Четырехзначная логика

Любая логика с четырьмя значениями истинности

В логике четырехзначная логика — это любая логика с четырьмя значениями истинности. Было развито несколько типов четырехзначной логики.

Белнап

Нуэль Белнап рассмотрел проблему получения ответов на вопросы с помощью компьютера в 1975 году. Отмечая склонность человека ошибаться, он был обеспокоен случаем, когда два противоречивых факта загружались в память, а затем был сделан запрос. «Мы все знаем о плодовитости противоречий в двузначной логике: противоречия никогда не изолированы, заражая всю систему». ^[1] Белнап предложил четырехзначную логику как средство сдерживания противоречия. ^{[2] [3]}

Он назвал таблицу значений A4 : Возможные значения: true , false , оба (истина и ложь) и ни одно (истина и ложь). Логика Belnap разработана для работы с несколькими источниками информации, так что если найдена только истина, то присваивается правда , если найдена только ложь, то присваивается ложь , если некоторые источники говорят правду, а другие говорят ложь, то присваиваются оба , и если информация отсутствует задано любым источником информации, то ни один из них не назначается. Эти четыре значения соответствуют элементам набора мощности на основе { T, F }.

T — верхняя грань, а F — нижняя грань логической решетки , где «Нет» и «Оба» находятся на крыльях. Белнап дает следующую интерпретацию: «Самое худшее — это когда говорят что-то ложное упрощение. Вам будет лучше (это одна из ваших надежд), если вам либо ничего об этом не расскажут, либо вам скажут и то, что это правда, и то, что это правда». ложно; хотя, конечно, лучше всего сказать, что это правда». Белнап отмечает, что в его 4-значной системе избегаются «парадоксы импликации» (A&~A)→B и A→(B∨~B).

Логические связки

Компания Belnap решила проблему расширения логических связок до формата A4 . Поскольку это набор степеней на { T, F }, элементы A4 упорядочены путем включения , что делает его решеткой , в которой оба находятся в верхней части, N - в нижней, а T и F - на крыльях. Ссылаясь на Дану Скотта , он предполагает, что связки представляют собой непрерывные по Скотту или монотонные функции . Сначала он расширяет отрицание , выводя, что ¬Both = Оба и ¬None = None. Если расширить And и Or, то монотонность зайдет лишь до определенного момента. Belnap использует эквивалентность (a&b = a тогда и только тогда, когда avb = b) для заполнения таблиц для этих связок. Он находит None & Both = F , а None v Both = T.

В результате получается вторая решетка L4, называемая «логической решеткой», где A4 — «решетка аппроксимации», определяющая непрерывность Скотта.

Реализация с использованием двух битов

Пусть для каждого значения истинности назначен один бит : 01=T и 10=F, 00=N и 11=B. ^[4]

Тогда отношение подмножества в наборе степеней на {T, F} соответствует порядку ab<cd тогда и только тогда, когда a<c и b<d в двухбитовом представлении. Белнап называет решетку, связанную с этим порядком, «решеткой аппроксимации».

Логика, связанная с двухбитовыми переменными, может быть встроена в компьютерное оборудование. ^[5]

Матричные переходы

Как дискретная система , четырехзначная логика иллюстрирует набор состояний, подлежащих переходам с помощью логических матриц, образующих систему переходов . Входной сигнал из двух битов преобразуется в выходной сигнал из двух бит посредством умножения матрицы .

Существует шестнадцать логических матриц размером 2x2 и четыре логических вектора, которые действуют как входные и выходные данные матричных переходов:

X = {A, B, C, D } = {(0,1), (1, 0), (0, 0), (1, 1) }.

Когда входной сигнал C, выходной сигнал всегда равен C. Четыре из шестнадцати имеют ноль только в одном углу, поэтому выходным результатом умножения векторной матрицы с булевой арифметикой всегда является D, за исключением входного сигнала C.

Еще девять логических матриц требуют описания, чтобы заполнить систему помеченных переходов, где матрицы обозначают переходы. За исключением C, входные данные A, B и D рассматриваются по порядку, а выходные данные в X выражаются в виде тройки, например ABD для широко известного как единичная матрица . ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},}$

Асимметричные матрицы различаются по своему действию на векторы-строки и вектор-столбцы. Здесь используется соглашение о строках:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}}$имеет код BBB, код AAA ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}}$имеет код CDB, код DCA. ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}}}$

Остальные операции над X выражаются матрицами с тремя нулями, поэтому выходные данные включают C для трети входных данных. В этих случаях коды: CAA, BCA, ACA и CBB.

Приложения

Четырехзначная логика была установлена ​​IEEE в стандарте IEEE 1364 : она моделирует значения сигналов в цифровых схемах. Четыре значения : 1 , 0 , Z и X. 1 и 0 означают логические значения «истина» и «ложь», Z означает высокий импеданс или разомкнутую цепь, а X означает « безразлично» (например, значение не имеет никакого эффекта). Эта логика сама по себе является подмножеством стандарта 9-значной логики, называемого IEEE 1164 и реализованного на языке описания аппаратного обеспечения сверхвысокоскоростных интегральных схем, std_logic VHDL .

Не следует путать четырехзначную математическую логику (с использованием операторов, таблиц истинности, силлогизмов, исчисления высказываний, теорем и т. д.) с протоколами связи, построенными с использованием двоичной логики и отображающими ответы с четырьмя возможными состояниями, реализованными с булевым типом значений: например, стандарт SAE J1939 , используемый для передачи данных CAN в тяжелых дорожных транспортных средствах, который имеет четыре логических (логических) значения: False , True , Error Condition и Not установлен (представлен значениями 0–3). Состояние ошибки означает, что существует техническая проблема, препятствующая получению данных. Логика для этого, например, True и Error Condition = Error Condition . Параметр «Не установлено» используется для обозначения функции, которой нет в этом автомобиле, и ее следует игнорировать при логических расчетах. По CAN обычно отправляются сообщения с фиксированными данными, каждое из которых содержит множество значений сигналов, поэтому сигнал, представляющий неустановленную функцию, будет отправлен в любом случае.

Разделенный бит, предложенный гейт

При создании углеродных нанотрубок для логических вентилей использовались полевые транзисторы из углеродных нанотрубок (CNFET). Ожидаемый спрос на хранение данных в Интернете вещей (IoT) является мотивацией. Было сделано предложение для приложения процесса 32 нм с использованием разделенного битового вентиля: «Благодаря использованию технологии CNFET в узле 32 нм с помощью предлагаемого вентиля SQI были предложены архитектуры QSRAM с двумя разделенными битовыми линиями для решения проблемы растущего спроса на Была предложена емкость хранения в приложениях IoT/IoVT, таких как новый четвертично-двоичный декодер для QSRAM». ^[6]

Рекомендации

1. Эта особенность двузначной логики получила название принципа взрыва .
2. Н. Белнап (1975) «Как компьютеры должны думать», страницы с 30 по 56 в «Современных аспектах философии» , редактор Гилберта Райла , Oriel Press ISBN  0-85362-161-6
3. Н. Белнап (1977) Полезная четырехзначная логика, в «Современном использовании многозначной логики» , под редакцией Дж. Майкла Данна и Джорджа Эпштейна, книги Springer
4. Греневский, Генрик; Боченек, Кристин; Марчинский, Ромуальд (1955). «Применение двухэлементной булевой алгебры к электронным схемам». Студия Логика . 2 :7–75. дои : 10.1007/BF02124765. S2CID  122166200.
5. Бен Чой (2013) «Переход от двух к четырехзначным логическим схемам», Международная конференция по промышленным технологиям, IEEE , doi : 10.1109/ICIT.2013.6505818
6. Гасемиан1, Арсалан; Абири1, Ибрагим; Гасанли1, Курош; Дараби1, Абдолреза (11 января 2022 г.). «HF-QSRAM: свободная четверичная SRAM с половинным выбором и необходимыми периферийными схемами для приложений IoT/IoVT». ECS Журнал науки и техники твердого тела . 11 (1). ИОП. 011002. Бибкод : 2022JSSST..11a1002G. дои : 10.1149/2162-8777/ac4798. S2CID  245689866.{{cite journal}}: CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

дальнейшее чтение

• Ариэли, Офер; Аврон, Арнон (декабрь 2017 г.). «Четырехзначная параопределенная логика». Студия Логика . 105 (6) (опубликовано 10 апреля 2017 г.): 1087–1122. дои : 10.1007/s11225-017-9721-4. S2CID  207243272.
• Бимбо, Каталин ; Данн, Дж. Майкл (лето 2001 г.). «Четырехзначная логика». Журнал формальной логики Нотр-Дама . 42 (3): 171–192. дои : 10.1305/ndjfl/1063372199 . MR  2010180. Zbl  1034.03021 – через Project Euclid .
• Феррейра, Дж. Улиссес (30 сентября – 1 октября 2017 г.). Четырехзначная логика (PDF) . 9-я Международная конференция по сетям и коммуникациям (NeCoM 2017). Компьютерные науки и информационные технологии . Том. 7, нет. 4. Дубай. стр. 71–84. дои : 10.5121/csit.2017.71206 . ISBN 978-1-921987-72-4.