число Лукаса

Бесконечная целочисленная серия, в которой следующее число представляет собой сумму двух предыдущих.

Спираль Люка, состоящая из четвертей дуги , является хорошим приближением золотой спирали , когда ее члены большие. Однако когда ее члены становятся очень малыми, радиус дуги быстро уменьшается с 3 до 1, а затем увеличивается с 1 до 2.

Последовательность Люка — это целочисленная последовательность , названная в честь математика Франсуа Эдуарда Анатоля Лукаса (1842–1891), который изучал как эту последовательность , так и близкородственную ей последовательность Фибоначчи . Отдельные числа в последовательности Люка известны как числа Люка . Числа Люка и числа Фибоначчи образуют дополнительные экземпляры последовательностей Люка .

Последовательность Лукаса имеет те же рекурсивные отношения , что и последовательность Фибоначчи, где каждый член представляет собой сумму двух предыдущих членов, но с разными начальными значениями. ^{[1] Это создает последовательность} , в которой отношения последовательных членов приближаются к золотому сечению , и фактически сами члены являются округлениями целых степеней золотого сечения. ^[2] Последовательность также имеет множество взаимосвязей с числами Фибоначчи, например, тот факт, что добавление любых двух чисел Фибоначчи на расстоянии двух членов в последовательность Фибоначчи приводит к образованию числа Люка между ними. ^[3]

Первые несколько чисел Лукаса

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, ... . (последовательность A000032 в OEIS )

что совпадает, например, с числом независимых наборов вершин циклических графов длины . ^[1] ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

Определение

Как и в случае с числами Фибоначчи, каждое число Люка определяется как сумма двух непосредственно предшествующих ему членов, тем самым образуя целочисленную последовательность Фибоначчи . Первые два числа Люка — это и , что отличается от первых двух чисел Фибоначчи и . Хотя числа Лукаса и Фибоначчи тесно связаны по определению, они обладают разными свойствами. ${\displaystyle L_{0}=2}$ ${\displaystyle L_{1}=1}$ ${\displaystyle F_{0}=0}$ ${\displaystyle F_{1}=1}$

Таким образом, числа Люка можно определить следующим образом:

${\displaystyle L_{n}:={\begin{cases}2&{\text{if }}n=0;\\1&{\text{if }}n=1;\\L_{n-1}+L_{n-2}&{\text{if }}n>1.\end{cases}}}$

(где n принадлежит натуральным числам )

Все целочисленные последовательности типа Фибоначчи появляются в сдвинутой форме как строка массива Витхоффа ; сама последовательность Фибоначчи является первой строкой, а последовательность Люка — второй строкой. Также, как и все целочисленные последовательности типа Фибоначчи, соотношение между двумя последовательными числами Люка сходится к золотому сечению .

Расширение до отрицательных целых чисел

Используя , можно расширить числа Люка до отрицательных целых чисел, чтобы получить вдвойне бесконечную последовательность: ${\displaystyle L_{n-2}=L_{n}-L_{n-1}}$

..., −11, 7, −4, 3, −1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... ( показаны термины) . ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle -5\leq {}n\leq 5}$

Формула для членов с отрицательными индексами в этой последовательности:

${\displaystyle L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.\!}$

Связь с числами Фибоначчи

Первая идентичность, выраженная визуально

Числа Люка связаны с числами Фибоначчи многими тождествами . Среди них следующие:

• ${\displaystyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}=2F_{n+1}-F_{n}}$
• ${\displaystyle L_{m+n}=L_{m+1}F_{n}+L_{m}F_{n-1}}$
• ${\displaystyle F_{2n}=L_{n}F_{n}}$
• ${\displaystyle F_{n+k}+(-1)^{k}F_{n-k}=L_{k}F_{n}}$
• ${\displaystyle 2F_{2n+k}=L_{n}F_{n+k}+L_{n+k}F_{n}}$
• ${\displaystyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}}$, так . ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}}$
• ${\displaystyle \vert L_{n}-{\sqrt {5}}F_{n}\vert ={\frac {2}{\varphi ^{n}}}\to 0}$
• ${\displaystyle L_{n+k}-(-1)^{k}L_{n-k}=5F_{n}F_{k}}$; в частности, , так . ${\displaystyle F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}}$ ${\displaystyle 5F_{n}+L_{n}=2L_{n+1}}$

Их закрытая формула имеет вид:

${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}\,,}$

где золотое сечение . Альтернативно, поскольку величина члена меньше 1/2, это ближайшее целое число или, что эквивалентно, целая часть , также записанная как . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle (-\varphi )^{-n}}$ ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle \varphi ^{n}}$ ${\displaystyle \varphi ^{n}+1/2}$ ${\displaystyle \lfloor \varphi ^{n}+1/2\rfloor }$

Объединив вышеизложенное с формулой Бине ,

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}\,,}$

получается формула для : ${\displaystyle \varphi ^{n}}$

${\displaystyle \varphi ^{n}={{L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}} \over 2}\,.}$

Для целых чисел n ≥ 2 мы также получаем:

${\displaystyle \varphi ^{n}=L_{n}-(-\varphi )^{-n}=L_{n}-(-1)^{n}L_{n}^{-1}-L_{n}^{-3}+R}$

с остатком R, удовлетворяющим

${\displaystyle \vert R\vert <3L_{n}^{-5}}$.

Личности Лукаса

Многие тождества Фибоначчи имеют параллели в числах Люка. Например, тождество Кассини становится

${\displaystyle L_{n}^{2}-L_{n-1}L_{n+1}=(-1)^{n}5}$

Также

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}L_{k}=L_{n+2}-1}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}L_{k}^{2}=L_{n}L_{n+1}+2}$

${\displaystyle 2L_{n-1}^{2}+L_{n}^{2}=L_{2n+1}+5F_{n-2}^{2}}$

где . ${\displaystyle \textstyle F_{n}={\frac {L_{n-1}+L_{n+1}}{5}}}$

${\displaystyle L_{n}^{k}=\sum _{j=0}^{\lfloor {\frac {k}{2}}\rfloor }(-1)^{nj}{\binom {k}{j}}L'_{(k-2j)n}}$

где кроме . ${\displaystyle L'_{n}=L_{n}}$ ${\displaystyle L'_{0}=1}$

Например , если n нечетно и ${\displaystyle L_{n}^{3}=L'_{3n}-3L'_{n}}$ ${\displaystyle L_{n}^{4}=L'_{4n}-4L'_{2n}+6L'_{0}}$

Проверка , и ${\displaystyle L_{3}=4,4^{3}=64=76-3(4)}$ ${\displaystyle 256=322-4(18)+6}$

Генерирующая функция

Позволять

${\displaystyle \Phi (x)=2+x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n}}$

— производящая функция чисел Люка. Путём прямого вычисления,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (x)&=L_{0}+L_{1}x+\sum _{n=2}^{\infty }L_{n}x^{n}\\&=2+x+\sum _{n=2}^{\infty }(L_{n-1}+L_{n-2})x^{n}\\&=2+x+\sum _{n=1}^{\infty }L_{n}x^{n+1}+\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n+2}\\&=2+x+x(\Phi (x)-2)+x^{2}\Phi (x)\end{aligned}}}$

который можно переставить как

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {2-x}{1-x-x^{2}}}}$

${\displaystyle \Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)}$дает производящую функцию для отрицательных индексированных чисел Люка, и ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}L_{n}x^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }L_{-n}x^{-n}}$

${\displaystyle \Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)={\frac {x+2x^{2}}{1-x-x^{2}}}}$

${\displaystyle \Phi (x)}$удовлетворяет функциональному уравнению

${\displaystyle \Phi (x)-\Phi \!\left(-{\frac {1}{x}}\right)=2}$

Поскольку производящая функция чисел Фибоначчи определяется выражением

${\displaystyle s(x)={\frac {x}{1-x-x^{2}}}}$

у нас есть

${\displaystyle s(x)+\Phi (x)={\frac {2}{1-x-x^{2}}}}$

что доказывает, что

${\displaystyle F_{n}+L_{n}=2F_{n+1},}$

и

${\displaystyle 5s(x)+\Phi (x)={\frac {2}{x}}\Phi (-{\frac {1}{x}})=2{\frac {1}{1-x-x^{2}}}+4{\frac {x}{1-x-x^{2}}}}$

доказывает, что

${\displaystyle 5F_{n}+L_{n}=2L_{n+1}}$

Разложение на частичные дроби определяется выражением

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{1-\phi x}}+{\frac {1}{1-\psi x}}}$

где – золотое сечение и – его сопряженное . ${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ${\displaystyle \psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}$

Это можно использовать для доказательства производящей функции, так как

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(\phi ^{n}+\psi ^{n})x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\phi ^{n}x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }\psi ^{n}x^{n}={\frac {1}{1-\phi x}}+{\frac {1}{1-\psi x}}=\Phi (x)}$

Отношения конгруэнтности

Если – число Фибоначчи, то ни одно число Люка не делится на . ${\displaystyle F_{n}\geq 5}$ ${\displaystyle F_{n}}$

${\displaystyle L_{n}}$конгруэнтно 1 по модулю , если является простым , но некоторые составные значения также обладают этим свойством. Это псевдопростые числа Фибоначчи . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle L_{n}-L_{n-4}}$конгруэнтно 0 по модулю 5.

Лукас простые числа

Простое число Люка — это число Люка, которое является простым . Первые несколько простых чисел Лукаса равны

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ... (последовательность A005479 в OEIS ) .

Индексы этих простых чисел (например, L ₄ = 7)

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, ... (последовательность A001606 в OEIS ).

По состоянию на сентябрь 2015 года ^[update]наибольшее подтвержденное простое число Люкаса — L ₁₄₈₀₉₁ , которое имеет 30950 десятичных цифр. ^[4] По состоянию на август 2022 года ^[update]самое большое известное вероятное простое число Люкаса — L _5466311 с 1 142 392 десятичными цифрами. ^[5]

Если L _n простое число, то n равно 0, простому числу или степени 2 . ^[6] L _{2 ^m} является простым числом для m  = 1, 2, 3 и 4 и других известных значений  m .

Полиномы Люка

Точно так же, как полиномы Фибоначчи получаются из чисел Фибоначчи , полиномы Люка представляют собой полиномиальную последовательность , полученную из чисел Люка. ${\displaystyle L_{n}(x)}$

Цепные дроби для степеней золотого сечения.

Близкие рациональные приближения для степеней золотого сечения можно получить из их непрерывных дробей .

Для положительных целых чисел n непрерывными дробями являются:

${\displaystyle \varphi ^{2n-1}=[L_{2n-1};L_{2n-1},L_{2n-1},L_{2n-1},\ldots ]}$

${\displaystyle \varphi ^{2n}=[L_{2n}-1;1,L_{2n}-2,1,L_{2n}-2,1,L_{2n}-2,1,\ldots ]}$.

Например:

${\displaystyle \varphi ^{5}=[11;11,11,11,\ldots ]}$

это предел

${\displaystyle {\frac {11}{1}},{\frac {122}{11}},{\frac {1353}{122}},{\frac {15005}{1353}},\ldots }$

при этом ошибка в каждом члене составляет около 1% от ошибки в предыдущем члене; и

${\displaystyle \varphi ^{6}=[18-1;1,18-2,1,18-2,1,18-2,1,\ldots ]=[17;1,16,1,16,1,16,1,\ldots ]}$

это предел

${\displaystyle {\frac {17}{1}},{\frac {18}{1}},{\frac {305}{17}},{\frac {323}{18}},{\frac {5473}{305}},{\frac {5796}{323}},{\frac {98209}{5473}},{\frac {104005}{5796}},\ldots }$

при этом ошибка в каждом члене составляет около 0,3% от ошибки второго предыдущего члена.

Приложения

Согласно анализу 657 подсолнухов, проведенному в 2016 году, числа Люка являются вторым по распространенности закономерностью в подсолнухах после чисел Фибоначчи, когда подсчитываются спирали по часовой стрелке и против часовой стрелки ^{. [7]}

Смотрите также

• Обобщения чисел Фибоначчи

Рекомендации

1. Вайсштейн, Эрик В. «Число Лукаса». mathworld.wolfram.com . Проверено 11 августа 2020 г.
2. Паркер, Мэтт (2014). «13». Что нужно делать и делать в четвертом измерении . Фаррар, Штраус и Жиру. п. 284. ИСБН 978-0-374-53563-6.
3. Паркер, Мэтт (2014). «13». Что нужно делать и делать в четвертом измерении . Фаррар, Штраус и Жиру. п. 282. ИСБН 978-0-374-53563-6.
4. "Двадцатка лучших: число Лукаса" . primes.utm.edu . Проверено 6 января 2022 г.
5. "Топ PRP Анри и Рено Лифшицев - Поиск по форме" . www.primenumbers.net . Проверено 6 января 2022 г.
6. Крис Колдуэлл, «Глоссарий Prime: Лукас Прайм» из The Prime Pages .
7. Суинтон, Джонатан; Очу, Эринма; ноль, ноль (2016). «Новая структура Фибоначчи и нефибоначчи в подсолнечнике: результаты гражданского научного эксперимента». Королевское общество открытой науки . 3 (5): 160091. Бибкод : 2016RSOS....360091S. дои : 10.1098/rsos.160091. ПМЦ 4892450 . ПМИД  27293788. 

Внешние ссылки

• «Полиномы Лукаса», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Число Лукаса». Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Полином Лукаса». Математический мир .
• «Числа Лукаса», доктор Рон Нотт
• Числа Лукаса и золотое сечение
• Калькулятор чисел Лукаса можно найти здесь.
• Последовательность OEIS A000032 (номера Лукаса начинаются с 2)