Переменный ряд

Бесконечный ряд, члены которого чередуются по знаку

В математике знакопеременный ряд _— это бесконечный ряд членов, которые чередуют положительные и отрицательные знаки. В заглавной сигма-нотации это выражается или с n > 0 для всех  n . $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}$$ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}}$$

Как и любой ряд, знакопеременный ряд является сходящимся тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм ряда сходится к пределу . Тест знакопеременного ряда гарантирует, что знакопеременный ряд сходится, если члены a _n сходятся к 0 монотонно , но это условие не является необходимым для сходимости.

Примеры

Геометрическая прогрессия ⁠ 1 / 2 ⁠ − ⁠ 1 / 4 ⁠ + ⁠ 1 / 8 ⁠ − ⁠ 1 / 16 ⁠ + ⋯ дает в сумме ⁠ 1 / 3 ⁠ .

Знакопеременный гармонический ряд имеет конечную сумму, а гармонический ряд — нет. Ряд сходится к , но не является абсолютно сходящимся. $${\displaystyle 1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}$$ ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$

Ряд Меркатора представляет собой аналитическое выражение степенного ряда натурального логарифма , заданное формулой $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=\ln(1+x),\;\;\;|x|\leq 1,x\neq -1.}$$

Функции синуса и косинуса, используемые в тригонометрии и введенные в элементарную алгебру как отношение сторон прямоугольного треугольника, также могут быть определены как знакопеременные ряды в исчислении . Если из этих рядов удалить знакопеременный множитель (–1) ⁿ , то получатся гиперболические функции sinh и cosh, используемые в исчислении и статистике. $${\displaystyle \sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$$ $${\displaystyle \cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}.}$$

Для целого или положительного индекса α функция Бесселя первого рода может быть определена с помощью знакопеременного ряда, где Γ( z ) — гамма-функция . $${\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }}$$

Если s — комплексное число , то эта-функция Дирихле формируется как знакопеременный ряд , который используется в аналитической теории чисел . $${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }$$

Тест чередующихся серий

Теорема, известная как «тест Лейбница» или тест знакопеременного ряда, утверждает, что знакопеременный ряд будет сходиться, если члены a _n монотонно стремятся к 0 .

Доказательство: Предположим, что последовательность сходится к нулю и монотонно убывает. Если нечетно и , то получаем оценку с помощью следующего вычисления: ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}-S_{m}&=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\ =\sum _{k=m+1}^{n}\,(-1)^{k}\,a_{k}\\&=a_{m+1}-a_{m+2}+a_{m+3}-a_{m+4}+\cdots +a_{n}\\&=a_{m+1}-(a_{m+2}-a_{m+3})-(a_{m+4}-a_{m+5})-\cdots -a_{n}\leq a_{m+1}\leq a_{m}.\end{aligned}}}$$

Так как монотонно убывает, то члены отрицательны. Таким образом, имеем окончательное неравенство: . Аналогично можно показать, что . Так как сходится к , то частичные суммы образуют последовательность Коши (т. е. ряд удовлетворяет критерию Коши ) и, следовательно, они сходятся. Аргумент для четного аналогичен. ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle -(a_{m}-a_{m+1})}$ ${\displaystyle S_{n}-S_{m}\leq a_{m}}$ ${\displaystyle -a_{m}\leq S_{n}-S_{m}}$ ${\displaystyle a_{m}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle S_{m}}$ ${\displaystyle m}$

Приблизительные суммы

Оценка выше не зависит от . Итак, если приближается к 0 монотонно, оценка дает границу ошибки для аппроксимации бесконечных сумм частичными суммами: Это не означает, что эта оценка всегда находит самый первый элемент, после которого ошибка меньше модуля следующего члена в ряду. Действительно, если вы возьмете и попытаетесь найти член, после которого ошибка не превысит 0,00005, неравенство выше показывает, что частичной суммы до достаточно, но на самом деле это вдвое больше членов, чем нужно. Действительно, ошибка после суммирования первых 9999 элементов составляет 0,0000500025, и поэтому взятие частичной суммы до достаточно. Этот ряд обладает тем свойством, что построение нового ряда с также дает чередующийся ряд, где применяется тест Лейбница, и, таким образом, делает эту простую границу ошибки неоптимальной. Это было улучшено границей Калабрезе, ^[1], открытой в 1962 году, которая гласит, что это свойство допускает результат в 2 раза меньший, чем с границей ошибки Лейбница. Фактически, это также не оптимально для рядов, где это свойство применяется 2 или более раз, что описывается границей ошибки Джонсонбо . ^[2] Если можно применить свойство бесконечное число раз, то применяется преобразование Эйлера . ^[3] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n}}$ $${\displaystyle \left|\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\,a_{k}\,-\,\sum _{k=0}^{m}\,(-1)^{k}\,a_{k}\right|\leq |a_{m+1}|.}$$ ${\displaystyle 1-1/2+1/3-1/4+...=\ln 2}$ ${\displaystyle a_{20000}}$ ${\displaystyle a_{10000}}$ ${\displaystyle a_{n}-a_{n+1}}$

Абсолютная сходимость

Ряд сходится абсолютно, если ряд сходится. ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum |a_{n}|}$

Теорема: Абсолютно сходящиеся ряды сходятся.

Доказательство: Предположим , что абсолютно сходится. Тогда сходится и, следовательно, также сходится. Так как , ряд сходится по признаку сравнения . Следовательно, ряд сходится как разность двух сходящихся рядов . ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum |a_{n}|}$ ${\textstyle \sum 2|a_{n}|}$ ${\textstyle 0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|}$ ${\textstyle \sum (a_{n}+|a_{n}|)}$ ${\textstyle \sum a_{n}}$ ${\textstyle \sum a_{n}=\sum (a_{n}+|a_{n}|)-\sum |a_{n}|}$

Условная сходимость

Ряд условно сходится, если он сходится, но не сходится абсолютно.

Например, гармонический ряд расходится, а его знакопеременный вариант сходится по тесту знакопеременного ряда. $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}},}$$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},}$$

Перестановки

Для любого ряда мы можем создать новый ряд, переставив порядок суммирования. Ряд безусловно сходится, если любая перестановка создает ряд с той же сходимостью, что и исходный ряд. Абсолютно сходящиеся ряды безусловно сходятся . Но теорема Римана о рядах утверждает, что условно сходящиеся ряды можно переставить, чтобы создать произвольную сходимость. ^[4] Общий принцип заключается в том, что сложение бесконечных сумм коммутативно только для абсолютно сходящихся рядов.

Например, одно ложное доказательство того, что 1=0, использует отсутствие ассоциативности для бесконечных сумм.

В качестве другого примера, по серии Меркатора $${\displaystyle \ln(2)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots .}$$

Но поскольку ряд не сходится абсолютно, мы можем переставить члены, чтобы получить ряд для : ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}\ln(2)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2).\end{aligned}}}$$

Серийное ускорение

На практике численное суммирование чередующихся рядов может быть ускорено с помощью любого из множества методов ускорения рядов . Одним из старейших методов является суммирование Эйлера , и существует множество современных методов, которые могут предложить еще более быструю сходимость.

Смотрите также

• Серия Гранди
• Интеграл Нёрлунда–Райса

Примечания

1. Калабрезе, Филипп (март 1962 г.). «Заметка о чередующихся рядах». The American Mathematical Monthly . 69 (3): 215–217. doi :10.2307/2311056. JSTOR  2311056.
2. Джонсонбо, Ричард (октябрь 1979). «Суммирование чередующихся рядов». The American Mathematical Monthly . 86 (8): 637–648. doi :10.2307/2321292. JSTOR  2321292.
3. Вилларино, Марк Б. (2015-11-27). «Ошибка в чередующемся ряду». arXiv : 1511.08568 [math.CA].
4. Маллик, АК (2007). «Любопытные следствия простых последовательностей». Resonance . 12 (1): 23–37. doi :10.1007/s12045-007-0004-7. S2CID  122327461.

Ссылки

• Эрл Д. Рейнвилл (1967) Infinite Series , стр. 73–6, Macmillan Publishers .
• Вайсштейн, Эрик В. «Знакопеременные ряды». MathWorld .