Отрицательная частота

Вектор, вращающийся против часовой стрелки (cos t , sin t ), имеет положительную частоту +1 радиан в единицу времени . Не показан вектор, вращающийся по часовой стрелке (cos - t , sin - t ) , который имеет отрицательную частоту -1 радиан в единицу времени. Оба огибают единичную окружность каждые 2 π единицы времени, но в противоположных направлениях.

В математике понятие знаковой частоты ( отрицательная и положительная частота ) может указывать как скорость, так и направление вращения ; это может быть просто колесо, вращающееся по часовой стрелке или против часовой стрелки. Скорость выражается в таких единицах, как обороты (также известные как циклы ) в секунду ( герцы ) или радиан/секунда (где 1 цикл соответствует 2 π  радиан ).

Пример: с математической точки зрения вектор имеет положительную частоту +1 радиан в единицу времени и вращается против часовой стрелки вокруг единичного круга , в то время как вектор имеет отрицательную частоту -1 радиан в единицу времени, который вместо этого вращается по часовой стрелке. ${\displaystyle (\cos(t),\sin(t))}$ ${\displaystyle (\cos(-t),\sin(-t))}$

Синусоиды

Пусть ω > 0 — угловая частота в радианах в секунду. Тогда функция f(t) = −ωt + θ имеет наклон −ω , который называется отрицательной частотой . Но когда функция используется в качестве аргумента оператора косинуса, результат неотличим от cos( ωt − θ ) . Аналогично, sin(− ωt + θ ) неотличима от sin( ωt − θ + π ) . Таким образом, любую синусоиду можно представить в терминах положительной частоты. Знак наклона основной фазы неоднозначен.

Отрицательная частота приводит к тому, что функция sin (фиолетовая) опережает функцию cos (красную) на 1/4 периода.

Неоднозначность разрешается, когда операторы косинуса и синуса можно наблюдать одновременно, потому что cos( ωt + θ ) опережает sin( ωt + θ ) на 1 ⁄  цикла (т. е. π ⁄ 2  радиан), когда ω > 0 , и отстает на 1 ⁄ 4  цикла, когда ω <0 . Аналогично, вектор (cos ωt , sin ωt ) вращается против часовой стрелки, если ω > 0 , и по часовой стрелке, если ω < 0 . Поэтому знак сохраняется и в комплексной функции : ${\displaystyle \omega }$

следствием которого является:

В уравнении 1 второй член является дополнением к нему, устраняющим неоднозначность. В уравнении 2 второй член выглядит как сложение, но на самом деле это сокращение, которое уменьшает двумерный вектор до одного измерения, что приводит к неоднозначности. Уравнение 2 также показывает, почему преобразование Фурье имеет ответы в обоих случаях, хотя может иметь только один знак. Ложный ответ позволяет обратному преобразованию различать вещественную функцию от сложной. ${\displaystyle \cos(\omega t)}$ ${\displaystyle \pm \omega ,}$ ${\displaystyle \omega }$

Приложения

Упрощение преобразования Фурье

Пожалуй, самым известным применением отрицательной частоты является формула:

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt,}$

который является мерой энергии в функции на частоте. При оценке для континуума аргументов результат называется преобразованием Фурье . ^[А] ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle \omega .}$ ${\displaystyle \omega ,}$

Например, рассмотрим функцию:

${\displaystyle f(t)=A_{1}e^{i\omega _{1}t}+A_{2}e^{i\omega _{2}t},\ \forall \ t\in \mathbb {R} ,\ \omega _{1}>0,\ \omega _{2}>0.}$

И:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }[A_{1}e^{i\omega _{1}t}+A_{2}e^{i\omega _{2}t}]e^{-i\omega t}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }A_{1}e^{i\omega _{1}t}e^{-i\omega t}dt+\int _{-\infty }^{\infty }A_{2}e^{i\omega _{2}t}e^{-i\omega t}dt\\&=\int _{-\infty }^{\infty }A_{1}e^{i(\omega _{1}-\omega )t}dt+\int _{-\infty }^{\infty }A_{2}e^{i(\omega _{2}-\omega )t}dt\end{aligned}}}$

Обратите внимание: хотя большинство функций не содержат синусоиды бесконечной длительности, такая идеализация является распространенным упрощением для облегчения понимания.

Глядя на первый член этого результата, когда отрицательная частота отменяет положительную частоту, оставляя только постоянный коэффициент (потому что ), что приводит к расхождению бесконечного интеграла. При других значениях остаточные колебания приводят к стремлению интеграла к нулю. Это идеализированное преобразование Фурье обычно записывается как: ${\displaystyle \omega =\omega _{1},}$ ${\displaystyle -\omega _{1}}$ ${\displaystyle A_{1}}$ ${\displaystyle e^{i0t}=e^{0}=1}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=2\pi A_{1}\delta (\omega -\omega _{1})+2\pi A_{2}\delta (\omega -\omega _{2}).}$

Для реалистичной длительности расхождения и схождения менее экстремальны, а меньшие ненулевые схождения ( спектральная утечка ) появляются на многих других частотах, но концепция отрицательной частоты по-прежнему применима. Исходная формулировка Фурье ( синусное преобразование и косинусное преобразование ) требует интеграла для косинуса и другого для синуса. И получающиеся в результате тригонометрические выражения часто менее понятны, чем сложные экспоненциальные выражения. (см. Аналитический сигнал , формулу Эйлера § Связь с тригонометрией и Фазор )

Выборка положительных и отрицательных частот и наложение спектров

На этом рисунке изображены две сложные синусоиды золотого и голубого цвета, которые соответствуют одним и тем же наборам реальных и воображаемых точек выборки. Таким образом, они являются псевдонимами друг друга при выборке со скоростью ( f _s ), указанной линиями сетки. Функция золотого цвета изображает положительную частоту, поскольку ее действительная часть (функция cos) опережает мнимую часть на 1/4 одного цикла. Функция голубого цвета отображает отрицательную частоту, поскольку ее действительная часть отстает от мнимой.

Смотрите также

• Угол § Знак

Примечания

1. Существует несколько форм преобразования Фурье. Это неунитарная форма по угловой частоте времени.

дальнейшее чтение

• Лайонс, Ричард Г. (11 ноября 2010 г.). Глава 8.4. Понимание цифровой обработки сигналов (3-е изд.). Прентис Холл. 944 стр. ISBN  0137027419 .
• Лайонс, Ричард Г. (ноябрь 2001 г.). «Понимание частотной области цифровой обработки сигналов». Журнал РФ Дизайн . Проверено 29 декабря 2022 г.