Число Грасгофа

Безразмерная величина; отношение плавучести жидкости к вязкости.

В механике жидкости (особенно в термодинамике жидкости ) число Грасгофа ( Gr , в честь Франца Грасгофа ^[a] ) — это безразмерное число , которое приблизительно равно отношению силы плавучести к силам вязкости , действующим на жидкость . Оно часто возникает при изучении ситуаций, связанных с естественной конвекцией , и аналогично числу Рейнольдса ( Re ). ^[2]

Определение

Передача тепла

Свободная конвекция вызвана изменением плотности жидкости из-за изменения температуры или градиента . Обычно плотность уменьшается из-за повышения температуры и заставляет жидкость подниматься. Это движение вызвано силой плавучести . Основная сила, которая сопротивляется движению, — это сила вязкости . Число Грасгофа — это способ количественной оценки противодействующих сил. ^[3]

Число Грасхофа равно:

${\displaystyle \mathrm {Gr} _{L}={\frac {g\beta (T_{s}-T_{\infty })L^{3}}{\nu ^{2}}}\,}$для вертикальных плоских пластин

${\displaystyle \mathrm {Gr} _{D}={\frac {g\beta (T_{s}-T_{\infty })D^{3}}{\nu ^{2}}}\,}$для труб и обтекаемых тел

где:

• g — ускорение свободного падения из-за Земли
• β — коэффициент объемного расширения (приблизительно равный 1/ T для идеальных газов )
• T _s — температура поверхности
• T _∞ — температура массы
• L — вертикальная длина
• D — диаметр
• ν — кинематическая вязкость .

Индексы L и D указывают на основу шкалы длины для числа Грасгофа.

Переход к турбулентному течению происходит в диапазоне 10 ⁸ < Gr _L < 10 ⁹ для естественной конвекции с вертикальных плоских пластин. При больших числах Грасгофа пограничный слой турбулентный, при меньших числах Грасгофа пограничный слой ламинарный, то есть в диапазоне 10 ³ < Gr _L < 10 ⁶ .

Массоперенос

Существует аналогичная форма числа Грасгофа , используемая в случаях задач массопереноса с естественной конвекцией . В случае массопереноса естественная конвекция вызывается градиентами концентрации, а не температурными градиентами. ^[2]

$${\displaystyle \mathrm {Gr} _{c}={\frac {g\beta ^{*}(C_{a,s}-C_{a,a})L^{3}}{\nu ^{2}}}}$$

где

$${\displaystyle \beta ^{*}=-{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial C_{a}}}\right)_{T,p}}$$

и:

• g — ускорение свободного падения из-за Земли
• C _a,s – концентрация вида a на поверхности
• C _a,a – концентрация вида a в окружающей среде
• L — характерная длина
• ν — кинематическая вязкость
• ρ — плотность жидкости
• C _a — концентрация вида a
• T — температура (постоянная)
• p — давление (константа).

Связь с другими безразмерными числами

Число Рэлея , показанное ниже, является безразмерным числом, характеризующим проблемы конвекции при передаче тепла. Для числа Рэлея существует критическое значение , выше которого происходит движение жидкости. ^[3]

$${\displaystyle \mathrm {Ra} _{x}=\mathrm {Gr} _{x}\mathrm {Pr} }$$

Отношение числа Грасгофа к квадрату числа Рейнольдса может быть использовано для определения того, можно ли пренебречь принудительной или свободной конвекцией для системы, или же существует их комбинация . Это характерное отношение известно как число Ричардсона ( Ri ). Если отношение намного меньше единицы, то свободную конвекцию можно игнорировать. Если отношение намного больше единицы, то вынужденную конвекцию можно игнорировать. В противном случае режим представляет собой комбинированную вынужденную и свободную конвекцию. ^[2]

${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {\mathrm {Gr} }{\mathrm {Re} ^{2}}}\gg 1\implies {\text{ignore forced convection}}}$

${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {\mathrm {Gr} }{\mathrm {Re} ^{2}}}\approx 1\implies {\text{combined forced and free convection}}}$

${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {\mathrm {Gr} }{\mathrm {Re} ^{2}}}\ll 1\implies {\text{ignore free convection}}}$

Вывод

Первым шагом к получению числа Грасгофа является манипулирование коэффициентом объемного расширения следующим образом. ${\displaystyle \mathrm {\beta } }$

$${\displaystyle \beta ={\frac {1}{v}}\left({\frac {\partial v}{\partial T}}\right)_{p}={\frac {-1}{\rho }}\left({\frac {\partial \rho }{\partial T}}\right)_{p}}$$

В уравнении выше, которое представляет удельный объем , не то же самое, что в последующих разделах этого вывода, который будет представлять скорость. Это частичное отношение коэффициента объемного расширения, , относительно плотности жидкости, , при постоянном давлении, можно переписать как ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathrm {\beta } }$ ${\displaystyle \mathrm {\rho } }$

$${\displaystyle \rho =\rho _{0}(1-\beta \Delta T)}$$

где:

• ${\displaystyle \rho _{0}}$объемная плотность жидкости
• ${\displaystyle \rho }$плотность пограничного слоя
• ${\displaystyle \Delta T=(T-T_{0})}$, разница температур между пограничным слоем и объемом жидкости.

Существует два разных способа найти число Грасгофа из этой точки. Один из них включает уравнение энергии, а другой учитывает выталкивающую силу из-за разницы в плотности между пограничным слоем и основной жидкостью.

Уравнение энергии

Это обсуждение, включающее уравнение энергии, относится к вращательно-симметричному потоку. Этот анализ будет учитывать влияние гравитационного ускорения на поток и теплопередачу. Математические уравнения, которые будут приведены ниже, применимы как к вращательно-симметричному потоку, так и к двумерному плоскому потоку.

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}(\rho ur_{0}^{n})+{\frac {\partial }{\partial y}}(\rho vr_{0}^{n})=0}$$

где:

• ${\displaystyle s}$- направление вращения, т.е. направление, параллельное поверхности
• ${\displaystyle u}$это тангенциальная скорость, т.е. скорость, параллельная поверхности
• ${\displaystyle y}$плоскостное направление, т.е. направление, нормальное к поверхности
• ${\displaystyle v}$нормальная скорость, т.е. скорость, нормальная к поверхности
• ${\displaystyle r_{0}}$это радиус.

В этом уравнении верхний индекс n используется для различения вращательно-симметричного потока от плоского потока. Следующие характеристики этого уравнения справедливы.

• ${\displaystyle n}$= 1: вращательно-симметричный поток
• ${\displaystyle n}$= 0: плоский, двумерный поток
• ${\displaystyle g}$это гравитационное ускорение

Это уравнение расширяется до следующего с добавлением физических свойств жидкости:

$${\displaystyle \rho \left(u{\frac {\partial u}{\partial s}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu {\frac {\partial u}{\partial y}}\right)-{\frac {dp}{ds}}+\rho g.}$$

Отсюда мы можем еще больше упростить уравнение импульса, установив объемную скорость жидкости равной 0 ( ). ${\displaystyle u=0}$

$${\displaystyle {\frac {dp}{ds}}=\rho _{0}g}$$

Это соотношение показывает, что градиент давления — это просто произведение объемной плотности жидкости и гравитационного ускорения. Следующий шаг — включить градиент давления в уравнение импульса.

$${\displaystyle \left(u{\frac {\partial u}{\partial s}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}\right)=\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)+g{\frac {\rho -\rho _{0}}{\rho }}=\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)-{\frac {\rho _{0}}{\rho }}g\beta (T-T_{0})}$$

где найденное выше соотношение коэффициента объемного расширения и плотности , а также соотношение кинематической вязкости были подставлены в уравнение импульса. ${\displaystyle \rho -\rho _{0}=-\rho _{0}\beta (T-T_{0})}$ ${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$ $${\displaystyle u\left({\frac {\partial u}{\partial s}}\right)+v\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)=\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)-{\frac {\rho _{0}}{\rho }}g\beta (T-T_{0})}$$

Чтобы найти число Грасгофа с этой точки зрения, предыдущее уравнение должно быть безразмерным. Это означает, что каждая переменная в уравнении не должна иметь размерности и вместо этого должна быть отношением, характерным для геометрии и настройки задачи. Это делается путем деления каждой переменной на соответствующие постоянные величины. Длины делятся на характерную длину, . Скорости делятся на соответствующие опорные скорости, , что, учитывая число Рейнольдса, дает . Температуры делятся на соответствующую разницу температур, . Эти безразмерные параметры выглядят следующим образом: ${\displaystyle L_{c}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V={\frac {\mathrm {Re} _{L}\nu }{L_{c}}}}$ ${\displaystyle (T_{s}-T_{0})}$

• ${\displaystyle s^{*}={\frac {s}{L_{c}}}}$,
• ${\displaystyle y^{*}={\frac {y}{L_{c}}}}$,
• ${\displaystyle u^{*}={\frac {u}{V}}}$,
• ${\displaystyle v^{*}={\frac {v}{V}}}$, и
• ${\displaystyle T^{*}={\frac {(T-T_{0})}{(T_{s}-T_{0})}}}$.

Звездочки представляют безразмерный параметр. Объединение этих безразмерных уравнений с уравнениями импульса дает следующее упрощенное уравнение.

${\displaystyle u^{*}{\frac {\partial u^{*}}{\partial s^{*}}}+v^{*}{\frac {\partial u^{*}}{\partial y^{*}}}=-\left[{\frac {\rho _{0}g\beta (T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{\rho \nu ^{2}\mathrm {Re} _{L}^{2}}}\right]T^{*}+{\frac {1}{\mathrm {Re} _{L}}}{\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial {y^{*}}^{2}}}}$

${\displaystyle =-\left({\frac {\rho _{0}}{\rho }}\right)\left[{\frac {g\beta (T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}}\right]{\frac {T^{*}}{\mathrm {Re} _{L}^{2}}}+{\frac {1}{\mathrm {Re} _{L}}}{\frac {\partial ^{2}u^{*}}{\partial {y^{*}}^{2}}}}$

где:

${\displaystyle T_{s}}$это температура поверхности

${\displaystyle T_{0}}$это температура жидкости в объеме

${\displaystyle L_{c}}$характерная длина.

Безразмерный параметр, заключенный в скобки в предыдущем уравнении, известен как число Грасгофа:

${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {g\beta (T_{s}-T_{0})L_{c}^{3}}{\nu ^{2}}}.}$

Теорема Букингема π

Другая форма размерного анализа, которая приводит к числу Грасгофа, известна как теорема Букингема π . Этот метод учитывает силу плавучести на единицу объема, обусловленную разницей плотностей в пограничном слое и объеме жидкости. ${\displaystyle F_{b}}$

$${\displaystyle F_{b}=(\rho -\rho _{0})g}$$

Это уравнение можно преобразовать, чтобы получить:

$${\displaystyle F_{b}=-\beta g\rho _{0}\Delta T.}$$

Ниже приведен список переменных, используемых в методе Букингема π, а также их символы и размерности.

Ссылаясь на теорему Букингема о π, имеется 9 – 5 = 4 безразмерных групп. Выберем L , k , g и в качестве опорных переменных. Таким образом, группы следующие: ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi _{1}=L^{a}\mu ^{b}k^{c}\beta ^{d}g^{e}c_{p}}$,

${\displaystyle \pi _{2}=L^{f}\mu ^{g}k^{h}\beta ^{i}g^{j}\rho }$,

${\displaystyle \pi _{3}=L^{k}\mu ^{l}k^{m}\beta ^{n}g^{o}\Delta T}$,

${\displaystyle \pi _{4}=L^{q}\mu ^{r}k^{s}\beta ^{t}g^{u}h}$.

Решение этих групп дает: ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \pi _{1}={\frac {\mu (c_{p})}{k}}=\mathrm {Pr} }$,

${\displaystyle \pi _{2}={\frac {l^{3}g\rho ^{2}}{\mu ^{2}}}}$,

${\displaystyle \pi _{3}=\beta \Delta T}$,

${\displaystyle \pi _{4}={\frac {hL}{k}}=\mathrm {Nu} }$

Из двух групп и произведения получается число Грасгофа: ${\displaystyle \pi _{2}}$ ${\displaystyle \pi _{3},}$

${\displaystyle \pi _{2}\pi _{3}={\frac {\beta g\rho ^{2}\Delta TL^{3}}{\mu ^{2}}}=\mathrm {Gr} .}$

Принимая и предыдущее уравнение, можно получить тот же результат, выводя число Грасгофа из уравнения энергии. ${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$ ${\displaystyle \Delta T=(T_{s}-T_{0})}$

${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {\beta g\Delta TL^{3}}{\nu ^{2}}}}$

При вынужденной конвекции число Рейнольдса управляет потоком жидкости. Но при естественной конвекции число Грасгофа является безразмерным параметром, который управляет потоком жидкости. Использование уравнения энергии и выталкивающей силы в сочетании с размерным анализом дает два различных способа вывода числа Грасгофа.

Физическое рассуждение

Число Грасгофа можно также вывести с помощью физического определения числа следующим образом:

$${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {\mathrm {Buoyancy~Force} }{\mathrm {Friction~Force} }}={\frac {mg}{\tau A}}={\frac {L^{3}\rho \beta (\Delta T)g}{\mu (V/L)L^{2}}}={\frac {L^{2}\beta (\Delta T)g}{\nu V}}}$$

Однако, приведенное выше выражение, особенно конечная часть в правой части, немного отличается от числа Грасгофа, встречающегося в литературе. Для получения окончательной формы можно использовать следующую размерно-правильную шкалу в терминах динамической вязкости.

$${\displaystyle \mathrm {\mu } =\rho VL}$$Запись выше шкалы в Gr дает:

$${\displaystyle \mathrm {Gr} ={\frac {L^{3}\beta (\Delta T)g}{\nu ^{2}}}}$$Физическое рассуждение полезно для понимания значения числа. С другой стороны, следующее определение скорости может быть использовано в качестве характерного значения скорости для того, чтобы сделать некоторые скорости безразмерными.

$${\displaystyle \mathrm {V} ={\frac {L^{2}\beta (\Delta T)g}{\nu Gr}}}$$

Влияние числа Грасгофа на течение различных жидкостей

В недавнем исследовании, проведенном по влиянию числа Грасгофа на поток различных жидкостей, движущихся конвекцией над различными поверхностями. ^[4] Используя наклон линии линейной регрессии через точки данных, делается вывод, что увеличение значения числа Грасгофа или любого параметра, связанного с плавучестью, подразумевает увеличение температуры стенки, и это ослабляет связь(и) между жидкостью, уменьшает силу внутреннего трения, а гравитацию становится достаточно сильной (т. е. делает удельный вес заметно различным между непосредственными слоями жидкости, прилегающими к стенке). Влияние параметра плавучести весьма существенно в ламинарном потоке в пограничном слое, образованном на вертикально движущемся цилиндре. Это достижимо только при учете заданной температуры поверхности (PST) и заданного потока тепла через стенку (WHF). Можно сделать вывод, что параметр плавучести оказывает незначительное положительное влияние на локальное число Нуссельта. Это верно только при малой величине числа Прандтля или при учете заданного потока тепла через стенку (WHF). Число Шервуда, число Бежана, генерация энтропии, число Стэнтона и градиент давления являются возрастающими свойствами параметра, связанного с плавучестью, в то время как профили концентрации, сила трения и подвижность микроорганизмов являются убывающими свойствами.

Примечания

1. Хотя этот термин «число Грасхофа» уже использовался, он не был назван так до 1921 года, через 28 лет после смерти Франца Грасхофа. Неясно, почему группа была названа в его честь. ^[1]

Ссылки

1. Sander, CJ; Holman, JP (1972). «Франц Грасхоф и число Грасхофа». Int. J. Heat Mass Transfer . 15 (3): 562–563. Bibcode : 1972IJHMT..15..562S. doi : 10.1016/0017-9310(72)90220-7.
2. Incropera, Frank (2007). Основы тепло- и массообмена (6-е изд.). Hoboken, NJ: Wiley. стр. 408, 599, 629. ISBN 9780471457282. OCLC  288958608.
3. Bird, R. Byron; Stewart, Warren E.; Lightfoot, Edwin N. (2002). Явления переноса (2-е изд.). Нью-Йорк: J. Wiley. стр. 318, 359. ISBN 9780471410775. OCLC  471520548.
4. Шах, Нехад Али; Анимасаун, Иллинойс; Ибрагим, РОД; Бабатунде, штат Ха; Сандип, Н.; Поп, И. (2018). «Тщательное изучение влияния числа Грасгофа на поток различных жидкостей, вызываемый конвекцией по различным поверхностям». Журнал молекулярных жидкостей . 249 : 980–990. doi :10.1016/j.molliq.2017.11.042. ISSN  0167-7322.

Дальнейшее чтение

• Ценгел, Юнус А. (2003). Тепло- и массообмен: практический подход (3-е изд.). Бостон: McGraw Hill.
• Экерт, Эрнст РГ ; Дрейк, Роберт М. (1972). Анализ тепло- и массопереноса . Нью-Йорк: McGraw Hill.
• Джалурия, Йогеш (1980). Тепло- и массоперенос при естественной конвекции . Нью-Йорк: Pergamon Press.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Уэлти, Джеймс Р. (1976). Основы переноса импульса, тепла и массы . Нью-Йорк: John Wiley & Sons.