Четырех-импульс

4D релятивистская энергия и импульс

В специальной теории относительности 4 -импульс (также называемый импульсом-энергией или моэнергией ^[1] ) является обобщением классического трехмерного импульса на четырехмерное пространство-время . Импульс является вектором в трех измерениях ; аналогично 4-импульс является 4-вектором в пространстве-времени . Контравариантный 4-импульс частицы с релятивистской энергией E и 3-импульсом p = ( p _x , p _y , p _z ) = γm v , где v - 3-скорость частицы, а γ - фактор Лоренца , равен $${\displaystyle p=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right).}$$

Величина m v выше — это обычный нерелятивистский импульс частицы, а m — ее масса покоя . Четырех-импульс полезен в релятивистских расчетах, поскольку является лоренц-ковариантным вектором. Это означает, что легко отслеживать, как он преобразуется при преобразованиях Лоренца .

норма Минковского

Вычисление квадрата нормы Минковского четырехимпульса дает инвариантную величину Лоренца, равную (с точностью до множителей скорости света c ) квадрату собственной массы частицы : где — метрический тензор специальной теории относительности с метрической сигнатурой для определенности, выбранной равной (–1, 1, 1, 1) . Отрицательность нормы отражает то, что импульс является времениподобным четырехвектором для массивных частиц. Другой выбор сигнатуры менял бы знаки в некоторых формулах (например, для нормы здесь). Этот выбор не важен, но однажды сделанный, он должен быть сохранен для согласованности во всем. $${\displaystyle p\cdot p=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=-{E^{2} \over c^{2}}+|\mathbf {p} |^{2}=-m^{2}c^{2}}$$ $${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$$

Норма Минковского инвариантна относительно Лоренца, то есть ее значение не меняется при преобразованиях Лоренца/усилении в различных системах отсчета. В более общем случае для любых двух 4-импульсов p и q величина p ⋅ q инвариантна.

Отношение к четырехскоростному

Для массивной частицы 4-импульс определяется как инвариантная масса частицы m, умноженная на 4-скорость частицы , где 4-скорость u равна , а — фактор Лоренца (связанный со скоростью ), c — скорость света . $${\displaystyle p^{\mu }=mu^{\mu },}$$ $${\displaystyle u=\left(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}\right)=\gamma _{v}\left(c,v_{x},v_{y},v_{z}\right),}$$ $${\displaystyle \gamma _{v}:={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$$ ${\displaystyle v}$

Вывод

Существует несколько способов прийти к правильному выражению для 4-импульса. Один из способов — сначала определить 4-скорость u = dx / dτ и просто определить p = mu , довольствуясь тем, что это 4-вектор с правильными единицами и правильным поведением. Другой, более удовлетворительный подход — начать с принципа наименьшего действия и использовать лагранжеву структуру для вывода 4-импульса, включая выражение для энергии. ^[2] Можно сразу, используя наблюдения, подробно описанные ниже, определить 4-импульс из действия S . Учитывая, что в общем случае для замкнутой системы с обобщенными координатами q _i и каноническими импульсами p _i , ^[3] немедленно (вспоминая x ⁰ = ct , x ¹ = x , x ² = y , x ³ = z и x ₀ = − x ⁰ , x ₁ = x ¹ , x ₂ = x ² , x ₃ = x ³ в настоящей метрической конвенции) следует, что это ковариантный четырехвектор с трехвекторной частью, являющейся (отрицательным) каноническим импульсом. $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial S}{\partial x_{i}}},\quad E=-{\frac {\partial S}{\partial t}}=-c\cdot {\frac {\partial S}{\partial x_{0}}},}$$ $${\displaystyle p_{\mu }=-{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}=\left({E \over c},-\mathbf {p} \right)}$$

Наблюдения

Рассмотрим вначале систему с одной степенью свободы q . При выводе уравнений движения из действия с использованием принципа Гамильтона (как правило) на промежуточном этапе для изменения действия находим $${\displaystyle \delta S=\left.\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q\right]\right|_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta qdt.}$$

Тогда предполагается, что различные пути удовлетворяют δq ( t ₁ ) = δq ( t ₂ ) = 0 , из чего уравнения Лагранжа следуют сразу. Когда уравнения движения известны (или просто предполагается, что они удовлетворены), можно отказаться от требования δq ( t ₂ ) = 0 . В этом случае предполагается , что путь удовлетворяет уравнениям движения, а действие является функцией верхнего предела интегрирования δq ( t ₂ ) , но t ₂ все еще фиксировано. Вышеуказанное уравнение становится с S = S ( q ) , и определяя δq ( t ₂ ) = δq , и допуская больше степеней свободы, $${\displaystyle \delta S=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\delta q_{i}=\sum _{i}p_{i}\delta q_{i}.}$$

Заметив это, можно сделать вывод $${\displaystyle \delta S=\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial {q}_{i}}}\delta q_{i},}$$ $${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}.}$$

Аналогичным образом, оставьте конечные точки фиксированными, но позвольте t ₂ = t изменяться. На этот раз системе разрешено перемещаться через конфигурационное пространство с «произвольной скоростью» или с «большей или меньшей энергией», уравнения поля по-прежнему предполагаются верными, а вариация может быть выполнена на интеграле, но вместо этого наблюдайте по фундаментальной теореме исчисления . Вычислите, используя приведенное выше выражение для канонических импульсов, $${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=L}$$ $${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}=L.}$$

Теперь, используя , где H — гамильтониан , получаем, поскольку E = H в данном случае, $${\displaystyle H=\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L,}$$ $${\displaystyle E=H=-{\frac {\partial S}{\partial t}}.}$$

Кстати, используя H = H ( q , p , t ) с p = ⁠∂ S/∂ q⁠ в приведенном выше уравнении дает уравнения Гамильтона–Якоби . В этом контексте S называется главной функцией Гамильтона .

---

Действие S определяется как где L — релятивистский лагранжиан для свободной частицы. Отсюда, $${\displaystyle S=-mc\int ds=\int Ldt,\quad L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},}$$

умалчивая об этих деталях,

Вариация действия - $${\displaystyle \delta S=-mc\int \delta ds.}$$

Чтобы вычислить δds , сначала заметим, что δds ² = 2 dsδds и что $${\displaystyle \delta ds^{2}=\delta \eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=\eta _{\mu \nu }\left(\delta \left(dx^{\mu }\right)dx^{\nu }+dx^{\mu }\delta \left(dx^{\nu }\right)\right)=2\eta _{\mu \nu }\delta \left(dx^{\mu }\right)dx^{\nu }.}$$

Так или и таким образом, что просто $${\displaystyle \delta ds=\eta _{\mu \nu }\delta dx^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}}=\eta _{\mu \nu }d\delta x^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}},}$$ $${\displaystyle \delta ds=\eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{cd\tau }}d\tau ,}$$ $${\displaystyle \delta S=-m\int \eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}d\tau =-m\int \eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}u^{\nu }d\tau =-m\int \eta _{\mu \nu }\left[{\frac {d}{d\tau }}\left(\delta x^{\mu }u^{\nu }\right)-\delta x^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}u^{\nu }\right]d\tau }$$ $${\displaystyle \delta S=\left[-mu_{\mu }\delta x^{\mu }\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta x^{\mu }{\frac {du_{\mu }}{ds}}ds}$$

---

$${\displaystyle \delta S=\left[-mu_{\mu }\delta x^{\mu }\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta x^{\mu }{\frac {du_{\mu }}{ds}}ds=-mu_{\mu }\delta x^{\mu }={\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}\delta x^{\mu }=-p_{\mu }\delta x^{\mu },}$$

где второй шаг использует уравнения поля du ^μ / ds = 0 , ( δx ^μ ) _{t 1} = 0 , и ( δx ^μ ) _{t 2} ≡ δx ^μ как в наблюдениях выше. Теперь сравните последние три выражения, чтобы найти с нормой − m ² c ² , и знаменитый результат для релятивистской энергии, $${\displaystyle p^{\mu }=-\partial ^{\mu }[S]=-{\frac {\partial S}{\partial x_{\mu }}}=mu^{\mu }=m\left({\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{x}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{y}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{z}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right),}$$

${\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=m_{r}c^{2},}$

где m _r — это немодная сейчас релятивистская масса , следует. Сравнивая выражения для импульса и энергии напрямую, можно получить

${\displaystyle \mathbf {p} =E{\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}},}$

это справедливо и для безмассовых частиц. Возведение выражений для энергии и трехимпульса в квадрат и их связывание дает соотношение энергия-импульс ,

${\displaystyle {\frac {E^{2}}{c^{2}}}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +m^{2}c^{2}.}$

Подстановка в уравнение нормы дает релятивистское уравнение Гамильтона–Якоби , ^[4] $${\displaystyle p_{\mu }\leftrightarrow -{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}}$$

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\nu }}}=-m^{2}c^{2}.}$

Также возможно вывести результаты из лагранжиана напрямую. По определению, ^[5] которые составляют стандартные формулы для канонического импульса и энергии замкнутой (независимой от времени лагранжевой) системы. При таком подходе менее очевидно, что энергия и импульс являются частями четырехвектора. $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}=\left({\partial L \over \partial {\dot {x}}},{\partial L \over \partial {\dot {y}}},{\partial L \over \partial {\dot {z}}}\right)=m(\gamma v_{x},\gamma v_{y},\gamma v_{z})=m\gamma \mathbf {v} =m\mathbf {u} ,\\[3pt]E&=\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} -L={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\end{aligned}}}$$

Энергия и три-импульс являются отдельно сохраняющимися величинами для изолированных систем в лагранжевом каркасе. Следовательно, четыре-импульс также сохраняется. Подробнее об этом ниже.

Более прозаичные подходы включают ожидаемое поведение в электродинамике. ^[6] В этом подходе отправной точкой является применение закона силы Лоренца и второго закона Ньютона в системе покоя частицы. Свойства преобразования тензора электромагнитного поля, включая инвариантность электрического заряда , затем используются для преобразования в лабораторную систему, и полученное выражение (снова закон силы Лоренца) интерпретируется в духе второго закона Ньютона, что приводит к правильному выражению для релятивистского трехимпульса. Недостатком, конечно, является то, что не сразу ясно, что результат применим ко всем частицам, заряженным или нет, и что он не дает полного четырехвектора.

Также возможно избежать электромагнетизма и использовать хорошо настроенные мысленные эксперименты с участием хорошо подготовленных физиков, бросающих бильярдные шары, используя знание формулы сложения скоростей и предполагая сохранение импульса. ^{[7] [8]} Это также дает только трехвекторную часть.

Сохранение четырехимпульса

Как показано выше, существует три закона сохранения (не независимых, последние два подразумевают первый и наоборот):

• Четырехмерный импульс p (либо ковариантный, либо контравариантный) сохраняется.
• Полная энергия E = p ⁰ c сохраняется.
• Импульс в 3-мерном пространстве сохраняется (не путать с классическим нерелятивистским импульсом ). ${\displaystyle \mathbf {p} =\left(p^{1},p^{2},p^{3}\right)}$ ${\displaystyle m\mathbf {v} }$

Обратите внимание, что инвариантная масса системы частиц может быть больше суммы масс покоя частиц, поскольку кинетическая энергия в системе центра масс системы и потенциальная энергия от сил между частицами вносят вклад в инвариантную массу. Например, две частицы с четырьмя импульсами (5 ГэВ/ c , 4 ГэВ/ c , 0, 0) и (5 ГэВ/ c , −4 ГэВ/ c , 0, 0) каждая имеет (массу покоя) 3  ГэВ/ c ² по отдельности, но их общая масса (масса системы) составляет 10  ГэВ/ c ² . Если бы эти частицы столкнулись и слиплись, масса составного объекта составила бы 10  ГэВ/ c ² .

Одно из практических применений в физике элементарных частиц сохранения инвариантной массы включает объединение четырехимпульсов p _A и p _B двух дочерних частиц, образующихся при распаде более тяжелой частицы с четырехимпульсом p _C, для нахождения массы более тяжелой частицы. Сохранение четырехимпульса дает p _C ^μ = p _A ^μ + p _B ^μ , в то время как масса M более тяжелой частицы определяется как − P _C ⋅ P _C = M ² c ² . Измеряя энергии и трехимпульсы дочерних частиц, можно восстановить инвариантную массу двухчастичной системы, которая должна быть равна M . Этот метод используется, например, в экспериментальных поисках бозонов Z′ на коллайдерах частиц высоких энергий , где бозон Z′ будет проявляться как выступ в спектре инвариантной массы пар электрон – позитрон или мюон – антимюон.

Если масса объекта не меняется, внутренний продукт Минковского его 4-импульса и соответствующего 4-ускорения A ^μ просто равен нулю. 4-ускорение пропорционально собственной временной производной 4-импульса, деленной на массу частицы, поэтому $${\displaystyle p^{\mu }A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }A^{\nu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}{\frac {p^{\nu }}{m}}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}p\cdot p={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}\left(-m^{2}c^{2}\right)=0.}$$

Канонический импульс в присутствии электромагнитного потенциала

Для заряженной частицы с зарядом q , движущейся в электромагнитном поле, заданном электромагнитным 4-потенциалом : где φ — скалярный потенциал , а A = ( A _x , A _y , A _z ) — векторный потенциал , компоненты (не калибровочно -инвариантного ) канонического 4-вектора импульса P равны $${\displaystyle A=\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)=\left({\phi \over c},A_{x},A_{y},A_{z}\right)}$$ $${\displaystyle P^{\mu }=p^{\mu }+qA^{\mu }.}$$

Это, в свою очередь, позволяет компактно включить потенциальную энергию заряженной частицы в электростатическом потенциале и силу Лоренца, действующую на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, в релятивистскую квантовую механику .

Четырехимпульс в искривленном пространстве-времени

В случае, когда имеется движущаяся физическая система с непрерывным распределением материи в искривленном пространстве-времени, первичное выражение для четырехимпульса представляет собой четырехвектор с ковариантным индексом: ^[9]

${\displaystyle P_{\mu }=\left({\frac {E}{c}},-\mathbf {P} \right).}$

Четырех-импульс выражается через энергию физической системы и релятивистский импульс . При этом четырех-импульс можно представить в виде суммы двух нелокальных четырех-векторов интегрального типа: ${\displaystyle P_{\mu }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle P_{\mu }}$

${\displaystyle P_{\mu }=p_{\mu }+K_{\mu }.}$

Четырехвектор — это обобщенный четырехвектор, связанный с действием полей на частицы; четырехвектор — это четырехвектор полей, возникающий при воздействии частиц на поля. ${\displaystyle p_{\mu }}$ ${\displaystyle K_{\mu }}$

Энергия и импульс , а также компоненты четырехвекторов и могут быть вычислены, если задана плотность лагранжиана системы. Для энергии и импульса системы получены следующие формулы: ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle p_{\mu }}$ ${\displaystyle K_{\mu }}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{p}+{\mathcal {L}}_{f}}$

${\displaystyle E=\int _{V}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} }}\left({\frac {{\mathcal {L}}_{p}}{u^{0}}}\right)\cdot \mathbf {v} u^{0}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}-\int _{V}\left({\mathcal {L}}_{p}+{\mathcal {L}}_{f}\right){\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}+\sum _{n=1}^{N}\left(\mathbf {v} _{n}\cdot {\frac {\partial L_{f}}{\partial \mathbf {v} _{n}}}\right).}$

${\displaystyle \mathbf {P} =\int _{V}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} }}\left({\frac {{\mathcal {L}}_{p}}{u^{0}}}\right)u^{0}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {\partial L_{f}}{\partial \mathbf {v} _{n}}}.}$

Здесь — та часть плотности лагранжиана, которая содержит члены с 4-токами; — скорость частиц вещества; — временная компонента 4-скорости частиц; — определитель метрического тензора; — часть лагранжиана, связанная с плотностью лагранжиана ; — скорость частицы вещества с номером . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{p}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle u^{0}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle L_{f}=\int _{V}{\mathcal {L}}_{f}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{f}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{n}}$ ${\displaystyle n}$

Смотрите также

• Физический портал

• Четырех-силовой
• Четырехградиентный
• Псевдовектор Паули–Любанского

Ссылки

1. Тейлор, Эдвин; Уилер, Джон (1992). Введение в физику пространства-времени в специальную теорию относительности . Нью-Йорк: WH Freeman and Company. стр. 191. ISBN 978-0-7167-2327-1.
2. Ландау и Лифшиц 2000, стр. 25–29.
3. Ландау и Лифшиц 1975, стр. 139.
4. Ландау и Лифшиц 1975, стр. 30
5. Ландау и Лифшиц 1975, стр. 15–16.
6. Сард 1970, Раздел 3.1
7. Сард 1970, Раздел 3.2
8. Льюис и Толмен 1909 г. Версия Wikisource
9. Федосин, Сергей Г. (2024-04-18). "Что следует понимать под 4-импульсом физической системы?". Physica Scripta . 99 (5): 055034. arXiv : 2410.07284 . Bibcode :2024PhyS...99e5034F. doi :10.1088/1402-4896/ad3b45. S2CID  268967902.

• Goldstein, Herbert (1980). Классическая механика (2-е изд.). Reading, Mass.: Addison–Wesley Pub. Co. ISBN 978-0201029185.
• Ландау, Л. Д.; Лифшиц , Э. М. (1975) [1939]. Механика . Перевод с русского Дж. Б. Сайкса и Дж. С. Белла . (3-е изд.). Амстердам: Elsevier. ISBN 978-0-7506-28969.
• Ландау, Л. Д.; Лифшиц, Э. М. (2000). Классическая теория полей . 4-е изд. Английское издание, переиздано с исправлениями; перевод с русского Мортона Хамермеша. Оксфорд: Butterworth Heinemann. ISBN 9780750627689.
• Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфорд: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853952-0.
• Сард, РД (1970). Релятивистская механика - Специальная теория относительности и классическая динамика частиц . Нью-Йорк: WA Benjamin. ISBN 978-0805384918.
• Льюис, ГН ; Толман, Р.К. (1909). «Принцип относительности и неньютоновская механика». Phil. Mag . 6. 18 (106): 510–523. doi :10.1080/14786441008636725.Версия Викиресурса