Число Бетти

Грубо говоря, число k-мерных отверстий на топологической поверхности

В алгебраической топологии числа Бетти используются для различения топологических пространств на основе связности n -мерных симплициальных комплексов . Для наиболее разумных конечномерных пространств (таких как компактные многообразия , конечные симплициальные комплексы или CW-комплексы ) последовательность чисел Бетти равна 0 с некоторой точки и далее (числа Бетти исчезают выше размерности пространства), и все они конечны.

Число ^Бетти n представляет собой ранг группы ^{гомологий} n , обозначаемый H _n , который сообщает нам максимальное число разрезов, которые можно сделать, прежде чем разделить поверхность на две части или 0-циклы, 1-циклы и т. д. [ ^1] Например, если то , если то , если то , если то и т. д. Обратите внимание, что рассматриваются только ранги бесконечных групп, так что, например, если , где — конечная циклическая группа порядка 2, то . Эти конечные компоненты групп гомологий являются их подгруппами кручения , и они обозначаются коэффициентами кручения . ${\displaystyle H_{n}(X)\cong 0}$ ${\displaystyle b_{n}(X)=0}$ ${\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b_{n}(X)=1}$ ${\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b_{n}(X)=2}$ ${\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b_{n}(X)=3}$ ${\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} ^{k}\oplus \mathbb {Z} /(2)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /(2)}$ ${\displaystyle b_{n}(X)=k}$

Термин «число Бетти» был придуман Анри Пуанкаре в честь Энрико Бетти . Современная формулировка принадлежит Эмми Нётер . Числа Бетти сегодня используются в таких областях, как симплициальная гомология , информатика и цифровые изображения .

Геометрическая интерпретация

Для тора первое число Бетти равно b ₁ = 2, что можно интуитивно представить как число круглых «отверстий».

Неформально, k -е число Бетти относится к числу k -мерных дыр на топологической поверхности. « k -мерная дыра » — это k -мерный цикл, который не является границей ( k +1)-мерного объекта.

Первые несколько чисел Бетти имеют следующие определения для 0-мерных, 1-мерных и 2-мерных симплициальных комплексов :

• b ₀ — количество подключенных компонентов;
• b ₁ — число одномерных или «круглых» отверстий;
• b ₂ — число двумерных «пустот» или «полостей».

Так, например, тор имеет одну связную поверхностную компоненту, поэтому b ₀ = 1, два «круглых» отверстия (одно экваториальное и одно меридиональное ), поэтому b ₁ = 2, и одну полость, заключенную внутри поверхности, поэтому b ₂ = 1.

Другая интерпретация b _k — это максимальное количество k -мерных кривых, которые можно удалить, пока объект остается связанным. Например, тор остается связанным после удаления двух одномерных кривых (экваториальной и меридиональной), поэтому b ₁ = 2. ^[2]

Двумерные числа Бетти легче понять, поскольку мы можем видеть мир в 0, 1, 2 и 3 измерениях.

Формальное определение

Для неотрицательного целого числа  k k -е число Бетти b _k ( X ) пространства X определяется как ранг (число линейно независимых генераторов) абелевой группы H _k ( X ), k- й группы гомологий X  . k- я группа гомологий равна , s — граничные отображения симплициального комплекса , а ранг H _k — k- е число Бетти. Эквивалентно, его можно определить как размерность векторного пространства H k ( X ;  Q ), поскольку в этом случае группа гомологий является векторным пространством над  Q . Теорема об универсальном коэффициенте в очень простом случае без кручения показывает _, что эти определения совпадают. ${\displaystyle H_{k}=\ker \delta _{k}/\operatorname {Im} \delta _{k+1}}$ ${\displaystyle \delta _{k}}$

В более общем случае, если задано поле F, можно определить b _k ( X ,  F ), k -е число Бетти с коэффициентами в F , как размерность векторного пространства H _k ( X ,  F ).

Полином Пуанкаре

Полином Пуанкаре поверхности определяется как производящая функция ее чисел Бетти. Например, числа Бетти тора равны 1, 2 и 1; таким образом, его полином Пуанкаре равен . То же самое определение применимо к любому топологическому пространству, имеющему конечно порожденную гомологию. ${\displaystyle 1+2x+x^{2}}$

Для топологического пространства, имеющего конечно порожденную гомологию, многочлен Пуанкаре определяется как производящая функция его чисел Бетти через многочлен, где коэффициент равен . ${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

Примеры

Числа Бетти графика

Рассмотрим топологический граф G, в котором множество вершин равно V , множество ребер равно E , а множество связных компонентов равно C. Как объясняется на странице о гомологии графов , его группы гомологии задаются следующим образом:

${\displaystyle H_{k}(G)={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{|C|}&k=0\\\mathbb {Z} ^{|E|+|C|-|V|}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Это можно доказать напрямую с помощью математической индукции по числу ребер. Новое ребро либо увеличивает число 1-циклов, либо уменьшает число связанных компонентов.

Следовательно, «нулевое» число Бетти b ₀ ( G ) равно | C |, что просто равно числу связанных компонентов. ^[3]

Первое число Бетти b ₁ ( G ) равно | E | + | C | - | V |. Его также называют цикломатическим числом — термин, введенный Густавом Кирхгофом до статьи Бетти. ^[4] См. цикломатическую сложность для применения в программной инженерии .

Все остальные числа Бетти равны 0.

Числа Бетти симплициального комплекса

Рассмотрим симплициальный комплекс с 0-симплексами: a, b, c и d, 1-симплексами: E, F, G, H и I, и единственным 2-симплексом является J, который является заштрихованной областью на рисунке. На этом рисунке есть один связный компонент ( b ₀ ); одна дырка, которая является незаштрихованной областью ( b ₁ ); и нет "пустот" или "полостей" ( b ₂ ).

Это означает, что ранг равен 1, ранг равен 1 и ранг равен 0. ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

Последовательность чисел Бетти для этой фигуры — 1, 1, 0, 0, ...; многочлен Пуанкаре — . ${\displaystyle 1+x\,}$

Числа Бетти проективной плоскости

Группы гомологии проективной плоскости P следующие: ^[5]

${\displaystyle H_{k}(P)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Здесь Z ₂ — циклическая группа порядка 2. 0-е число Бетти снова равно 1. Однако 1-е число Бетти равно 0. Это происходит потому, что H ₁ ( P ) — конечная группа — она не имеет бесконечных компонент. Конечная компонента группы называется коэффициентом кручения P . (Рациональные) числа Бетти b _k ( X ) не учитывают кручения в группах гомологии, но они являются очень полезными базовыми топологическими инвариантами. В наиболее интуитивно понятных терминах они позволяют подсчитать количество дырок разных размерностей.

Характеристики

Эйлерова характеристика

Для конечного CW-комплекса K имеем

${\displaystyle \chi (K)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}b_{i}(K,F),\,}$

где обозначает эйлерову характеристику поля K и любого  поля F. ${\displaystyle \chi (K)}$

Декартово произведение

Для любых двух пространств X и Y имеем

${\displaystyle P_{X\times Y}=P_{X}P_{Y},}$

где обозначает многочлен Пуанкаре X (в более общем смысле, ряд Гильберта–Пуанкаре для бесконечномерных пространств), т.е. производящую функцию чисел Бетти X : ${\displaystyle P_{X}}$

${\displaystyle P_{X}(z)=b_{0}(X)+b_{1}(X)z+b_{2}(X)z^{2}+\cdots ,\,\!}$

см. теорему Кюннета .

Симметрия

Если X является n -мерным многообразием, то существует симметрия, меняющая свое направление и для любого : ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n-k}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle b_{k}(X)=b_{n-k}(X),}$

при условиях ( замкнутое и ориентированное многообразие); см. двойственность Пуанкаре .

Разные коэффициенты

Зависимость от поля F осуществляется только через его характеристику . Если группы гомологии не имеют кручения , числа Бетти не зависят от F. Связь p -кручения и числа Бетти для характеристики  p , где p — простое число, подробно дается теоремой об универсальном коэффициенте (основанной на функторах Tor , но в простом случае).

Еще примеры

1. Последовательность чисел Бетти для круга: 1, 1, 0, 0, 0, ...;

   полином Пуанкаре равен

   ${\displaystyle 1+x\,}$.

2. Последовательность чисел Бетти для трехмерного тора : 1, 3, 3, 1, 0, 0, 0, ... .

   полином Пуанкаре равен

   ${\displaystyle (1+x)^{3}=1+3x+3x^{2}+x^{3}\,}$.

3. Аналогично, для n - тора ,

   полином Пуанкаре равен

   ${\displaystyle (1+x)^{n}\,}$(по теореме Кюннета ), поэтому числа Бетти являются биномиальными коэффициентами .

Для пространств, которые являются бесконечномерными в существенном смысле, возможно иметь бесконечную последовательность ненулевых чисел Бетти. Примером является бесконечномерное комплексное проективное пространство с последовательностью 1, 0, 1, 0, 1, ..., которое является периодическим, с длиной периода 2. В этом случае функция Пуанкаре не является многочленом, а скорее бесконечным рядом

${\displaystyle 1+x^{2}+x^{4}+\dotsb }$,

которая, будучи геометрической прогрессией, может быть выражена как рациональная функция

${\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}.}$

В более общем смысле, любая периодическая последовательность может быть выражена как сумма геометрической прогрессии, обобщая вышесказанное. Например, имеет производящую функцию ${\displaystyle a,b,c,a,b,c,\dots ,}$

${\displaystyle \left(a+bx+cx^{2}\right)/\left(1-x^{3}\right)\,}$

и в более общем случае линейные рекурсивные последовательности — это в точности последовательности, генерируемые рациональными функциями ; таким образом, ряд Пуанкаре выражается как рациональная функция тогда и только тогда, когда последовательность чисел Бетти является линейной рекурсивной последовательностью.

Полиномы Пуанкаре компактных простых групп Ли следующие:

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{SU(n+1)}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{5}\right)\cdots \left(1+x^{2n+1}\right)\\P_{SO(2n+1)}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-1}\right)\\P_{Sp(n)}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-1}\right)\\P_{SO(2n)}(x)&=\left(1+x^{2n-1}\right)\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-5}\right)\\P_{G_{2}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{11}\right)\\P_{F_{4}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{11}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{23}\right)\\P_{E_{6}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{9}\right)\left(1+x^{11}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{17}\right)\left(1+x^{23}\right)\\P_{E_{7}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{11}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{19}\right)\left(1+x^{23}\right)\left(1+x^{27}\right)\left(1+x^{35}\right)\\P_{E_{8}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{23}\right)\left(1+x^{27}\right)\left(1+x^{35}\right)\left(1+x^{39}\right)\left(1+x^{47}\right)\left(1+x^{59}\right)\end{aligned}}}$

Связь с размерностями пространств дифференциальных форм

В геометрических ситуациях, когда — замкнутое многообразие , важность чисел Бетти может возникнуть с другой стороны, а именно, что они предсказывают размерности векторных пространств замкнутых дифференциальных форм по модулю точных дифференциальных форм . Связь с данным выше определением осуществляется через три основных результата: теорему де Рама и двойственность Пуанкаре (когда они применяются), а также теорему об универсальном коэффициенте теории гомологии . ${\displaystyle X}$

Существует альтернативное прочтение, а именно, что числа Бетти дают размерности пространств гармонических форм . Это требует использования некоторых результатов теории Ходжа о лапласиане Ходжа .

В этом случае теория Морса дает набор неравенств для знакопеременных сумм чисел Бетти в терминах соответствующей знакопеременной суммы числа критических точек функции Морса заданного индекса : ${\displaystyle N_{i}}$

${\displaystyle b_{i}(X)-b_{i-1}(X)+\cdots \leq N_{i}-N_{i-1}+\cdots .}$

Эдвард Виттен дал объяснение этим неравенствам, используя функцию Морса для модификации внешней производной в комплексе де Рама . ^[6]

Смотрите также

• Топологический анализ данных
• Коэффициент кручения
• Эйлерова характеристика

Ссылки

1. Бариле, и Вайсштейн, Маргерита и Эрик. «Число Бетти». Из MathWorld--A Wolfram Web Resource.
2. Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: Альбин, Пьер (2019). «История алгебраической топологии». YouTube .
3. Пер Хаге (1996). Островные сети: коммуникация, родство и структуры классификации в Океании. Cambridge University Press. стр. 49. ISBN 978-0-521-55232-5.
4. Питер Роберт Котиуга (2010). Чествование математического наследия Рауля Ботта. Американское математическое общество. стр. 20. ISBN 978-0-8218-8381-5.
5. Архивировано в Ghostarchive и Wayback Machine: Wildberger, Norman J. (2012). «Дельта-комплексы, числа Бетти и кручение». YouTube .
6. Виттен, Эдвард (1982), «Суперсимметрия и теория Морса», Журнал дифференциальной геометрии , 17 (4): 661–692, doi : 10.4310/jdg/1214437492

• Уорнер, Фрэнк Уилсон (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Нью-Йорк: Springer, ISBN 0-387-90894-3.
• Роу, Джон (1998), Эллиптические операторы, топология и асимптотические методы , Research Notes in Mathematics Series, т. 395 (второе издание), Бока-Ратон, Флорида: Chapman and Hall, ISBN 0-582-32502-1.