотношение длины волны и энергии, вспомнив как постоянную Планка h , так и скорость света c :

$${\displaystyle \lambda ={\frac {hc}{\Delta E}}=0.00000084{\text{ m}}=840{\text{ nm}}}$$

Это указывает на то, что β-каротин в первую очередь поглощает свет в инфракрасном спектре, поэтому человеческому глазу он кажется белым. Однако наблюдаемая длина волны составляет 450 нм, ^[14] что указывает на то, что частица в ящике не является идеальной моделью этой системы.

Лазер с квантовыми ямами

Модель «частица в ящике» может быть применена к лазерам с квантовыми ямами , которые представляют собой лазерные диоды, состоящие из одной полупроводниковой «ямы» материала, зажатой между двумя другими полупроводниковыми слоями из другого материала. Поскольку слои этого сэндвича очень тонкие (средний слой обычно имеет толщину около 100 Å), можно наблюдать эффекты квантового ограничения . ^[15] Идея о том, что квантовые эффекты можно использовать для создания более совершенных лазерных диодов, возникла в 1970-х годах. Лазер с квантовыми ямами был запатентован в 1976 году Р. Динглом и Ч. Генри. ^[16]

В частности, поведение квантовых ям может быть представлено частицей в модели с конечной ямой. Необходимо выбрать два граничных условия. Во-первых, волновая функция должна быть непрерывной. Часто в качестве второго граничного условия выбирают производную волновой функции, которая должна быть непрерывной по всей границе, но в случае квантовой ямы массы различны по обе стороны границы. Вместо этого второе граничное условие выбрано для сохранения потока частиц как , что согласуется с экспериментом. Решение для частицы с конечной ямой в ящике должно быть решено численно, что приводит к волновым функциям, которые являются синусоидальными функциями внутри квантовой ямы и экспоненциально затухающими функциями в барьерах. ^[17] Такое квантование энергетических уровней электронов позволяет лазеру с квантовыми ямами излучать свет более эффективно, чем обычные полупроводниковые лазеры. ${\displaystyle (1/m)d\phi /dz}$

Из-за своего небольшого размера квантовые точки не демонстрируют объемные свойства указанного полупроводника, а скорее демонстрируют квантованные энергетические состояния. ^[18] Этот эффект известен как квантовое ограничение и привел к многочисленным применениям квантовых точек, таких как лазер с квантовыми ямами. ^[18]

Исследователи из Принстонского университета недавно создали лазер с квантовой ямой размером не больше рисового зернышка. ^[19] Лазер питается от одного электрона, который проходит через две квантовые точки; двойная квантовая точка. Электрон переходит из состояния с более высокой энергией в состояние с более низкой энергией, испуская фотоны в микроволновом диапазоне. Эти фотоны отражаются от зеркал, создавая луч света; лазер. ^[19]

Лазер с квантовыми ямами в значительной степени основан на взаимодействии света и электронов. Это соотношение является ключевым компонентом квантово-механических теорий, которые включают в себя длину волны де Бройля и «частицу в ящике». Двойная квантовая точка позволяет ученым получить полный контроль над движением электрона, что, в свою очередь, приводит к образованию лазерного луча. ^[19]

Квантовые точки

Квантовые точки — это чрезвычайно маленькие полупроводники (в масштабе нанометров). ^[20] Они демонстрируют квантовое ограничение , поскольку электроны не могут покинуть «точку», что позволяет использовать приближение «частица в ящике». ^[21] Их поведение можно описать трехмерными уравнениями квантования энергии «частица в ящике». ^[21]

Энергетическая щель квантовой точки — это энергетическая щель между ее валентной зоной и зоной проводимости . Эта энергетическая щель равна зазору объемного материала плюс уравнение энергии, полученное из уравнения энергии «частица в ящике», которое дает энергию для электронов и дырок . ^[21] Это можно увидеть в следующем уравнении, где и – эффективные массы электрона и дырки, – радиус точки, – постоянная Планка: ^[21] ${\displaystyle \Delta E(r)}$ ${\displaystyle E_{\text{gap}}}$ ${\displaystyle m_{e}^{*}}$ ${\displaystyle m_{h}^{*}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h}$

$${\displaystyle \Delta E(r)=E_{\text{gap}}+\left({\frac {h^{2}}{8r^{2}}}\right)\left({\frac {1}{m_{e}^{*}}}+{\frac {1}{m_{h}^{*}}}\right)}$$

Следовательно, энергетическая щель квантовой точки обратно пропорциональна квадрату «длины ящика», т.е. радиусу квантовой точки. ^[21]

Манипулирование запрещенной зоной позволяет поглощать и излучать свет определенной длины, поскольку энергия обратно пропорциональна длине волны. ^[20] Чем меньше квантовая точка, тем больше ширина запрещенной зоны и, следовательно, тем короче поглощаемая длина волны. ^{[20] [22]}

Различные полупроводниковые материалы используются для синтеза квантовых точек разного размера и, следовательно, излучают свет с разной длиной волны. ^[22] Часто используются материалы, которые обычно излучают свет в видимой области, а их размеры точно настраиваются так, чтобы излучались определенные цвета. ^[20] Типичными веществами, используемыми для синтеза квантовых точек, являются кадмий (Cd) и селен (Se). ^{[20] [22]} Например, когда электроны двухнанометровых квантовых точек CdSe расслабляются после возбуждения , излучается синий свет. Точно так же красный свет излучается четырехнанометровыми квантовыми точками CdSe. ^{[23] [20]}

Квантовые точки имеют множество функций, включая, помимо прочего, флуоресцентные красители, транзисторы , светодиоды , солнечные элементы и медицинскую визуализацию с помощью оптических датчиков. ^{[20] [21]}

Одной из функций квантовых точек является их использование при картировании лимфатических узлов, что возможно благодаря их уникальной способности излучать свет в ближней инфракрасной (NIR) области. Картирование лимфатических узлов позволяет хирургам отслеживать, существуют ли раковые клетки и где они находятся. ^[24]

Квантовые точки полезны для этих функций из-за их излучения более яркого света, возбуждения с помощью самых разных длин волн и более высокой устойчивости к свету, чем у других веществ. ^{[24] [20]}

Релятивистские эффекты

Плотность вероятности не стремится к нулю в узлах, если релятивистские эффекты учитываются с помощью уравнения Дирака. ^[25]

Смотрите также

• История квантовой механики
• Конечная потенциальная яма
• Потенциал дельта-функции
• Газ в коробке
• Частица в кольце
• Частица в сферически-симметричном потенциале
• Квантовый гармонический осциллятор
• Полукруглая потенциальная скважина
• Конфигурационный интеграл (статистическая механика)
• Теорема Блоха

Рекомендации

1. Дэвис, стр.4
2. На самом деле внутри рамки можно указать любой постоянный конечный потенциал . Это просто смещает энергии состояний на . ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V_{0}}$
3. Дэвис, с. 1
4. Брансден и Иоахейн, с. 157
5. Дэвис стр. 5
6. Брансден и Иоахейн, стр.158.
7. Маерник, Владимир; Рихтерек, Лукас (1 декабря 1997 г.). «Энтропийные соотношения неопределенностей для бесконечной ямы». Дж. Физ. А. _ 30 (4): Л49. Бибкод : 1997JPhA...30L..49M. дои : 10.1088/0305-4470/30/4/002 . Проверено 11 февраля 2016 г. .
8. Брансден и Иоахейн, с. 159
9. Дэвис, с. 15
10. Аутчбах, Йохен (ноябрь 2007 г.). «Почему модель «частица в коробке» хорошо работает для цианиновых красителей, но не для сопряженных полиенов». Журнал химического образования . 84 (11): 1840. doi : 10.1021/ed084p1840. ISSN  0021-9584.
11. Pubchem. «бета-каротин | C40H56 - PubChem». pubchem.ncbi.nlm.nih.gov . Проверено 10 ноября 2016 г.
12. Сатиш, РК; Сидхартхан, ПВ; Удаянандан, К.М. «Частица в коробке - остров сокровищ для студентов». {{cite journal}}: Требуется цитировать журнал |journal=( помощь )
13. П. Дж. Мор, Б. Н. Тейлор и Д. Б. Ньюэлл, «Рекомендуемые CODATA 2014 г. значения фундаментальных физических констант». Эта база данных была разработана Дж. Бейкером, М. Дума и С. Коточиговой . Доступно: [1]. Национальный институт стандартов и технологий, Гейтерсбург, Мэриленд 20899.
14. β-каротин http://www.sigmaaldrich.com/catalog/product/aldrich/855553?lang=en®ion=us (по состоянию на 8 ноября 2016 г.).
15. Зори, Питер (1993). Лазеры на квантовых ямах . Сан-Диего: Academic Press Unlimited.
16. Патент США № 3982207, выданный 21 сентября 1976 г., изобретатели Р. Дингл и Ч. Генри, «Квантовые эффекты в гетероструктурных лазерах», поданный 7 марта 1975 г.
17. Миллер, Дэвид (1995). Бурштейн, Элиас; Вайсбух, Клод (ред.). Удерживаемые электроны и фотоны: новая физика и приложения . Нью-Йорк: Пленум Пресс. стр. 675–702.
18. Мисслер, GL (2013). Неорганическая химия (5-е изд.). Бостон: Пирсон. стр. 235–236. ISBN 978-0321811059.
19. Зандонелла, Кэтрин. «Лазер размером с рис, питающий по одному электрону за раз, служит хорошим предзнаменованием для квантовых вычислений». Университет Принстон . Проверено 8 ноября 2016 г.
20. Райс, резюме; Гриффин, Джорджия (2008). «Простой синтез квантовых точек CdSe». Журнал химического образования . 85 (6): 842. Бибкод : 2008JChEd..85..842R. дои : 10.1021/ed085p842 . Проверено 5 ноября 2016 г.
21. «Квантовые точки: настоящая система «частиц в коробке»». ФизикаOpenLab . 20 ноября 2015 года . Проверено 5 ноября 2016 г.
22. Оверни, Рене М. «Квантовое ограничение» (PDF) . Университет Вашингтона. Архивировано из оригинала (PDF) 2 декабря 2016 года . Проверено 5 ноября 2016 г.
23. Зан, Дитрих RT «Поверхностные и интерфейсные свойства полупроводниковых квантовых точек по данным рамановской спектроскопии» (PDF) . Технический университет Хемница. Архивировано из оригинала (PDF) 1 декабря 2016 года . Проверено 5 ноября 2016 г.
24. Бентолила, Лоран А.; Эбенштейн, Юваль (2009). «Квантовые точки для визуализации мелких животных in vivo». Журнал ядерной медицины . 50 (4): 493–496. doi : 10.2967/jnumed.108.053561. ПМК 3081879 . ПМИД  19289434. 
25. Альберто, П; Фиольайс, К; Гил, ВМС (1996). «Релятивистская частица в ящике» (PDF) . Европейский журнал физики . 17 (1): 19–24. Бибкод : 1996EJPh...17...19A. дои : 10.1088/0143-0807/17/1/004. hdl : 10316/12349 . S2CID  250895519.

Библиография

• Брансден, Британская Колумбия; Хоахейн, CJ (2000). Квантовая механика (2-е изд.). Эссекс: Pearson Education. ISBN 978-0-582-35691-7.
• Дэвис, Джон Х. (2006). Физика низкоразмерных полупроводников: Введение (6-е переиздание). Издательство Кембриджского университета.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004). Введение в квантовую механику (2-е изд.). Прентис Холл. ISBN 978-0-13-111892-8.

Внешние ссылки

• Интеграл конфигурации (статистическая механика), 2008. Этот вики-сайт недоступен; см. эту статью в веб-архиве от 28 апреля 2012 г.