Суммирование по частям

Теорема об упрощении сумм произведений последовательностей

В математике суммирование по частям преобразует суммирование произведений последовательностей в другие суммирования, часто упрощая вычисления или (особенно) оценку некоторых типов сумм. Это также называется леммой Абеля или преобразованием Абеля , названным в честь Нильса Хенрика Абеля , который ввел его в 1826 году. ^[1]

Заявление

Предположим, что и — две последовательности . Тогда, ${\displaystyle \{f_{k}\}}$ ${\displaystyle \{g_{k}\}}$

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}f_{k}(g_{k+1}-g_{k})=\left(f_{n+1}g_{n+1}-f_{m}g_{m}\right)-\sum _{k=m}^{n}g_{k+1}(f_{k+1}-f_{k}).}$

Используя оператор прямой разности , это можно сформулировать более кратко как ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}f_{k}\Delta g_{k}=\left(f_{n+1}g_{n+1}-f_{m}g_{m}\right)-\sum _{k=m}^{n}g_{k+1}\Delta f_{k},}$

Суммирование по частям является аналогом интегрирования по частям :

${\displaystyle \int f\,dg=fg-\int g\,df,}$

или к формуле суммирования Абеля :

${\displaystyle \sum _{k=m+1}^{n}f(k)(g_{k}-g_{k-1})=\left(f(n)g_{n}-f(m)g_{m}\right)-\int _{m}^{n}g_{\lfloor t\rfloor }f'(t)dt.}$

Альтернативное утверждение:

${\displaystyle f_{n}g_{n}-f_{m}g_{m}=\sum _{k=m}^{n-1}f_{k}\Delta g_{k}+\sum _{k=m}^{n-1}g_{k}\Delta f_{k}+\sum _{k=m}^{n-1}\Delta f_{k}\Delta g_{k}}$

что аналогично формуле интегрирования по частям для семимартингалов .

Хотя приложения почти всегда имеют дело со сходимостью последовательностей, утверждение является чисто алгебраическим и будет работать в любой области . Оно также будет работать, когда одна последовательность находится в векторном пространстве , а другая — в соответствующем поле скаляров.

ряд Ньютона

Формула иногда приводится в одной из этих — немного отличающихся — форм:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}&=f_{0}\sum _{k=0}^{n}g_{k}+\sum _{j=0}^{n-1}(f_{j+1}-f_{j})\sum _{k=j+1}^{n}g_{k}\\&=f_{n}\sum _{k=0}^{n}g_{k}-\sum _{j=0}^{n-1}\left(f_{j+1}-f_{j}\right)\sum _{k=0}^{j}g_{k},\end{aligned}}}$

которые представляют собой частный случай ( ) более общего правила ${\displaystyle M=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}&=\sum _{i=0}^{M-1}f_{0}^{(i)}G_{i}^{(i+1)}+\sum _{j=0}^{n-M}f_{j}^{(M)}G_{j+M}^{(M)}=\\&=\sum _{i=0}^{M-1}\left(-1\right)^{i}f_{n-i}^{(i)}{\tilde {G}}_{n-i}^{(i+1)}+\left(-1\right)^{M}\sum _{j=0}^{n-M}f_{j}^{(M)}{\tilde {G}}_{j}^{(M)};\end{aligned}}}$

Оба являются результатом итерационного применения исходной формулы. Вспомогательными величинами являются ряды Ньютона :

${\displaystyle f_{j}^{(M)}:=\sum _{k=0}^{M}\left(-1\right)^{M-k}{M \choose k}f_{j+k}}$

и

${\displaystyle G_{j}^{(M)}:=\sum _{k=j}^{n}{k-j+M-1 \choose M-1}g_{k},}$

${\displaystyle {\tilde {G}}_{j}^{(M)}:=\sum _{k=0}^{j}{j-k+M-1 \choose M-1}g_{k}.}$

Конкретный ( ) результат — это тождество ${\displaystyle M=n+1}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}f_{k}g_{k}=\sum _{i=0}^{n}f_{0}^{(i)}G_{i}^{(i+1)}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}f_{n-i}^{(i)}{\tilde {G}}_{n-i}^{(i+1)}.}$

Здесь — биномиальный коэффициент . ${\textstyle {n \choose k}}$

Метод

Для двух заданных последовательностей и , при этом требуется изучить сумму следующего ряда: ${\displaystyle (a_{n})}$ ${\displaystyle (b_{n})}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ $${\displaystyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}$$

Если мы определим тогда для каждого и ${\textstyle \displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{k},}$ ${\displaystyle n>0,}$ ${\displaystyle b_{n}=B_{n}-B_{n-1}}$ $${\displaystyle S_{N}=a_{0}b_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}(B_{n}-B_{n-1}),}$$ $${\displaystyle S_{N}=a_{0}b_{0}-a_{1}B_{0}+a_{N}B_{N}+\sum _{n=1}^{N-1}B_{n}(a_{n}-a_{n+1}).}$$

Окончательно ${\textstyle \displaystyle S_{N}=a_{N}B_{N}-\sum _{n=0}^{N-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n}).}$

Этот процесс, называемый преобразованием Абеля, можно использовать для доказательства нескольких критериев сходимости для . ${\displaystyle S_{N}}$

Подобие с интегрированием по частям

Формула интегрирования по частям имеет вид . ${\textstyle \displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,dx}$

Помимо граничных условий , мы замечаем, что первый интеграл содержит две умноженные функции, одна из которых интегрируется в конечном интеграле ( становится ), а другая дифференцируется ( становится ). ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f'}$

Процесс преобразования Абеля аналогичен, поскольку одна из двух исходных последовательностей суммируется ( становится ), а другая разностная ( становится ). ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}}$

Приложения

• Он используется для доказательства леммы Кронекера , которая, в свою очередь, используется для доказательства версии усиленного закона больших чисел при ограничениях дисперсии .
• Его можно использовать для доказательства теоремы Никомаха о том, что сумма первых кубов равна квадрату суммы первых положительных целых чисел. ^[2] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$
• Суммирование по частям часто используется для доказательства теоремы Абеля и теста Дирихле .
• Эту технику можно также использовать для доказательства теста Абеля : если — сходящийся ряд , а — ограниченная монотонная последовательность , то сходится. ${\textstyle \sum _{n}b_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\textstyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}$

Доказательство теста Абеля. Суммирование по частям дает , где a — предел . Так как сходится, то ограничен независимо от , скажем, . Так как стремятся к нулю, то стремятся и первые два члена. Третий член стремится к нулю по критерию Коши для . Оставшаяся сумма ограничена монотонностью , а также стремится к нулю при . $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{M}-S_{N}&=a_{M}B_{M}-a_{N}B_{N}-\sum _{n=N}^{M-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n})\\&=(a_{M}-a)B_{M}-(a_{N}-a)B_{N}+a(B_{M}-B_{N})-\sum _{n=N}^{M-1}B_{n}(a_{n+1}-a_{n}),\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\textstyle \sum _{n}b_{n}}$ ${\displaystyle B_{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a_{n}-a}$ ${\textstyle \sum _{n}b_{n}}$ $${\displaystyle \sum _{n=N}^{M-1}|B_{n}||a_{n+1}-a_{n}|\leq B\sum _{n=N}^{M-1}|a_{n+1}-a_{n}|=B|a_{N}-a_{M}|}$$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle N\to \infty }$

Используя то же доказательство, что и выше, можно показать, что если

1. частичные суммы образуют ограниченную последовательность независимо от ; ${\displaystyle B_{N}}$ ${\displaystyle N}$
2. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n+1}-a_{n}|<\infty }$(так что сумма стремится к нулю, стремясь к бесконечности) ${\displaystyle \sum _{n=N}^{M-1}|a_{n+1}-a_{n}|}$ ${\displaystyle N}$
3. ${\displaystyle \lim a_{n}=0}$

затем сходится. ${\textstyle S_{N}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}b_{n}}$

В обоих случаях сумма ряда удовлетворяет: $${\displaystyle |S|=\left|\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}b_{n}\right|\leq B\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n+1}-a_{n}|.}$$

Операторы суммирования по частям для методов конечных разностей высокого порядка

Оператор конечной разности суммирования по частям (SBP) обычно состоит из центральной разностной внутренней схемы и определенных граничных шаблонов, которые имитируют поведение соответствующей формулировки интегрирования по частям. ^{[3] [4]} Граничные условия обычно налагаются методом одновременного приближения термина (SAT). ^[5] Сочетание SBP-SAT является мощной основой для обработки границ. Метод предпочтителен из-за хорошо зарекомендовавшей себя стабильности для долговременного моделирования и высокого порядка точности.

Смотрите также

• Сходящийся ряд
• Расходящиеся ряды
• Интеграция по частям
• Подведение итогов по Чезаро
• Теорема Абеля
• Формула суммы Абеля

Ссылки

1. Чу, Вэньчан (2007). «Лемма Абеля о суммировании по частям и основные гипергеометрические ряды». Успехи в прикладной математике . 39 (4): 490–514. doi : 10.1016/j.aam.2007.02.001 .
2. Эдмондс, Шейла М. (1957). «Суммы степеней натуральных чисел». The Mathematical Gazette . 41 (337): 187–188. doi :10.2307/3609189. JSTOR  3609189. MR  0096615.
3. Стрэнд, Бо (январь 1994). «Суммирование по частям для конечно-разностных аппроксимаций для d/dx». Журнал вычислительной физики . 110 (1): 47–67. doi :10.1006/jcph.1994.1005.
4. Мэттссон, Кен; Нордстрём, Ян (сентябрь 2004 г.). «Операторы суммирования по частям для конечно-разностных аппроксимаций вторых производных». Журнал вычислительной физики . 199 (2): 503–540. doi :10.1016/j.jcp.2004.03.001.
5. Карпентер, Марк Х.; Готтлиб, Дэвид; Абарбанель, Саул (апрель 1994 г.). «Устойчивые во времени граничные условия для конечно-разностных схем, решающих гиперболические системы: методология и применение к компактным схемам высокого порядка». Журнал вычислительной физики . 111 (2): 220–236. CiteSeerX 10.1.1.465.603 . doi :10.1006/jcph.1994.1057. 

Библиография

• Абель, Нильс Хенрик (1826). «Untersuchungen über die Reihe usw». Дж. Рейн Ангью. Математика. 1 : 311–339. ${\displaystyle 1+{\frac {m}{x}}+{\frac {m\cdot (m-1)}{2\cdot 1}}x^{2}+{\frac {m\cdot (m-1)\cdot (m-2)}{3\cdot 2\cdot 1}}x^{3}+\ldots }$