Номер вращения

Инвариант гомеоморфизмов окружности

В математике число вращения является инвариантом гомеоморфизмов окружности . ​​

История

Впервые он был определен Анри Пуанкаре в 1885 году в связи с прецессией перигелия планетарной орбиты . Позднее Пуанкаре доказал теорему, характеризующую существование периодических орбит с точки зрения рациональности числа вращения.

Определение

Предположим, что — гомеоморфизм окружности , сохраняющий ориентацию. Тогда f можно поднять до гомеоморфизма действительной прямой, удовлетворяющего условию ${\displaystyle f:S^{1}\to S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle F(x+m)=F(x)+m}$

для каждого действительного числа x и каждого целого числа m .

Число поворотов f определяется через итерации F :​

${\displaystyle \omega (f)=\lim _{n\to \infty }{\frac {F^{n}(x)-x}{n}}.}$

Анри Пуанкаре доказал, что предел существует и не зависит от выбора начальной точки x . Подъем F уникален по модулю целых чисел, поэтому число вращения является четко определенным элементом ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} .}$ Интуитивно, оно измеряет средний угол вращения вдоль орбит f .

Пример

Если это поворот на (где ), то ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 2\pi N}$ ${\displaystyle 0<N<1}$

${\displaystyle F(x)=x+N,}$

и его число вращения равно (ср. иррациональное вращение ). ${\displaystyle N}$

Характеристики

Число вращения инвариантно относительно топологической сопряженности и даже монотонной топологической полусопряженности : если f и g — два гомеоморфизма окружности и

${\displaystyle h\circ f=g\circ h}$

для монотонного непрерывного отображения h окружности в себя (не обязательно гомеоморфного) f и g имеют одинаковые числа вращения. Это использовалось Пуанкаре и Арно Данжуа для топологической классификации гомеоморфизмов окружности. Существуют две различные возможности.

• Число вращения f является рациональным числом p/q (в низших членах). Тогда f имеет периодическую орбиту , каждая периодическая орбита имеет период q , и порядок точек на каждой такой орбите совпадает с порядком точек для вращения на p/q . Более того, каждая прямая орбита f сходится к периодической орбите. То же самое верно для обратных орбит, соответствующих итерациям f ^–1 , но предельные периодические орбиты в прямом и обратном направлениях могут быть разными.
• Число вращения f является иррациональным числом θ . Тогда f не имеет периодических орбит (это следует немедленно из рассмотрения периодической точки x функции f ). Есть два подслучая.

1. Существует плотная орбита. В этом случае f топологически сопряжена иррациональному повороту на угол θ и все орбиты плотны . Данжуа доказал, что эта возможность всегда реализуется, когда f дважды непрерывно дифференцируема.
2. Существует множество Кантора C, инвариантное относительно f . Тогда C является единственным минимальным множеством, а орбиты всех точек как в прямом, так и в обратном направлении сходятся к C. В этом случае f полусопряжено иррациональному повороту на θ , а полусопряженное отображение h степени 1 постоянно на компонентах дополнения к C.

Число вращения непрерывно, ^если рассматривать его как отображение из группы гомеоморфизмов (с топологией C0 ) окружности в окружность.

Смотрите также

• Круговая карта
• Диффеоморфизм Данжуа
• сечение Пуанкаре
• Повторение Пуанкаре
• Теорема Пуанкаре–Бендиксона

Ссылки

• Герман, Майкл Роберт (декабрь 1979 г.). «Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des Rotating» [О дифференцируемом сопряжении диффеоморфизмов окружности к вращениям]. Публикации Mathématiques de l'IHÉS (на французском языке). 49 : 5–233. дои : 10.1007/BF02684798. S2CID  118356096., а также SciSpace для меньшего размера файла в формате PDF версии 1.3

• Пуанкаре, Анри (1885). «Sur les courbes définies par les équations différentielles (III)». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (на французском языке). 1 : 167–244.

Внешние ссылки

• Михал Мисюревич (ред.). «Теория вращения». Схоларпедия .
• Weisstein, Eric W. «Карта числа витков». Из MathWorld--A Wolfram Web Resource.