Число Эпсилон

Тип трансфинитных чисел

В математике числа эпсилон представляют собой набор трансфинитных чисел , определяющим свойством которых является то, что они являются неподвижными точками экспоненциального отображения . Следовательно, они не достижимы из 0 посредством конечной серии применений выбранного экспоненциального отображения и «слабых» операций, таких как сложение и умножение. Первоначальные числа эпсилон были введены Георгом Кантором в контексте порядковой арифметики ; они являются порядковыми числами ε, которые удовлетворяют уравнению

${\displaystyle \varepsilon =\omega ^{\varepsilon },\,}$

в котором ω — наименьший бесконечный ординал.

Наименьшим таким ординалом является ε ₀ (произносится как эпсилон ноль (главным образом в Британии), эпсилон ноль (главным образом в Америке) или эпсилон ноль ), который можно рассматривать как «предел», полученный с помощью трансфинитной рекурсии из последовательности меньших предельных ординалов:

${\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=\sup \left\{\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\dots \right\}\,,}$

где sup — супремум , что эквивалентно объединению множеств в случае представления фон Неймана ординалов.

Более крупные порядковые неподвижные точки экспоненциального отображения индексируются порядковыми индексами, что приводит к . ^[1] Порядковое число ε ₀ по-прежнему счетно , как и любое число эпсилон, индекс которого счетен. Существуют также несчетные порядковые числа, наряду с несчетными числами эпсилон, индекс которых является несчетным порядковым числом. ${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots ,\varepsilon _{\omega },\varepsilon _{\omega +1},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{1}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\cdot _{\cdot _{\cdot }}}}},\ldots \zeta _{0}=\varphi _{2}(0)}$

Наименьшее число эпсилон ε ₀ появляется во многих доказательствах индукции , поскольку для многих целей трансфинитная индукция требуется только до ε ₀ (как в доказательстве непротиворечивости Генцена и доказательстве теоремы Гудстейна ). Его использование Генценом для доказательства непротиворечивости арифметики Пеано , наряду со второй теоремой Гёделя о неполноте , показывают, что арифметика Пеано не может доказать обоснованность этого упорядочения (на самом деле это наименьшее порядковое число с этим свойством, и как таковое, в порядковом анализе с доказательствами , используется как мера силы теории арифметики Пеано).

Многие большие числа эпсилон можно определить с помощью функции Веблена .

Более общий класс эпсилон-чисел был выявлен Джоном Хортоном Конвеем и Дональдом Кнутом в сюрреалистической системе счисления , состоящей из всех сюрреалистов, которые являются неподвижными точками базового ω-экспоненциального отображения x → ω ^x .

Хессенберг (1906) определил гамма-числа (см. аддитивно неразложимый ординал ) как числа γ > 0, такие, что α + γ = γ, когда α < γ , и дельта-числа (см. мультипликативно неразложимый ординал ) как числа δ > 1, такие, что αδ = δ, когда 0 < α < δ , и эпсилон-числа как числа ε > 2, такие, что α ^ε = ε, когда 1 < α < ε . Его гамма-числа имеют вид ω ^β , а его дельта-числа имеют вид ω ^{ω β} .

Порядковые числа ε

Стандартное определение порядкового возведения в степень с основанием α:

• ${\displaystyle \alpha ^{0}=1\,,}$
• ${\displaystyle \alpha ^{\beta }=\alpha ^{\beta -1}\cdot \alpha \,,}$когда имеет непосредственного предшественника . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta -1}$
• ${\displaystyle \alpha ^{\beta }=\sup \lbrace \alpha ^{\delta }\mid 0<\delta <\beta \rbrace }$, всякий раз, когда является предельным ординалом . ${\displaystyle \beta }$

Из этого определения следует, что для любого фиксированного ординала α > 1 отображение является нормальной функцией , поэтому оно имеет произвольно большие неподвижные точки по лемме о неподвижной точке для нормальных функций . Когда , эти неподвижные точки являются в точности порядковыми числами эпсилон. ${\displaystyle \beta \mapsto \alpha ^{\beta }}$ ${\displaystyle \alpha =\omega }$

• ${\displaystyle \varepsilon _{0}=\sup \left\lbrace 1,\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\ldots \right\rbrace \,,}$
• ${\displaystyle \varepsilon _{\beta }=\sup \left\lbrace {\varepsilon _{\beta -1}+1},\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1},\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1}},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1}}},\ldots \right\rbrace \,,}$когда имеет непосредственного предшественника . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta -1}$
• ${\displaystyle \varepsilon _{\beta }=\sup \lbrace \varepsilon _{\delta }\mid \delta <\beta \rbrace }$, когда — предельный ординал. ${\displaystyle \beta }$

Потому что

${\displaystyle \omega ^{\varepsilon _{0}+1}=\omega ^{\varepsilon _{0}}\cdot \omega ^{1}=\varepsilon _{0}\cdot \omega \,,}$

${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}=\omega ^{(\varepsilon _{0}\cdot \omega )}={(\omega ^{\varepsilon _{0}})}^{\omega }=\varepsilon _{0}^{\omega }\,,}$

${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}}=\omega ^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}=\omega ^{{\varepsilon _{0}}^{1+\omega }}=\omega ^{(\varepsilon _{0}\cdot {\varepsilon _{0}}^{\omega })}={(\omega ^{\varepsilon _{0}})}^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}={\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}\,,}$

другая последовательность с тем же супремумом, , получается, если начать с 0 и возвести в степень с основанием ε ₀ : ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$

${\displaystyle \varepsilon _{1}=\sup \left\{1,\varepsilon _{0},{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}},{\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}}},\ldots \right\}.}$

Как правило, число эпсилон, индексированное любым порядковым числом, имеющим непосредственного предшественника, может быть построено аналогичным образом. ${\displaystyle \varepsilon _{\beta }}$ ${\displaystyle \beta -1}$

${\displaystyle \varepsilon _{\beta }=\sup \left\{1,\varepsilon _{\beta -1},\varepsilon _{\beta -1}^{\varepsilon _{\beta -1}},\varepsilon _{\beta -1}^{\varepsilon _{\beta -1}^{\varepsilon _{\beta -1}}},\dots \right\}.}$

В частности, независимо от того, является ли индекс β предельным ординалом, он является неподвижной точкой не только возведения в степень по основанию ω, но и возведения в степень по основанию δ для всех ординалов . ${\displaystyle \varepsilon _{\beta }}$ ${\displaystyle 1<\delta <\varepsilon _{\beta }}$

Поскольку числа эпсилон являются неограниченным подклассом порядковых чисел, они перечисляются с использованием самих порядковых чисел. Для любого порядкового числа , является наименьшим числом эпсилон (неподвижной точкой экспоненциального отображения), которое еще не находится в наборе . Может показаться, что это неконструктивный эквивалент конструктивного определения с использованием итерированного возведения в степень; но оба определения одинаково неконструктивны на шагах, индексированных предельными порядковыми числами, которые представляют собой трансфинитную рекурсию более высокого порядка, чем взятие супремума экспоненциального ряда. ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \varepsilon _{\beta }}$ ${\displaystyle \{\varepsilon _{\delta }\mid \delta <\beta \}}$

Следующие факты об эпсилон-числах легко доказать:

• Хотя это довольно большое число, оно все равно счетно , поскольку является счетным объединением счетных порядковых чисел; фактически, счетно тогда и только тогда, когда счетно. ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\beta }}$ ${\displaystyle \beta }$
• Объединение (или супремум) любого непустого множества чисел эпсилон является числом эпсилон; так, например, является числом эпсилон. Таким образом, отображение является нормальной функцией. $${\displaystyle \varepsilon _{\omega }=\sup\{\varepsilon _{0},\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots \}}$$ ${\displaystyle \beta \mapsto \varepsilon _{\beta }}$
• Начальным порядковым числом любого несчетного кардинального числа является число эпсилон. $${\displaystyle \alpha \geq 1\Rightarrow \varepsilon _{\omega _{\alpha }}=\omega _{\alpha }\,.}$$

Представление ε0укоренившимися деревьями

Любое число ε имеет нормальную форму Кантора , что означает, что нормальная форма Кантора не очень полезна для чисел ε. Ординалы, меньшие ε ₀ , однако, могут быть полезно описаны их нормальными формами Кантора, что приводит к представлению ε ₀ как упорядоченного множества всех конечных корневых деревьев , следующим образом. Любой ординал имеет нормальную форму Кантора , где k — натуральное число , и являются ординалами с , однозначно определяемыми . Каждый из ординалов , в свою очередь, имеет похожую нормальную форму Кантора. Мы получаем конечное корневое дерево, представляющее α, путем соединения корней деревьев, представляющих новый корень. (Это имеет следствием то, что число 0 представлено одним корнем, в то время как число представлено деревом, содержащим корень и один лист.) Порядок на множестве конечных корневых деревьев определяется рекурсивно: сначала мы упорядочиваем поддеревья, присоединенные к корню, в порядке убывания, а затем используем лексикографический порядок на этих упорядоченных последовательностях поддеревьев. Таким образом, множество всех конечных корневых деревьев становится вполне упорядоченным множеством , порядок которого изоморфен ε ₀ . ${\displaystyle \varepsilon =\omega ^{\varepsilon }}$ ${\displaystyle \alpha <\varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle \alpha =\omega ^{\beta _{1}}+\omega ^{\beta _{2}}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}}$ ${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}}$ ${\displaystyle \alpha >\beta _{1}\geq \cdots \geq \beta _{k}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}}$ ${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{k}}$ ${\displaystyle 1=\omega ^{0}}$

Это представление связано с доказательством теоремы о гидре , которая представляет убывающие последовательности ординалов как теоретико-графовую игру.

Иерархия Веблена

Неподвижные точки «отображения эпсилон» образуют нормальную функцию, неподвижные точки которой образуют нормальную функцию; это известно как иерархия Веблена (функции Веблена с основанием φ ₀ ( α ) = ω ^α ). В обозначениях иерархии Веблена отображение эпсилон — это φ ₁ , а его неподвижные точки нумеруются как φ ₂ . ${\displaystyle x\mapsto \varepsilon _{x}}$

Продолжая в том же духе, можно определить отображения φ _α для постепенно увеличивающихся ординалов α (включая, посредством этой разреженной формы трансфинитной рекурсии, предельные ординалы) с постепенно увеличивающимися наименьшими неподвижными точками φ _{α +1} (0) . Наименьший ординал, не достижимый из 0 с помощью этой процедуры, т. е. наименьший ординал α, для которого φ _α (0) = α , или, что эквивалентно, первая неподвижная точка отображения , — это ординал Фефермана–Шютте Γ ₀ . В теории множеств, где можно доказать существование такого ординала, имеется отображение Γ , которое перечисляет неподвижные точки Γ ₀ , Γ ₁ , Γ ₂ , ... из ; все они по-прежнему являются числами эпсилон, поскольку они лежат в образе φ _β для каждого β ≤ Γ ₀ , включая отображение φ _{1 ,} которое перечисляет числа эпсилон. ${\displaystyle \alpha \mapsto \varphi _{\alpha }(0)}$ ${\displaystyle \alpha \mapsto \varphi _{\alpha }(0)}$

Сюрреалистические числа ε

В книге On Numbers and Games , классическом изложении сюрреалистических чисел , Джон Хортон Конвей привел ряд примеров концепций, которые имели естественные расширения от ординалов до сюрреалистов. Одной из таких функций является -map ; это отображение естественным образом обобщается, включая все сюрреалистические числа в своей области , что, в свою очередь, обеспечивает естественное обобщение нормальной формы Кантора для сюрреалистических чисел. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle n\mapsto \omega ^{n}}$

Естественно считать любую фиксированную точку этой расширенной карты числом эпсилон, независимо от того, является ли она строго порядковым числом. Вот некоторые примеры не порядковых чисел эпсилон

${\displaystyle \varepsilon _{-1}=\left\{0,1,\omega ,\omega ^{\omega },\ldots \mid \varepsilon _{0}-1,\omega ^{\varepsilon _{0}-1},\ldots \right\}}$

и

${\displaystyle \varepsilon _{1/2}=\left\{\varepsilon _{0}+1,\omega ^{\varepsilon _{0}+1},\ldots \mid \varepsilon _{1}-1,\omega ^{\varepsilon _{1}-1},\ldots \right\}.}$

Существует естественный способ определить для каждого сюрреального числа n , и отображение остается сохраняющим порядок . Конвей продолжает определять более широкий класс «неприводимых» сюрреальных чисел, который включает числа эпсилон как особенно интересный подкласс. ${\displaystyle \varepsilon _{n}}$

Смотрите также

• Порядковая арифметика
• Большое счетное порядковое число

Ссылки

1. Стивен Г. Симпсон, Подсистемы арифметики второго порядка (2009, стр. 387)

• Дж. Х. Конвей, О числах и играх (1976) Academic Press ISBN  0-12-186350-6
• Раздел XIV.20 книги Серпинский, Вацлав (1965), Количественные и порядковые числительные (2-е изд.), PWN – Польские научные издательства
• Хессенберг, Герхард (1906). Грундбегриф дер Менгенлере . Геттинген: Ванденхук и Рупрехт.