Число Фруда

Безразмерное число; отношение инерции потока жидкости к внешнему полю

В механике сплошной среды число Фруда ( Fr , в честь Уильяма Фруда , / ˈ f r uː d / ^[1] ) — безразмерное число, определяемое как отношение инерции потока к внешнему силовому полю (последнее во многих приложениях просто из-за гравитации ). Число Фруда основано на отношении скорости к длине , которое он определил как: ^{[2] [3]} где u — локальная скорость потока (в м/с), g — локальное гравитационное поле (в м/с ² ), а L — характерная длина (в м). $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {gL}}}}$$

Число Фруда имеет некоторую аналогию с числом Маха . В теоретической гидродинамике число Фруда рассматривается нечасто, поскольку обычно уравнения рассматриваются в высоком пределе Фруда пренебрежимо малого внешнего поля, что приводит к однородным уравнениям, сохраняющим математические аспекты. Например, однородные уравнения Эйлера являются уравнениями сохранения . Однако в военно-морской архитектуре число Фруда является значимой цифрой, используемой для определения сопротивления частично погруженного объекта, движущегося в воде.

Происхождение

В потоках открытого канала Беланже 1828 впервые ввел отношение скорости потока к квадратному корню из ускорения силы тяжести, умноженного на глубину потока. Когда отношение было меньше единицы, поток вел себя как речное движение (т. е. субкритический поток), и как ливневый поток, когда отношение было больше единицы. ^[4]

Корпуса лебедя (вверху) и ворона (внизу). Фруд построил ряд моделей в 3, 6 и 12 футов (показано на рисунке) и использовал их в буксировочных испытаниях для установления законов сопротивления и масштабирования.

Количественная оценка сопротивления плавающих объектов обычно приписывается Уильяму Фруду , который использовал ряд масштабных моделей для измерения сопротивления, оказываемого каждой моделью при буксировке с заданной скоростью. Военно-морской конструктор Фредерик Рич выдвинул эту концепцию намного раньше в 1852 году для испытания кораблей и винтов, но Фруд не знал о ней. ^[5] Соотношение скорости и длины было первоначально определено Фрудом в его Законе сравнения в 1868 году в размерных терминах как:

$${\displaystyle {\text{speed–length ratio}}={\frac {u}{\sqrt {\text{LWL}}}}}$$где:

• u = скорость потока
• ДВЛ = длина ватерлинии

Термин был преобразован в безразмерные термины и получил имя Фруда в знак признания проделанной им работы. Во Франции его иногда называют числом Рича–Фруда в честь Фредерика Рича. ^[6]

Определение и основное применение

Чтобы показать, как число Фруда связано с общей механикой сплошной среды, а не только с гидродинамикой, мы начнем с уравнения импульса Коши в его безразмерной (безразмерной) форме.

Уравнение импульса Коши

Чтобы сделать уравнения безразмерными, необходимо определить характерную длину r ₀ и характерную скорость u ₀ . Их следует выбирать так, чтобы все безразмерные переменные были порядка один. Таким образом, получаются следующие безразмерные переменные: $${\displaystyle \rho ^{*}\equiv {\frac {\rho }{\rho _{0}}},\quad u^{*}\equiv {\frac {u}{u_{0}}},\quad r^{*}\equiv {\frac {r}{r_{0}}},\quad t^{*}\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t,\quad \nabla ^{*}\equiv r_{0}\nabla ,\quad \mathbf {g} ^{*}\equiv {\frac {\mathbf {g} }{g_{0}}},\quad {\boldsymbol {\sigma }}^{*}\equiv {\frac {\boldsymbol {\sigma }}{p_{0}}},}$$

Подстановка этих обратных соотношений в уравнения импульса Эйлера и определение числа Фруда: и числа Эйлера : уравнения окончательно выражаются (с материальной производной и теперь уже без индексов): $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u_{0}}{\sqrt {g_{0}r_{0}}}},}$$ $${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {p_{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}},}$$

Уравнение импульса Коши ( безразмерная конвективная форма )

$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}\mathbf {g} }$$

Уравнения типа Коши в высоком пределе Фруда Fr → ∞ (соответствующем пренебрежимо малому внешнему полю) называются свободными уравнениями . С другой стороны, в низком пределе Эйлера Eu → 0 (соответствующем пренебрежимо малому напряжению) общее уравнение импульса Коши становится неоднородным уравнением Бюргерса (здесь мы явно указываем материальную производную ):

Уравнение Бюргерса ( безразмерная форма сохранения )

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\nabla \cdot \left({\frac {1}{2}}\mathbf {u} \otimes \mathbf {u} \right)={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}\mathbf {g} }$$

Это неоднородное уравнение чистой адвекции , так же как уравнение Стокса является уравнением чистой диффузии .

Уравнение импульса Эйлера

Уравнение импульса Эйлера представляет собой уравнение импульса Коши, в котором закон Паскаля является определяющим соотношением напряжений: в безразмерной форме Лагранжа имеет вид: $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} }$$ $${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}}$$

Свободные уравнения Эйлера консервативны. Предел высоких чисел Фруда (низкое внешнее поле) таким образом заметен и может быть изучен с помощью теории возмущений .

Уравнение импульса Навье-Стокса для несжимаемой жидкости

Уравнение импульса Навье–Стокса для несжимаемой жидкости представляет собой уравнение импульса Коши, в котором закон Паскаля и закон Стокса являются определяющими соотношениями напряжений: в безразмерной конвективной форме оно имеет вид: ^[7] где Re — число Рейнольдса . Свободные уравнения Навье–Стокса являются диссипативными (неконсервативными). $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)}$$ $${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\nabla ^{2}u+{\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}}$$

Другие приложения

Гидродинамика корабля

Зависимость волновой картины от скорости, иллюстрирующая различные числа Фруда.

В морских гидродинамических приложениях число Фруда обычно обозначается обозначением Fn и определяется как: ^[8] где u — относительная скорость потока между морем и судном, g — в частности, ускорение силы тяжести , а L — длина судна на уровне ватерлинии или L _wl в некоторых обозначениях. Это важный параметр относительно сопротивления судна , или сопротивления, особенно с точки зрения сопротивления созданию волн . $${\displaystyle \mathrm {Fn} _{L}={\frac {u}{\sqrt {gL}}},}$$

В случае глиссирующих судов, где длина ватерлинии слишком зависит от скорости, чтобы иметь смысл, число Фруда лучше всего определить как число Фруда водоизмещения , а опорную длину взять как кубический корень объемного водоизмещения корпуса: $${\displaystyle \mathrm {Fn} _{V}={\frac {u}{\sqrt {g{\sqrt[{3}]{V}}}}}.}$$

Волны на мелководье

Для мелководных волн, таких как цунами и гидравлические прыжки , характерная скорость U — это средняя скорость потока, усредненная по поперечному сечению, перпендикулярному направлению потока. Скорость волны, называемая быстротой c , равна квадратному корню из ускорения свободного падения g , умноженному на площадь поперечного сечения A , деленную на ширину свободной поверхности B : поэтому число Фруда на мелководье равно: Для прямоугольных поперечных сечений с равномерной глубиной d число Фруда можно упростить до: При Fr < 1 поток называется докритическим потоком , далее при Fr > 1 поток характеризуется как сверхкритический поток . При Fr ≈ 1 поток обозначается как критический поток . $${\displaystyle c={\sqrt {g{\frac {A}{B}}}},}$$ $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {g{\dfrac {A}{B}}}}}.}$$ $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {gd}}}.}$$

Ветроэнергетика

При рассмотрении воздействия ветра на динамически чувствительные конструкции, такие как подвесные мосты, иногда необходимо моделировать комбинированное воздействие вибрирующей массы конструкции с флуктуирующей силой ветра. В таких случаях следует учитывать число Фруда. Аналогично, при моделировании струй горячего дыма в сочетании с естественным ветром масштабирование числа Фруда необходимо для поддержания правильного баланса между силами плавучести и импульсом ветра.

Аллометрия

Число Фруда также применялось в аллометрии для изучения передвижения наземных животных, ^[9] включая антилоп ^[10] и динозавров. ^[11]

Расширенное число Фруда

Геофизические массовые потоки, такие как лавины и селевые потоки, происходят на наклонных склонах, которые затем сливаются в пологие и плоские зоны стока. ^[12]

Итак, эти потоки связаны с высотой топографических склонов, которые вызывают потенциальную энергию гравитации вместе с потенциальной энергией давления во время потока. Поэтому классическое число Фруда должно включать этот дополнительный эффект. Для такой ситуации число Фруда необходимо переопределить. Расширенное число Фруда определяется как отношение кинетической и потенциальной энергии: где u - средняя скорость потока, β = gK cos ζ , ( K - коэффициент давления грунта , ζ - уклон), s _g = g sin ζ , x - положение уклона русла и - расстояние от точки выброса массы вдоль русла до точки, где поток достигает горизонтальной опорной точки; E $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {\beta h+s_{g}\left(x_{d}-x\right)}}},}$$ ${\displaystyle x_{d}}$^п
_горшок= βh и E^г
_горшок= s _g ( x _d − x ) — потенциальная энергия давления и потенциальная энергия гравитации соответственно. В классическом определении числа Фруда для мелководного или гранулярного потока потенциальная энергия, связанная с возвышением поверхности, E^г
_горшок, не рассматривается. Расширенное число Фруда существенно отличается от классического числа Фруда для более высоких высот поверхности. Член βh возникает из-за изменения геометрии движущейся массы вдоль склона. Анализ размерностей предполагает, что для неглубоких потоков βh ≪ 1 , в то время как u и s _g ( x _d − x ) оба имеют порядок единицы. Если масса неглубокая с практически параллельной ложу свободной поверхностью, то βh можно пренебречь. В этой ситуации, если не учитывать гравитационный потенциал, то Fr неограничен, хотя кинетическая энергия ограничена. Таким образом, формально учитывая дополнительный вклад, обусловленный гравитационной потенциальной энергией, сингулярность в Fr устраняется.

Баки с мешалкой

При изучении перемешиваемых резервуаров число Фруда управляет образованием поверхностных вихрей. Поскольку скорость кончика импеллера равна ωr ( круговое движение ), где ω — частота импеллера (обычно в об/мин ), а r — радиус импеллера (в технике гораздо чаще используется диаметр), число Фруда принимает следующий вид: Число Фруда также находит аналогичное применение в смесителях порошков. Оно действительно будет использоваться для определения того, в каком режиме смешивания работает блендер. Если Fr<1, частицы просто перемешиваются, но если Fr>1, центробежные силы, приложенные к порошку, преодолевают силу тяжести, и слой частиц становится псевдоожиженным, по крайней мере, в некоторой части блендера, способствуя перемешиванию ^[13] $${\displaystyle \mathrm {Fr} =\omega {\sqrt {\frac {r}{g}}}.}$$

Денсиметрическое число Фруда

При использовании в контексте приближения Буссинеска денситометрическое число Фруда определяется как, где g ′ — приведенная гравитация: $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g'h}}}}$$ $${\displaystyle g'=g{\frac {\rho _{1}-\rho _{2}}{\rho _{1}}}}$$

Денсиметрическое число Фруда обычно предпочитают разработчики моделей, желающие сделать безразмерным предпочтение скорости числу Ричардсона , которое чаще встречается при рассмотрении стратифицированных сдвиговых слоев. Например, передний край гравитационного течения движется с передним числом Фруда около единицы.

Ходячее число Фруда

Число Фруда может быть использовано для изучения тенденций в моделях походки животных. При анализе динамики движения ног шагающая конечность часто моделируется как перевернутый маятник , где центр масс проходит через дугу окружности с центром в стопе. ^[14] Число Фруда представляет собой отношение центростремительной силы вокруг центра движения, стопы, и веса идущего животного: где m — масса, l — характерная длина, g — ускорение силы тяжести , а v — скорость . Характерная длина l может быть выбрана в соответствии с проводимым исследованием. Например, в некоторых исследованиях использовалось вертикальное расстояние тазобедренного сустава от земли, ^[15] в то время как в других использовалась общая длина ноги. ^{[14] [16]} $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {\text{centripetal force}}{\text{gravitational force}}}={\frac {\;{\frac {mv^{2}}{l}}\;}{mg}}={\frac {v^{2}}{gl}}}$$

Число Фруда также можно рассчитать из частоты шага f следующим образом: ^[15] $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {v^{2}}{gl}}={\frac {(lf)^{2}}{gl}}={\frac {lf^{2}}{g}}.}$$

Если общая длина ноги используется как характерная длина, то теоретическая максимальная скорость ходьбы имеет число Фруда 1,0, поскольку любое более высокое значение приведет к отталкиванию и отрыву стопы от земли. Типичная скорость перехода от двуногой ходьбы к бегу происходит при Fr ≈ 0,5 . ^[17] RM Alexander обнаружил, что животные разных размеров и масс, передвигающиеся с разной скоростью, но с одинаковым числом Фруда, постоянно демонстрируют схожие походки. Это исследование показало, что животные обычно переключаются с иноходи на симметричную беговую походку (например, рысь или шаг) около числа Фруда 1,0. Предпочтение асимметричным походкам (например, галопу, поперечному галопу, вращательному галопу, прыжку или пронку) наблюдалось при числах Фруда от 2,0 до 3,0. ^[15]

Использование

Число Фруда используется для сравнения сопротивления созданию волн между телами различных размеров и форм.

При течении со свободной поверхностью характер течения ( сверхкритический или докритический) зависит от того, больше или меньше единицы число Фруда.

Линию «критического» потока можно легко увидеть в кухонной или ванной раковине. Оставьте ее открытой и дайте крану течь. Вблизи места, где струя воды попадает в раковину, поток сверхкритический. Он «обнимает» поверхность и движется быстро. На внешнем крае потока поток докритический. Этот поток более плотный и движется медленнее. Граница между двумя областями называется «гидравлическим скачком». Скачок начинается там, где поток просто критический, а число Фруда равно 1,0.

Число Фруда использовалось для изучения тенденций в локомоции животных, чтобы лучше понять, почему животные используют разные модели походки ^[15] , а также для формирования гипотез о походке вымерших видов. ^[16]

Кроме того, поведение слоя частиц можно количественно оценить с помощью числа Фруда (Fr) для установления оптимального рабочего окна. ^[18]

Смотрите также

• Скорость потока  – векторное поле, которое используется для математического описания движения сплошной среды.
• Объемная сила  – сила, действующая по всему объему тела.
• Уравнение импульса Коши
• Уравнение Бюргерса  – Уравнение в частных производных
• Уравнения Эйлера (гидродинамика)  – набор квазилинейных гиперболических уравнений, описывающих адиабатическое и невязкое течение.
• Число Рейнольдса  – отношение инерционных сил к силам вязкости, действующим на жидкость.

Примечания

1. Merriam Webster Online (для брата Джеймса Энтони Фруда ) [1]
2. Ши 2009, стр. 7.
3. Уайт 1999, стр. 294.
4. Шансон 2009, стр. 159–163.
5. Норманд 1888, стр. 257–261.
6. Шансон 2004, стр. xxvii.
7. Ши 2009.
8. Ньюман 1977, стр. 28.
9. Александр, Р. Макнил (2013-10-01). "Глава 2. Поддержка тела, масштабирование и аллометрия". Функциональная морфология позвоночных . Издательство Гарвардского университета. С. 26–37. doi :10.4159/harvard.9780674184404.c2. ISBN 978-0-674-18440-4.
10. Александр, Р. МакН. (1977). «Аллометрия конечностей антилоп (Bovidae)». Журнал зоологии . 183 (1): 125–146. doi :10.1111/j.1469-7998.1977.tb04177.x. ISSN  0952-8369.
11. Александр, Р. Макнил (1991). «Как бегали динозавры». Scientific American . 264 (4): 130–137. Bibcode : 1991SciAm.264d.130A. doi : 10.1038/scientificamerican0491-130. ISSN  0036-8733. JSTOR  24936872.
12. Такахаши 2007, стр. 6.
13. "Смешивание порошков - Конструкция смесителей порошков - Ленточный блендер, Лопастной миксер, Барабанный блендер, Число Фруда". powderprocess.net . nd . Получено 31 мая 2019 г.
14. Vaughan & O'Malley 2005, стр. 350–362.
15. Александр 1984.
16. Sellers & Manning 2007.
17. Александр 1989.
18. Джикар, Дхоки и Шинде, 2021.

Ссылки

• Alexander, R. McN. (1984). «Походки двуногих и четвероногих животных». Международный журнал исследований робототехники . 3 (2): 49–59. doi :10.1177/027836498400300205. S2CID  120138903.
• Александр, Р. М. (1989). «Оптимизация и походки в локомоции позвоночных». Physiological Reviews . 69 (4): 1199–227. doi :10.1152/physrev.1989.69.4.1199. PMID  2678167.
• Беланжер, Жан Батист (1828). Essai sur la Solution numerique de quelques Issues Relatifs au Mouvement Permanent des Eaux Courantes [Эссе о численном решении некоторых задач, связанных с устойчивым движением проточной воды ] (на французском языке). Париж: Карильян-Гёри.
• Шансон, Хьюберт (2004). Гидравлика потока в открытом канале: Введение (2-е изд.). Баттерворт–Хайнеманн. стр. 650. ISBN 978-0-7506-5978-9.
• Шансон, Юбер (2009). «Развитие уравнения Беланже и уравнения подпора Жаном-Батистом Беланже (1828)» (PDF) . Журнал гидравлического машиностроения . 135 (3): 159–63. doi :10.1061/(ASCE)0733-9429(2009)135:3(159).
• Jikar, PC; Dhokey, NB; Shinde, SS (2021). «Численное моделирование и экспериментальное исследование противоточного реактора с динамическим слоем частиц и его влияние на реакцию восстановления твердого вещества и газа». Горное дело, металлургия и разведка . 39. Springer: 139–152. doi :10.1007/s42461-021-00516-6. ISSN  2524-3462. S2CID  244507908.
• Ньюман, Джон Николас (1977). Морская гидродинамика . Кембридж, Массачусетс: MIT Press . ISBN 978-0-262-14026-3.
• Норманд, JA (1888). «О тонкости судов в зависимости от размера и скорости». Труды Института корабельных архитекторов . 29 : 257–261.
• Селлерс, Уильям Ирвин; Мэннинг, Филипп Ларс (2007). «Оценка максимальной скорости бега динозавров с использованием эволюционной робототехники». Труды Королевского общества B: Биологические науки . 274 (1626): 2711–6. doi :10.1098/rspb.2007.0846. JSTOR  25249388. PMC  2279215. PMID  17711833 .
• Ши, YC (весна 2009 г.), «Глава 6. Несжимаемое невязкое течение» (PDF) , Механика жидкости
• Такахаси, Тамоцу (2007). Поток мусора: механика, прогнозирование и меры противодействия. CRC Press. ISBN 978-0-203-94628-2.
• Воган, Кристофер Л.; О'Мэлли, Марк Дж. (2005). «Фруд и вклад корабельной архитектуры в наше понимание двуногого передвижения». Походка и осанка . 21 (3): 350–62. doi :10.1016/j.gaitpost.2004.01.011. PMID  15760752.
• Уайт, Фрэнк М. (1999). Механика жидкостей (4-е изд.). WCB/McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-116848-9.

Внешние ссылки

• https://web.archive.org/web/20070927085042/http://www.qub.ac.uk/waves/fastferry/reference/MCA457.pdf