Продукт крышки

Метод в алгебраической топологии

В алгебраической топологии произведение колпачков — это метод присоединения цепи степени p к коцепи степени q , такой, что q ≤ p , для образования составной цепи степени p − q . Он был введен Эдуардом Чехом в 1936 году и независимо Хасслером Уитни в 1938 году.

Определение

Пусть X — топологическое пространство , а R — кольцо коэффициентов. Произведение колпачков — это билинейное отображение на сингулярных гомологиях и когомологиях

${\displaystyle \frown \;:H_{p}(X;R)\times H^{q}(X;R)\rightarrow H_{p-q}(X;R).}$

определяется путем сжатия сингулярной цепи с сингулярной коцепью по формуле: ${\displaystyle \sigma :\Delta \ ^{p}\rightarrow \ X}$ ${\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R),}$

${\displaystyle \sigma \frown \psi =\psi (\sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]})\sigma |_{[v_{q},\ldots ,v_{p}]}.}$

Здесь обозначение указывает на ограничение симплициального отображения его гранью, натянутой на векторы основания, см. Симплекс . ${\displaystyle \sigma |_{[v_{0},\ldots ,v_{q}]}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Интерпретация

По аналогии с интерпретацией произведения чашек в терминах формулы Кюннета , мы можем объяснить существование произведения крышек следующим образом. Используя приближение CW, мы можем предположить, что является CW-комплексом и (и ) является комплексом его клеточных цепей (или коцепей, соответственно). Рассмотрим затем композицию , где мы берем тензорные произведения цепных комплексов , является диагональным отображением , которое индуцирует отображение на цепном комплексе, и является оценочным отображением (всегда 0, за исключением ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{\bullet }(X)}$ ${\displaystyle C^{\bullet }(X)}$ $${\displaystyle C_{\bullet }(X)\otimes C^{\bullet }(X){\overset {\Delta _{*}\otimes \mathrm {Id} }{\longrightarrow }}C_{\bullet }(X)\otimes C_{\bullet }(X)\otimes C^{\bullet }(X){\overset {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C_{\bullet }(X)}$$ ${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$ $${\displaystyle \Delta _{*}\colon C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(X\times X)\cong C_{\bullet }(X)\otimes C_{\bullet }(X)}$$ ${\displaystyle \varepsilon \colon C_{p}(X)\otimes C^{q}(X)\to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle p=q}$

Затем эта композиция переходит в частное для определения произведения вершин , и внимательное рассмотрение приведенной выше композиции показывает, что она действительно принимает форму отображений , которые всегда равны нулю для . ${\displaystyle \frown \colon H_{\bullet }(X)\times H^{\bullet }(X)\to H_{\bullet }(X)}$ ${\displaystyle \frown \colon H_{p}(X)\times H^{q}(X)\to H_{p-q}(X)}$ ${\displaystyle p<q}$

Фундаментальный класс

Для любой точки в мы имеем длинную точную последовательность в гомологии (с коэффициентами в ) пары (M, M - {x}) (см. Относительная гомология ) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(M-{x};R){\stackrel {i_{*}}{\to }}H_{n}(M;R){\stackrel {j_{*}}{\to }}H_{n}(M,M-{x};R){\stackrel {\partial }{\to }}H_{n-1}(M-{x};R)\to \cdots .}$

Элемент из называется фундаментальным классом для , если является генератором . Фундаментальный класс из существует, если является замкнутым и R-ориентируемым . Фактически, если является замкнутым, связным и -ориентируемым многообразием, отображение является изоморфизмом для всех из и, следовательно, мы можем выбрать любой генератор из в качестве фундаментального класса. ${\displaystyle [M]}$ ${\displaystyle H_{n}(M;R)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle j_{*}([M])}$ ${\displaystyle H_{n}(M,M-{x};R)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle H_{n}(M;R){\stackrel {j_{*}}{\to }}H_{n}(M,M-{x};R)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle H_{n}(M;R)}$

Связь с двойственностью Пуанкаре

Для замкнутого -ориентируемого n-многообразия с фундаментальным классом в (который мы можем выбрать в качестве любого генератора ), отображение произведения шапок является изоморфизмом для всех . Этот результат известен как двойственность Пуанкаре . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle [M]}$ ${\displaystyle H_{n}(M;R)}$ ${\displaystyle H_{n}(M;R)}$ $${\displaystyle H^{k}(M;R)\to H_{n-k}(M;R),\alpha \mapsto [M]\frown \alpha }$$ ${\displaystyle k}$

Наклонный продукт

Если в приведенном выше обсуждении заменить на , то конструкцию можно (частично) повторить, исходя из отображений и ${\displaystyle X\times X}$ ${\displaystyle X\times Y}$ $${\displaystyle C_{\bullet }(X\times Y)\otimes C^{\bullet }(Y)\cong C_{\bullet }(X)\otimes C_{\bullet }(Y)\otimes C^{\bullet }(Y){\overset {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C_{\bullet }(X)}$$ $${\displaystyle C^{\bullet }(X\times Y)\otimes C_{\bullet }(Y)\cong C^{\bullet }(X)\otimes C^{\bullet }(Y)\otimes C_{\bullet }(Y){\overset {\mathrm {Id} \otimes \varepsilon }{\longrightarrow }}C^{\bullet }(X)}$$

чтобы получить, соответственно, наклонные продукты : и ${\displaystyle /}$ $${\displaystyle H_{p}(X\times Y;R)\otimes H^{q}(Y;R)\rightarrow H_{p-q}(X;R)}$$ $${\displaystyle H^{p}(X\times Y;R)\otimes H_{q}(Y;R)\rightarrow H^{p-q}(X;R).}$$

В случае X = Y первый из них связан с произведением кэпов диагональным отображением: . ${\displaystyle \Delta _{*}(a)/\phi =a\frown \phi }$

Эти «произведения» в некотором смысле больше похожи на деление, чем на умножение, что отражено в их обозначении.

Уравнения

Граница продукта кэпа определяется по формуле:

${\displaystyle \partial (\sigma \frown \psi )=(-1)^{q}(\partial \sigma \frown \psi -\sigma \frown \delta \psi ).}$

При наличии отображения f индуцированные отображения удовлетворяют:

${\displaystyle f_{*}(\sigma )\frown \psi =f_{*}(\sigma \frown f^{*}(\psi )).}$

Произведение крышки и чашки связано соотношением:

${\displaystyle \psi (\sigma \frown \varphi )=(\varphi \smile \psi )(\sigma )}$

где

${\displaystyle \sigma :\Delta ^{p+q}\rightarrow X}$, и ${\displaystyle \psi \in C^{q}(X;R)}$ ${\displaystyle \varphi \in C^{p}(X;R).}$

Если допускается иметь более высокую степень, чем , то последнее тождество принимает более общую форму ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle p+q}$

${\displaystyle (\sigma \frown \varphi )\frown \psi =\sigma \frown (\varphi \smile \psi )}$

что делает его правым модулем . ${\displaystyle H_{\ast }(X;R)}$ ${\displaystyle H^{\ast }(X;R)}$

Смотрите также

• Чашка продукта
• Двойственность Пуанкаре
• Сингулярная гомология
• Теория гомологии

Ссылки

• Хэтчер, А. , Алгебраическая топология, Cambridge University Press (2002) ISBN  0-521-79540-0 . Подробное обсуждение теорий гомологии для симплициальных комплексов и многообразий, сингулярных гомологии и т. д.
• May JP (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF) . Издательство Чикагского университета . Архивировано (PDF) из оригинала 2022-10-09 . Получено 2008-09-27 .В разделе 2.7 дается теоретико-категорное представление теоремы как копредела в категории группоидов.
• наклонный продукт в n Lab
• Двойственность Пуанкаре в n Lab