Длина волны Комптона

Квантово-механические свойства частиц

Комптоновская длина волны — квантово-механическое свойство частицы , определяемое как длина волны фотона, энергия которого равна энергии покоя этой частицы (см. эквивалентность массы и энергии ) . Она была введена Артуром Комптоном в 1923 году при объяснении рассеяния фотонов электронами (процесс, известный как комптоновское рассеяние ).

Стандартная комптоновская длина волны λ частицы массы определяется как , где h — постоянная Планка , а c — скорость света . Соответствующая частота f определяется как , а угловая частота ω определяется как ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{mc}},}$$ $${\displaystyle f={\frac {mc^{2}}{h}},}$$ $${\displaystyle \omega ={\frac {mc^{2}}{\hbar }}.}$$

Значение CODATA 2022 для комптоновской длины волны электрона равно2,426 310 235 38 (76) × 10 ⁻¹²  м . ^[1] Другие частицы имеют другие длины волн Комптона.

Уменьшенная длина волны Комптона

Приведенная длина волны Комптона ƛ ( лямбда с чертой , обозначается ниже как ) определяется как длина волны Комптона, деленная на 2π : ${\displaystyle {\bar {\lambda }}}$

${\displaystyle {\bar {\lambda }}={\frac {\lambda }{2\pi }}={\frac {\hbar }{mc}},}$

где ħ — приведенная постоянная Планка .

Роль в уравнениях для массивных частиц

Обратная приведенная длина волны Комптона является естественным представлением массы в квантовом масштабе и, как таковая, появляется во многих фундаментальных уравнениях квантовой механики. ^{[ необходима ссылка ]} Приведенная длина волны Комптона появляется в релятивистском уравнении Клейна–Гордона для свободной частицы: $${\displaystyle \mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\psi .}$$

Он появляется в уравнении Дирака (ниже приведена явно ковариантная форма, использующая соглашение Эйнштейна о суммировании ): $${\displaystyle -i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0.}$$

Приведенная длина волны Комптона также присутствует в уравнении Шредингера , хотя это не так очевидно в традиционных представлениях уравнения. Ниже приведено традиционное представление уравнения Шредингера для электрона в водородоподобном атоме : $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\psi .}$$

Разделив на и переписав через постоянную тонкой структуры , получаем: ${\displaystyle \hbar c}$ $${\displaystyle {\frac {i}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\bar {\lambda }}{2}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {\alpha Z}{r}}\psi .}$$

Различие между редуцированным и нередуцированным

Приведенная длина волны Комптона является естественным представлением массы в квантовом масштабе и используется в уравнениях, относящихся к инертной массе, таких как уравнения Клейна–Гордона и Шредингера. ^{[2] : 18–22}

Уравнения, относящиеся к длинам волн фотонов, взаимодействующих с массой, используют нередуцированную длину волны Комптона. Частица массой m имеет энергию покоя E = mc ² . Длина волны Комптона для этой частицы является длиной волны фотона той же энергии. Для фотонов с частотой f энергия определяется как что дает формулу длины волны Комптона, если решить ее относительно λ . $${\displaystyle E=hf={\frac {hc}{\lambda }}=mc^{2},}$$

Ограничение на измерение

Длина волны Комптона выражает фундаментальное ограничение измерения положения частицы, принимая во внимание квантовую механику и специальную теорию относительности . ^[3]

Это ограничение зависит от массы частицы m . Чтобы увидеть, как это сделать, обратите внимание, что мы можем измерить положение частицы, отразив от нее свет, но для точного измерения положения требуется свет с короткой длиной волны. Свет с короткой длиной волны состоит из фотонов с высокой энергией. Если энергия этих фотонов превышает mc2 , ^то при столкновении с частицей, положение которой измеряется, столкновение может дать достаточно энергии для создания новой частицы того же типа. ^{[ необходима цитата ]} Это делает вопрос о местоположении исходной частицы спорным.

Этот аргумент также показывает, что приведенная длина волны Комптона является границей, ниже которой квантовая теория поля , которая может описывать рождение и уничтожение частиц, становится важной. Вышеуказанный аргумент можно сделать немного более точным следующим образом. Предположим, что мы хотим измерить положение частицы с точностью Δ x . Тогда соотношение неопределенности для положения и импульса говорит, что, таким образом, неопределенность в импульсе частицы удовлетворяет $${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}},}$$ $${\displaystyle \Delta p\geq {\frac {\hbar }{2\Delta x}}.}$$

Используя релятивистское соотношение между импульсом и энергией E ² = ( pc ) ² + ( mc ² ) ² , когда Δ p превышает mc 2 , то неопределенность в энергии больше mc ² , что является достаточной энергией для создания другой частицы того же типа. Но мы должны исключить эту большую неопределенность энергии. Физически это исключается созданием одной или нескольких дополнительных частиц, чтобы сохранить неопределенность импульса каждой частицы на уровне или ниже mc . В частности, минимальная неопределенность возникает, когда рассеянный фотон имеет предельную энергию, равную падающей энергии наблюдения. Из этого следует, что существует фундаментальный минимум для Δ x : $${\displaystyle \Delta x\geq {\frac {1}{2}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right).}$$

Таким образом, неопределенность положения должна превышать половину приведенной длины волны Комптона ħ / mc .

Связь с другими константами

Типичные атомные длины, волновые числа и площади в физике можно связать с приведенной длиной волны Комптона для электрона ( ) ${\textstyle {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\equiv {\tfrac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\simeq 386~{\textrm {fm}}}$ и электромагнитной постоянной тонкой структуры ( ). ${\textstyle \alpha \simeq {\tfrac {1}{137}}}$

Радиус Бора связан с длиной волны Комптона следующим образом: $${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)={\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{\alpha }}\simeq 137\times {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\simeq 5.29\times 10^{4}~{\textrm {fm}}}$$

Классический радиус электрона примерно в 3 раза больше радиуса протона и записывается как: $${\displaystyle r_{\text{e}}=\alpha \left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)=\alpha {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\simeq {\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{137}}\simeq 2.82~{\textrm {fm}}}$$

Постоянная Ридберга , имеющая размерность линейного волнового числа , записывается: $${\displaystyle {\frac {1}{R_{\infty }}}={\frac {2\lambda _{\text{e}}}{\alpha ^{2}}}\simeq 91.1~{\textrm {nm}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{2\pi R_{\infty }}}={\frac {2}{\alpha ^{2}}}\left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)=2{\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{\alpha ^{2}}}\simeq 14.5~{\textrm {nm}}}$$

Это дает последовательность: $${\displaystyle r_{\text{e}}=\alpha {\bar {\lambda }}_{\text{e}}=\alpha ^{2}a_{0}=\alpha ^{3}{\frac {1}{4\pi R_{\infty }}}.}$$

Для фермионов приведенная длина волны Комптона задает сечение взаимодействий. Например, сечение томсоновского рассеяния фотона на электроне равно ^{[ необходимо разъяснение ],} что примерно равно площади поперечного сечения ядра железа-56. Для калибровочных бозонов длина волны Комптона задает эффективный радиус взаимодействия Юкавы : поскольку фотон не имеет массы, электромагнетизм имеет бесконечный радиус. $${\displaystyle \sigma _{\mathrm {T} }={\frac {8\pi }{3}}\alpha ^{2}{\bar {\lambda }}_{\text{e}}^{2}\simeq 66.5~{\textrm {fm}}^{2},}$$

Масса Планка — это порядок массы, для которой длина волны Комптона и радиус Шварцшильда одинаковы, когда их значение близко к длине Планка ( ). Радиус Шварцшильда пропорционален массе, тогда как длина волны Комптона пропорциональна обратной массе. Масса и длина Планка определяются следующим образом: ${\displaystyle r_{\rm {S}}=2GM/c^{2}}$ ${\displaystyle l_{\rm {P}}}$

$${\displaystyle m_{\rm {P}}={\sqrt {\hbar c/G}}}$$ $${\displaystyle l_{\rm {P}}={\sqrt {\hbar G/c^{3}}}.}$$

Геометрическая интерпретация

Геометрическое происхождение длины волны Комптона было продемонстрировано с использованием полуклассических уравнений, описывающих движение волнового пакета. ^[4] В этом случае длина волны Комптона равна квадратному корню квантовой метрики, метрики, описывающей квантовое пространство: . ${\displaystyle {\sqrt {g_{kk}}}=\lambda _{\mathrm {C} }}$

Смотрите также

• длина волны де Бройля
• Соотношение Планка–Эйнштейна

Ссылки

1. Значение CODATA 2022 для длины волны Комптона для электрона из NIST .
2. Грейнер, В. , Релятивистская квантовая механика: волновые уравнения ( Берлин / Гейдельберг : Springer , 1990), стр. 18–22.
3. Гарай, Луис Дж. (1995). «Квантовая гравитация и минимальная длина». International Journal of Modern Physics A . 10 (2): 145–65. arXiv : gr-qc/9403008 . Bibcode :1995IJMPA..10..145G. doi :10.1142/S0217751X95000085. S2CID  119520606.
4. Leblanc, C.; Malpuech, G.; Solnyshkov, DD (2021-10-26). "Универсальные полуклассические уравнения на основе квантовой метрики для двухзонной системы". Physical Review B. 104 ( 13): 134312. arXiv : 2106.12383 . Bibcode : 2021PhRvB.104m4312L. doi : 10.1103/PhysRevB.104.134312. ISSN  2469-9950. S2CID  235606464.

Внешние ссылки

• Масштабы длин в физике: длина волны Комптона