Линза (геометрия)

Выпуклая плоская область, ограниченная двумя дугами окружности

Линза, расположенная между двумя дугами окружностей радиуса R и центрами в точках O ₁ и O ₂

В двумерной геометрии линза — это выпуклая область , ограниченная двумя дугами окружности , соединенными друг с другом в своих конечных точках. Чтобы эта форма была выпуклой, обе дуги должны выгибаться наружу (выпуклость-выпуклость). Эта форма может быть образована как пересечение двух круговых дисков . Она также может быть образована как объединение двух круговых сегментов (областей между хордой окружности и самой окружностью), соединенных вдоль общей хорды.

Типы

Пример двух асимметричных линз (левой и правой) и одной симметричной линзы (посередине)

Vesica piscis представляет собой пересечение двух дисков с одинаковым радиусом R и с расстоянием между центрами, также равным R.

Если обе дуги линзы имеют одинаковый радиус, то она называется симметричной линзой , в противном случае — асимметричной .

Vesica piscis — это одна из форм симметричной линзы, образованная дугами двух окружностей, центры которых лежат на противоположных дугах. Дуги сходятся под углом 120° в своих конечных точках.

Область

Симметричный

Площадь симметричной линзы можно выразить через радиус R и длину дуги θ в радианах :

${\displaystyle A=R^{2}\left(\theta -\sin \theta \right).}$

Асимметричный

Площадь асимметричной линзы, образованной окружностями радиусов R и r с расстоянием d между их центрами, равна ^[1]

${\displaystyle A=r^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {d^{2}+r^{2}-R^{2}}{2dr}}\right)+R^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {d^{2}+R^{2}-r^{2}}{2dR}}\right)-2\Delta }$

где

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-d+r+R)(d-r+R)(d+r-R)(d+r+R)}}}$

площадь треугольника со сторонами d , r и R.

Два круга перекрываются, если . При достаточно большом координата центра линзы лежит между координатами двух центров кругов: ${\displaystyle d<r+R}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$

При малых координата центра линзы лежит вне линии, соединяющей центры окружностей: ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle x}$

Исключая y из уравнений окружности и абсциссы пересекающихся ободков, получаем ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ ${\displaystyle (x-d)^{2}+y^{2}=R^{2}}$

${\displaystyle x=(d^{2}+r^{2}-R^{2})/(2d)}$.

Знак x , т. е. больше или меньше, чем , отличает два случая, показанных на изображениях. ${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle R^{2}-r^{2}}$

Ордината пересечения равна

${\displaystyle y={\sqrt {r^{2}-x^{2}}}={\frac {\sqrt {[(R-d)^{2}-r^{2}][r^{2}-(R+d)^{2}]}}{2d}}}$.

Отрицательные значения под квадратным корнем указывают на то, что края двух кругов не соприкасаются, поскольку круги расположены слишком далеко друг от друга или один круг полностью лежит внутри другого.

Значение под квадратным корнем является биквадратным многочленом d . Четыре корня этого многочлена связаны с y=0 и с четырьмя значениями d , где две окружности имеют только одну общую точку.

Углы в синем треугольнике со сторонами d , r и R равны

${\displaystyle \sin a_{r}=y/r;\quad \sin a_{R}=y/R}$

где y — ордината пересечения. Ветвь арксинуса с следует брать, если . ${\displaystyle a_{r}>\pi /2}$ ${\displaystyle d^{2}<R^{2}-r^{2}}$

Площадь треугольника равна . ${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{2}}yd}$

Площадь асимметричной линзы равна , где два угла измеряются в радианах. [Это применение принципа включения-исключения : два круговых сектора с центрами в точках (0,0) и (d,0) с центральными углами и имеют площади и . Их объединение покрывает треугольник, перевернутый треугольник с углом в точке (x,-y), и удвоенную площадь линзы.] ${\displaystyle A=a_{r}r^{2}+a_{R}R^{2}-yd}$ ${\displaystyle 2a_{r}}$ ${\displaystyle 2a_{R}}$ ${\displaystyle 2a_{r}r^{2}}$ ${\displaystyle 2a_{R}R^{2}}$

Приложения

Линза другой формы дает ответ на задачу миссис Минивер о нахождении линзы с площадью, равной половине площади объединения двух кругов.

Линзы используются для определения бета-скелетов — геометрических графов, определяемых на множестве точек путем соединения пар точек ребром всякий раз, когда линза, определяемая двумя точками, пуста.

Смотрите также

• Пересечение окружности с окружностью
• Луна , родственная невыпуклая фигура, образованная двумя дугами окружности, одна из которых выгнута наружу, а другая вовнутрь.
• Лимон , созданный линзой, вращающейся вокруг оси, проходящей через ее кончики. ^[2]

Лимон .​

Ссылки

1. Вайсштейн, Эрик В. «Линза». Математический мир .
2. Weisstein, Eric W. "Lemon". Wolfram MathWorld . Архивировано из оригинала 2018-03-24 . Получено 2019-11-04 .

• Педо, Д. (1995). «Круги: математический взгляд, перераб. ред.». Вашингтон, округ Колумбия: Math. Assoc. Amer . MR  1349339.
• Пламмер, Х. (1960). Вводный трактат по динамической астрономии . Йорк: Дувр. Bibcode :1960aitd.book.....P.
• Уотсон, Г. Н. (1966). Трактат по теории функций Бесселя, 2-е изд . Кембридж, Англия: Cambridge University Press. MR  1349110.
• Фьюэлл, MP (2006). «Область общего перекрытия трех кругов». Организация по оборонной науке и технологиям. Архивировано из оригинала 3 марта 2022 г.
• Либрион, Федерико; Леворато, Марко; Зорзи, Микеле (2012). «Алгоритмическое решение для вычисления площадей пересечения окружностей и его применение в беспроводной связи». Wirel. Commun. Mobile Comput . 14 (18): 1672–1690. arXiv : 1204.3569 . doi : 10.1002/wcm.2305. S2CID  2828261.