Четырехточечный

4D аналог плотности электрического тока

В специальной и общей теории относительности четырехток (технически плотность четырех токов ) ^[1] является четырехмерным аналогом плотности тока с единицами заряда в единицу времени на единицу площади . Также известный как векторный ток , он используется в геометрическом контексте четырехмерного пространства-времени , а не отделяет время от трехмерного пространства. Математически это четырехвекторный вектор , лоренц-ковариантный .

В этой статье используется соглашение о суммировании индексов. См. ковариацию и контравариантность векторов для получения информации о повышенных и пониженных индексах, а также о повышении и понижении индексов о том, как переключаться между ними.

Определение

Используя метрику Минковского с метрической сигнатурой (+ − − −) , компоненты с четырьмя токами определяются следующим образом: ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$

${\displaystyle J^{\alpha }=\left(c\rho ,j^{1},j^{2},j^{3}\right)=\left(c\rho ,\mathbf {j} \right)}$

где:

• с — скорость света ;
• ρ — объемная плотность заряда ;
• j – условная плотность тока ;
• Фиктивный индекс α обозначает измерения пространства-времени .

Движение зарядов в пространстве-времени

Это также можно выразить через четырехскоростное уравнение : ^{[2] [3]}

${\displaystyle J^{\alpha }=\rho _{0}U^{\alpha }=\rho _{u}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}U^{\alpha }}$

где:

• ${\displaystyle \rho _{u}}$— плотность заряда, измеренная инерционным наблюдателем О, который видит электрический ток , движущийся со скоростью u (величина 3-скорости );
• ${\displaystyle \rho _{0}}$— «остальная плотность заряда», т. е. плотность заряда для сопутствующего наблюдателя (наблюдателя, движущегося со скоростью u — относительно инерционного наблюдателя O — вместе с зарядами).

Качественно изменение плотности заряда (заряда на единицу объема) обусловлено сжатием объема заряда вследствие лоренцева сжатия .

Физическая интерпретация

Заряды (свободные или распределенные) в состоянии покоя будут оставаться в одном и том же пространственном положении в течение некоторого интервала времени (пока они стационарны). Когда они движутся, это соответствует изменению положения, поэтому заряды имеют скорость, и движение заряда представляет собой электрический ток. Это означает, что плотность заряда связана со временем, а плотность тока связана с пространством.

Четырехток объединяет плотность заряда (связанную с электричеством) и плотность тока (связанную с магнетизмом) в одной электромагнитной сущности.

Уравнение непрерывности

В специальной теории относительности утверждение о сохранении заряда состоит в том, что лоренц-инвариантная дивергенция J равна нулю: ^[4]

${\displaystyle {\dfrac {\partial J^{\alpha }}{\partial x^{\alpha }}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0\,,}$

где четырехградиент . _ Это уравнение непрерывности . ${\displaystyle \partial /\partial x^{\alpha }}$

В общей теории относительности уравнение непрерывности записывается как:

${\displaystyle J^{\alpha }{}_{;\alpha }=0\,,}$

где точка с запятой представляет ковариантную производную .

Уравнения Максвелла

Четырехток появляется в двух эквивалентных формулировках уравнений Максвелла в терминах четырехпотенциала [ ^5] , когда выполняется калибровочное условие Лоренца :

${\displaystyle \Box A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\alpha }}$

где – оператор Даламбера , или тензор электромагнитного поля : ${\displaystyle \Box }$

${\displaystyle \nabla _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\beta }}$

где µ0 — проницаемость свободного пространства _, а ∇α _— ковариантная производная .

Общая теория относительности

В общей теории относительности четырехток определяется как дивергенция электромагнитного смещения, определяемая как:

${\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }\,=\,{\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\sqrt {-g}}\,}$

затем:

${\displaystyle J^{\mu }=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }}$

Квантовая теория поля

Четырехтоковая плотность заряда является важным компонентом лагранжевой плотности, используемой в квантовой электродинамике. ^[6] В 1956 году Герштейн и Зельдович рассмотрели гипотезу сохраняющегося векторного тока (ВАХ) для электрослабых взаимодействий. ^{[7] [8] [9]}

Смотрите также

• Четырехвекторный
• Теорема Нётер
• Ковариантная формулировка классического электромагнетизма
• исчисление Риччи

Рекомендации

1. Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е изд.). Оксфордские научные публикации. стр. 103–107. ISBN 978-0-19-853952-0.
2. Роальд К. Вангснесс, Электромагнитные поля, 2-е издание (1986), стр. 518, 519
3. Мелвин Шварц, Принципы электродинамики, Дуврское издание (1987), стр. 122, 123
4. Дж. Д. Джексон, Классическая электродинамика, 3-е издание (1999), стр. 554
5. как [ссылка. 1, стр. 519]
6. Коттингем, В. Ноэль; Гринвуд, Дерек А. (2003). Введение в стандартную модель физики элементарных частиц. Издательство Кембриджского университета. п. 67. ИСБН 9780521588324.
7. Маршак, Роберт Э. (1993). Концептуальные основы современной физики элементарных частиц . Мировое научное издательство. п. 20. ISBN 9789813103368.
8. Герштейн, СС; Зельдович Ю.Б. (1956), Советский физ. ЖЭТФ , 2 576.
9. Томас, Энтони В. (1996). «ВАХ в физике элементарных частиц». arXiv : nucl-th/9609052 .